110 關務特考三等 輻射安全技術工程 可發生游離輻射設備 考古題詳解

110 年・關務特考・三等・輻射安全技術工程
試題代碼 可發生游離輻射設備

第 一 題25 分

請回答下列有關 X 光機使用的相關問題。（每小題 5 分，共 25 分）

(一) 說明使用鎢作為陽極靶的原因。

(二) 說明使用旋轉陽極靶的原因。

(三) 何謂「線聚焦原理（line focus principle）」？其好處為何？

(四) 若陽極與陰極間的高壓 kVp=120 kVkVp=120\ \mathrm{kV}，所產生 X 光的最大頻率為多少 Hz\mathrm{Hz}？（蒲朗克常數 Planck’s constant，h=6.63×10−34 J⋅sh=6.63\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}）

(五) 若這部 X 光機每天胸部 X 光照相 150 張，平均設定條件為 120 kVp120\ \mathrm{kVp}、8 mAs8\ \mathrm{mAs}，則此部 X 光機的工作負荷（work load）為多少？

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核心觀念

本題考查 X 光管的陽極靶材料與結構、線聚焦原理、X 光光子最大能量，以及工作負荷的計算。

  • 電子經高電壓加速後撞擊陽極靶，動能轉換成 X 光與熱。
  • 最大光子能量由管電壓決定：Emax⁡=eVE_{\max}=eV。由 E=hfE=hf 可求最大頻率。
  • 工作負荷通常以每週的 mA⋅min/week\mathrm{mA\cdot min/week} 表示，代表 X 光管在特定管電壓下每週累積的管電流時間。

解題方法

（一）使用鎢作為陽極靶的原因

鎢適合做陽極靶，主要因為：

  1. 原子序高：鎢的原子序為 74，有利於產生 X 光。
  2. 熔點高：熔點約 3422∘C3422^\circ\mathrm{C}，能承受電子撞擊時產生的高熱。
  3. 蒸氣壓低：高溫下不易蒸發，可減少靶材損耗與管內污染。
  4. 機械性質適用：能製成靶面，承受長期熱負荷。

電子撞擊陽極時，能量大部分轉為熱，只有少部分轉為 X 光，因此靶材的耐熱能力尤其重要。

（二）使用旋轉陽極靶的原因

電子束撞擊靶面會集中產熱。旋轉陽極使靶面快速轉動，讓電子束在不同靶面位置依序作用，將熱量分散到較大的環形區域。

因此，旋轉陽極可：

  • 降低局部過熱與靶面損傷。
  • 提高陽極可承受的熱負荷。
  • 允許使用較大的管電流，縮短曝光時間，適合較高負荷攝影。

（三）線聚焦原理及其好處

線聚焦原理（line focus principle）是指：將陽極靶面設為傾斜角度，使電子束撞擊靶面的實際焦點面積較大，但從 X 光管窗口方向看見的有效焦點面積較小。

有效焦點尺寸可用下式表示：

有效焦點長度=實際焦點長度×sin⁡θ\text{有效焦點長度} = \text{實際焦點長度}\times\sin\theta

其中 θ\theta 為陽極靶角。

其好處是兼顧：

  • 較小的有效焦點：減少幾何模糊，提高影像清晰度。
  • 較大的實際焦點面積：分散熱量，增加陽極承受熱負荷的能力。

（四）最大頻率

已知 V=120 kV=1.20×105 VV=120\ \mathrm{kV}=1.20\times10^5\ \mathrm{V}。單一電子經此電位差加速後的最大動能為：

Emax⁡=eV=(1.60×10−19 C)(1.20×105 V)=1.92×10−14 JE_{\max}=eV =(1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C})(1.20\times10^5\ \mathrm{V}) =1.92\times10^{-14}\ \mathrm{J}

由 Emax⁡=hfmax⁡E_{\max}=hf_{\max}：

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第 二 題25 分

(一) 試述何謂半值層（Half Value Layer, HVL）？（4 分）

(二) 試推導半值層與線性衰減係數的關係。（4 分）

(三) 何謂什一層（Tenth Value Layer, TVL）？（4 分）

(四) 試推導什一層為半值層的幾倍？（4 分）

(五) 若 60Co^{60}\mathrm{Co} 的 HVL 為 1.2 cm 厚的鉛，試求經過 5.0 cm 厚的鉛屏蔽後，60Co^{60}\mathrm{Co} 射束的 γ\gamma 光子數被衰減多少百分比？（不考慮增建因數）（9 分）

