112 關務特考三等 輻射安全技術工程 放射物理與輻射安全 考古題詳解

核心觀念

本題考查 X 光管中電子撞擊陽極靶材時，如何產生兩種 X 光，以及它們在能譜上的差異：

• 制動輻射（Bremsstrahlung）：高速電子受到靶原子核的庫侖力作用而減速、偏轉，損失的能量以 X 光光子形式放出，形成連續能譜。
• 特性 X 光（Characteristic X-rays）：入射電子擊出靶原子的內層電子，外層電子遞補空穴時，放出能量等於兩能階差的 X 光光子，形成疊加於連續能譜上的離散譜線。

行李檢查用 X 光機通常以 X 光管產生 X 光，再由偵測器量測穿透行李後的訊號。其能譜主要由管電壓、靶材種類及管電流決定。

生成原理與能譜特性

制動輻射：連續能譜

陰極燈絲加熱後放出電子，電子在陰極與陽極之間的電位差作用下加速，撞擊陽極靶材。電子接近靶原子核時，受庫侖力作用而改變速度與方向；電子損失的動能可轉換為 X 光光子能量。

一次碰撞可損失不同程度的能量，因此產生從低能量到高能量的一系列光子，形成連續分布。入射電子的最大動能為 $eV$，所以制動輻射的最高光子能量為：

$$E_{\max}=eV$$

其中 $V$ 為 X 光管電壓。若 $V$ 以 kV 表示，則 $E_{\max}$ 以 keV 表示時數值相同，例如管電壓 $100\ \mathrm{kV}$ 時，最高光子能量為 $100\ \mathrm{keV}$。

對應的最短波長為：

$$\lambda_{\min}=\frac{hc}{eV}$$

能譜在高能端於 $E_{\max}$ 截止，不會超過電子入射動能。管電壓提高時，最高能量提高，能譜向高能端延伸；管電流增加時，電子數增加，整體 X 光強度通常增加，但最高能量不變。

特性 X 光：離散譜線

若入射電子能量足以擊出靶原子的內層電子，該殼層會形成空穴。較外層電子遞補空穴時，兩能階的束縛能差以光子形式釋出：

$$E_{\gamma}=E_{\text{內層空穴}}-E_{\text{外層電子}}$$

核心觀念

這題考察放射性母核 $^{131}\mathrm{I}$ 衰變生成子核 $^{131}\mathrm{Cs}$ 的母子核生成與衰變。初始時子核已完全移除，因此從 $t=0$ 起，子核活度由母核衰變逐漸累積；同時，生成的子核也會繼續衰變。

設母核與子核的衰變常數分別為 $\lambda_p$、$\lambda_d$，則

$$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$

題給 $T_{1/2,p}=11.6$ 天、$T_{1/2,d}=9.7$ 天，因此 $\lambda_d>\lambda_p$，屬於不平衡增長情形。母核活度為

$$A_p(t)=A_{p0}e^{-\lambda_p t}$$

子核活度為

$$A_d(t)=A_{p0}\frac{\lambda_d}{\lambda_d-\lambda_p} \left(e^{-\lambda_p t}-e^{-\lambda_d t}\right)$$

其中 $A_{p0}=4\ \mathrm{Ci}$。

解題方法

（一）求子核活度等於母核活度的時間

令 $A_d(t)=A_p(t)$：

$$\frac{\lambda_d}{\lambda_d-\lambda_p} \left(e^{-\lambda_p t}-e^{-\lambda_d t}\right) =e^{-\lambda_p t}$$

整理得

$$e^{-(\lambda_d-\lambda_p)t}=\frac{\lambda_p}{\lambda_d}$$

所以

$$t=\frac{\ln(\lambda_d/\lambda_p)}{\lambda_d-\lambda_p}$$

將半衰期換算為天：

$$\lambda_p=\frac{\ln2}{11.6}=0.05975\ \mathrm{day}^{-1}$$ $$\lambda_d=\frac{\ln2}{9.7}=0.07146\ \mathrm{day}^{-1}$$

代入可得

$$t=\frac{\ln(0.07146/0.05975)}{0.07146-0.05975} \approx 15.3\ \mathrm{天}$$

（二）求此時可取出的 $^{131}\mathrm{Cs}$ 活度

在此時子核活度等於母核活度，因此可取出的子核活度就是 $A_p(t)$：

$$A_d(t)=A_p(t)=4e^{-\lambda_p t}\ \mathrm{Ci}$$ $$A_d(t)=4e^{-(0.05975)(15.3)} \approx 1.60\ \mathrm{Ci}$$

利用 $1\ \mathrm{Ci}=3.7\times10^{10}\ \mathrm{Bq}$：

$$A_d(t)\approx1.60(3.7\times10^{10}) \approx5.92\times10^{10}\ \mathrm{Bq}$$

（三）每隔 122.3 小時採集，共採集 3 次的總活度

先換算採集間隔：

核心觀念

本題考查「能量轉移」、「淨能量轉移」與「能量沉積」三個量的區別：

• 能量轉移（energy transferred，$\varepsilon_{\mathrm{tr}}$）：帶電粒子在區域內將能量轉交給其他粒子或輻射的總量。本題電子產生 $1.5\ \mathrm{MeV}$ 制動輻射光子，因此能量轉移為 $1.5\ \mathrm{MeV}$。
• 淨能量轉移（net energy transferred，$\varepsilon_{\mathrm{tr}}'$）：能量轉移量扣除轉移後又以輻射形式逸出區域的能量。光子帶著 $1.5\ \mathrm{MeV}$ 完全逃逸，故淨能量轉移為 $0$。
• 能量沉積（energy imparted，$\varepsilon$）：進入區域的能量減去離開區域的能量，並考慮區域內能量轉換。本題沒有其他能量沉積或逸出，故可由能量收支求得。

解題方法

電子進入時動能為 $4\ \mathrm{MeV}$；離開時剩下 $0.5\ \mathrm{MeV}$，並有 $1.5\ \mathrm{MeV}$ 制動輻射光子逸出。

核心觀念

本題考查游離腔的電離電荷如何換算為空氣吸收劑量，以及如何用 Bragg–Gray（B-G）空腔理論估計腔壁材料的吸收劑量。題目給的是收集電荷，先以空氣質量求出空氣的吸收劑量；再乘上銅與空氣的質量碰撞阻止本領比，求銅壁劑量。

小腔室滿足 B-G 空腔理論的適用條件時，腔內空氣只改變帶電粒子的能量沉積，不顯著改變腔壁中電子的通量。題目說銅壁厚度等於最大電子射程，且給定腔室透電子的平均能量，依此採用 B-G 劑量比關係。

解題方法

先求腔內空氣質量：

$$m_{\text{air}}=\rho V =(0.001293\ \mathrm{g/cm^3})(0.100\ \mathrm{cm^3}) =1.293\times10^{-4}\ \mathrm{g} =1.293\times10^{-7}\ \mathrm{kg}$$

空氣平均吸收劑量由比電離能關係求得：

$$D_{\text{air}}=\frac{Q}{m_{\text{air}}}\left(\frac{W}{e}\right)_{\text{air}}$$

乾燥空氣每形成一對離子所需平均能量取 $W_{\text{air}}/e=33.97\ \mathrm{J/C}$。因此：

$$D_{\text{air}} =\frac{7.00\times10^{-10}\ \mathrm{C}} {1.293\times10^{-7}\ \mathrm{kg}} (33.97\ \mathrm{J/C}) =0.1839\ \mathrm{J/kg}$$