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核心觀念

本題考查光子在物質中的指數衰減，以及半值層（HVL）與什一層（TVL）的定義和換算。題目已註明不考慮增建因數，因此採用窄射束指數衰減模型：

I(x)=I0e−μxI(x)=I_0 e^{-\mu x}

其中 I0I_0 為入射光子數（或強度）、I(x)I(x) 為穿透厚度 xx 後的光子數（或強度），μ\mu 為線性衰減係數。

(一) 半值層的定義

半值層是使單能光子射束的光子數或強度降為入射值一半所需的吸收材料厚度，記為 x1/2x_{1/2} 或 HVL。

I(x1/2)=I02I(x_{1/2})=\frac{I_0}{2}

(二) 半值層與線性衰減係數的關係

由指數衰減公式，當材料厚度為半值層時：

I02=I0e−μx1/2\frac{I_0}{2}=I_0e^{-\mu x_{1/2}}

兩邊除以 I0I_0，再取自然對數：

12=e−μx1/2\frac{1}{2}=e^{-\mu x_{1/2}} ln⁡2=μx1/2\ln 2=\mu x_{1/2}

因此：

HVL=x1/2=ln⁡2μ或μ=ln⁡2HVL\boxed{\mathrm{HVL}=x_{1/2}=\frac{\ln 2}{\mu}} \qquad\text{或}\qquad \boxed{\mu=\frac{\ln 2}{\mathrm{HVL}}}

(三) 什一層的定義

什一層是使單能光子射束的光子數或強度降為入射值十分之一所需的吸收材料厚度，記為 x1/10x_{1/10} 或 TVL。

I(x1/10)=I010I(x_{1/10})=\frac{I_0}{10}

(四) 什一層為半值層的倍數

由指數衰減公式：

I010=I0e−μx1/10\frac{I_0}{10}=I_0e^{-\mu x_{1/10}}

因此：

TVL=x1/10=ln⁡10μ\mathrm{TVL}=x_{1/10}=\frac{\ln 10}{\mu}

利用 HVL=ln⁡2μ\mathrm{HVL}=\frac{\ln 2}{\mu}，可得：

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第 三 題25 分

在一維空間中，一個質量為 MM、動能為 EnE_n 的中子，與一個質量為 mm 的原子核進行一次迎頭撞擊的彈性碰撞。根據牛頓古典力學，回答下列問題。

(一) 碰撞後，該原子核的速度及動能為多少？（15 分）

(二) 利用微分極值的觀念，試求碰撞後，質量 MM 為 mm 的幾倍時，原子核的能量為最大值？（5 分）

(三) 試述中子捕獲時，何謂「1/V1/V 定律」？（5 分）

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核心觀念

本題考查一維彈性碰撞的動量守恆與動能守恆，以及用微分找函數極值。以下依題目的標準設定，假設原子核碰撞前靜止；中子沿正方向運動，初速為 uu。

由中子的初始動能 EnE_n，

En=12Mu2⟹u=2EnM.E_n=\frac12 Mu^2 \quad\Longrightarrow\quad u=\sqrt{\frac{2E_n}{M}}.

設碰撞後中子的速度為 vnv_n，原子核的速度為 vv。

（一）原子核碰撞後的速度與動能

一維彈性碰撞須同時滿足動量守恆與動能守恆：

Mu=Mvn+mv,Mu=Mv_n+mv, 12Mu2=12Mvn2+12mv2.\frac12 Mu^2=\frac12 Mv_n^2+\frac12 mv^2.

將動能守恆式整理為

M(u2−vn2)=mv2,M(u^2-v_n^2)=mv^2, M(u−vn)(u+vn)=mv2.M(u-v_n)(u+v_n)=mv^2.

由動量守恆式可得 M(u−vn)=mvM(u-v_n)=mv。代入上式，並消去非零的 vv，得到

u+vn=v.u+v_n=v.

將 vn=v−uv_n=v-u 代回動量守恆式：

Mu=M(v−u)+mv,Mu=M(v-u)+mv, 2Mu=(M+m)v.2Mu=(M+m)v.

因此原子核碰撞後的速度為

v=2MM+mu=2MM+m2EnM.\boxed{v=\frac{2M}{M+m}u =\frac{2M}{M+m}\sqrt{\frac{2E_n}{M}}}.

原子核碰撞後的動能為

ER=12mv2=12m(2MM+mu)2.E_R=\frac12 mv^2 =\frac12 m\left(\frac{2M}{M+m}u\right)^2.

再利用 En=12Mu2E_n=\frac12 Mu^2 化簡：

ER=4Mm(M+m)2En.\boxed{E_R=\frac{4Mm}{(M+m)^2}E_n}.

（二）原子核能量最大時的質量比

令 x=M/mx=M/m，則原子核獲得的能量占中子初始能量的比例為

EREn=4Mm(M+m)2=4x(1+x)2.\frac{E_R}{E_n} =\frac{4Mm}{(M+m)^2} =\frac{4x}{(1+x)^2}.

對 xx 微分：

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第 四 題25 分

請回答下列關於迴旋加速器的相關問題。

(一) 請畫出迴旋加速器的示意圖，並說明迴旋加速器的工作原理。（10 分）

(二) 若迴旋加速器的磁場為 1.00 T1.00\ \mathrm{T}，根據愛因斯坦相對論，求出動能 20 MeV20\ \mathrm{MeV} 的質子在此磁場中運動的速率為光速的多少倍、質量為多少公斤，以及軌道半徑為多少公尺？（質子的靜止質量 =1.67×10−27 kg=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}，q=1.6×10−19 Cq=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}，光速 c=2.998×108 m/sc=2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}。）（15 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

迴旋加速器利用垂直於粒子運動平面的均勻磁場使帶電粒子作圓周運動，再以兩個半圓形中空電極（稱為 Dee 電極）間的交變電場加速粒子。磁場負責彎轉軌道，電場負責增加動能。

質子動能為 20 MeV20\ \mathrm{MeV} 時，應使用相對論關係：

γ=11−β2,K=(γ−1)m0c2,mrel=γm0\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad K=(\gamma-1)m_0c^2, \qquad m_{\mathrm{rel}}=\gamma m_0

其中 β=v/c\beta=v/c，m0m_0 是質子的靜止質量。考試所稱的「相對論質量」為 mrelm_{\mathrm{rel}}。

粒子的相對論動量及磁場中的軌道半徑為：

p=γm0v,r=pqBp=\gamma m_0v, \qquad r=\frac{p}{qB}

解題方法

（一）示意圖與工作原理

俯視示意圖（磁場垂直紙面向內；電極與軌道為概念圖）：

 B ⊗ ⊗ ⊗
 ┌───────────────────┐
 .-' Dee 1 '-.
 .' 半圓形軌道 '.
 / ↙ ↖ ↙ ↖ \
 | ● 粒子源 |
 | ││ 電極間隙 |
 | ↘ ↗ ↘ ↗ |
 \ 半圓形軌道 Dee 2 /
 '. .'
 '-._____________________.-'

 交變電場作用於電極間隙

粒子從兩個 Dee 電極中央附近的粒子源出發。粒子在電極間隙通過時受到交變電場加速；進入 Dee 電極內部後，電極內近似沒有電場，粒子只受洛侖茲力作用，沿半圓形軌道運動。粒子每繞行半圈便再次通過間隙，此時電場方向已反轉，使粒子仍受到加速。隨著動能增加，軌道半徑逐漸增大，形成向外擴展的螺旋軌道，最後由外緣引出。

交變電場須與粒子通過間隙的時刻同步。相對論情形下，迴旋頻率為：

f=qB2πγm0f=\frac{qB}{2\pi\gamma m_0}

在非相對論近似下 γ≈1\gamma\approx1，頻率可視為固定；粒子能量提高時，相對論效應會使頻率略降。

（二）相對論速率、質量與軌道半徑

先把動能換算為焦耳：

K=20 MeV=20×106×1.6×10−19=3.20×10−12 JK=20\ \mathrm{MeV} =20\times10^6\times1.6\times10^{-19} =3.20\times10^{-12}\ \mathrm{J}
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