115 關務特考三等 電機工程(選試英文) 電機機械 考古題詳解

115 年・關務特考・三等・電機工程(選試英文)
試題代碼 電機機械

第 一 題25 分

某一電氣機械系統如圖一所示。系統中固定部分繞有 NN 匝線圈，與可動部分之間存在一氣隙，其長度為 lgl_g。線圈輸入端連接電源電壓 vv，產生電流 ii，進而在磁路中產生磁交鏈 λ\lambda，控制電樞可動部分。

假設系統導磁鐵芯為理想，磁路截面積為 AA，且無漏磁，而氣隙之邊緣效應亦可忽略。已知輸入電流為 I0I_0，請推導此系統可動部分向上吸引力 FF 之計算式。

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核心觀念

本題考查電磁致動器的磁路分析與電磁力計算，核心公式包括：

  1. 磁動勢： F=NI0\mathcal{F}=NI_0

  2. 氣隙磁阻： Rg=lgμ0A\mathcal{R}_g=\frac{l_g}{\mu_0 A}

  3. 磁通量： Φ=NI0R\Phi=\frac{NI_0}{\mathcal{R}}

  4. 氣隙中的磁場能量密度： wm=B22μ0w_m=\frac{B^2}{2\mu_0}

圖中可動部分左右兩側各形成一個相同氣隙，因此磁路共有兩個串聯氣隙。

解題方法

一、求磁路總磁阻

鐵芯視為理想導磁材料，因此鐵芯磁阻可忽略，只需考慮兩個氣隙：

R=2lgμ0A=2lgμ0A\mathcal{R} =2\frac{l_g}{\mu_0 A} =\frac{2l_g}{\mu_0 A}

線圈產生的磁動勢為：

F=NI0\mathcal{F}=NI_0

因此磁通量為：

Φ=NI0R=NI02lg/(μ0A)=μ0ANI02lg\Phi =\frac{NI_0}{\mathcal{R}} =\frac{NI_0}{2l_g/(\mu_0 A)} =\frac{\mu_0 A NI_0}{2l_g}

二、求氣隙磁通密度

由 B=Φ/AB=\Phi/A：

B=ΦA=μ0NI02lgB =\frac{\Phi}{A} =\frac{\mu_0 NI_0}{2l_g}

三、求可動部分的吸引力

每一個氣隙所受的電磁吸力為：

Fg=B2A2μ0F_g=\frac{B^2A}{2\mu_0}

由於左右共有兩個氣隙，總吸力為：

F=2Fg=2(B2A2μ0)=B2Aμ0F=2F_g =2\left(\frac{B^2A}{2\mu_0}\right) =\frac{B^2A}{\mu_0}

代入磁通密度：

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第 二 題25 分

有一部額定電壓 380 V380\ \mathrm{V}（線電壓）、額定頻率 60 Hz60\ \mathrm{Hz}、三相四極 Y 接之感應電動機，其參考至定子側之單相等效電路參數如下：

R1=0.35 ΩR_1=0.35\ \Omega、R2=0.2 ΩR_2=0.2\ \Omega、X1=0.65 ΩX_1=0.65\ \Omega、X2=0.5 ΩX_2=0.5\ \Omega、XM=15.5 ΩX_M=15.5\ \Omega。

若電動機操作於正常狀態下，已知轉差為 0.0250.025，無載旋轉損與雜散損共 750 W750\ \mathrm{W}，且該電動機於啟動時施加額定頻率與額定電壓，試計算啟動轉矩、最大轉矩，與軸端輸出轉矩分別約為多少公斤米（kgm\mathrm{kgm}）？

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核心觀念

本題考查感應電動機每相等效電路、戴維寧等效、轉矩與轉換功率的關係。題目給的是 Y 接三相電動機的線電壓，因此先換算每相電壓：

Vϕ=VL3=3803 VV_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}}=\frac{380}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}

四極、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的同步轉速為 ns=120f/P=1800 rpmn_s=120f/P=1800\ \mathrm{rpm}，同步機械角速度為：

ωs=2πns60=188.50 rad/s\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=188.50\ \mathrm{rad/s}

將定子與激磁支路對轉子側化為戴維寧等效後，電磁轉矩可寫成：

Te=3∣Vth∣2(R2/s)ωs[(Rth+R2/s)2+(Xth+X2)2]T_e=\frac{3|V_{\mathrm{th}}|^2(R_2/s)} {\omega_s\left[(R_{\mathrm{th}}+R_2/s)^2+(X_{\mathrm{th}}+X_2)^2\right]}

其中 ss 為轉差率。最大轉矩發生於：

R2smax⁡=Rth2+(Xth+X2)2\frac{R_2}{s_{\max}} =\sqrt{R_{\mathrm{th}}^2+(X_{\mathrm{th}}+X_2)^2}

解題方法

戴維寧等效值以每相電路計算。以定子端電壓 VϕV_\phi 為輸入，激磁電抗 jXMjX_M 為負載，可得：

Vth=VϕjXMR1+j(X1+XM)V_{\mathrm{th}} =V_\phi\frac{jX_M}{R_1+j(X_1+X_M)} Zth=Rth+jXth=jXM(R1+jX1)R1+j(X1+XM)Z_{\mathrm{th}} =R_{\mathrm{th}}+jX_{\mathrm{th}} =\frac{jX_M(R_1+jX_1)}{R_1+j(X_1+X_M)}

代入題目參數，得到：

∣Vth∣≈210.51 V,Rth≈0.3222 Ω,Xth≈0.6308 Ω|V_{\mathrm{th}}|\approx210.51\ \mathrm{V},\qquad R_{\mathrm{th}}\approx0.3222\ \Omega,\qquad X_{\mathrm{th}}\approx0.6308\ \Omega

因此總漏抗為 Xth+X2=1.1308 ΩX_{\mathrm{th}}+X_2=1.1308\ \Omega。

啟動時轉差 s=1s=1，代入轉矩公式：

Tstart=3(210.51)2(0.2)188.50[(0.3222+0.2)2+(1.1308)2]≈90.92 N mT_{\mathrm{start}} =\frac{3(210.51)^2(0.2)} {188.50\left[(0.3222+0.2)^2+(1.1308)^2\right]} \approx90.92\ \mathrm{N\,m}

最大轉矩的轉差為：

smax⁡=R2Rth2+(Xth+X2)2≈0.1701s_{\max} =\frac{R_2}{\sqrt{R_{\mathrm{th}}^2+(X_{\mathrm{th}}+X_2)^2}} \approx0.1701
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第 三 題25 分

某製造廠有兩部具備並聯運轉條件之三相交流同步發電機 A 與 B，額定容量分別為 3 MW3\ \mathrm{MW} 與 4 MW4\ \mathrm{MW}，單機之頻率－負載功率特性曲線（frequency-power curve）如圖二所示。

若將此兩部同步發電機進行並聯運轉，供應 5 MW5\ \mathrm{MW} 之負載，則並聯後之系統頻率（Hz）為若干？又每部發電機各分攤多少負載功率（MW）？

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核心觀念

同步發電機並聯運轉時，兩部發電機必須具有相同的系統頻率。各機組所分擔的負載功率，取決於其頻率－負載功率特性曲線。

由圖可得：

  • 發電機 A：PA=0P_A=0 時，f=61.5 Hzf=61.5\ \text{Hz}；PA=3 MWP_A=3\ \text{MW} 時，f=59.0 Hzf=59.0\ \text{Hz}
  • 發電機 B：PB=0P_B=0 時，f=61.5 Hzf=61.5\ \text{Hz}；PB=4 MWP_B=4\ \text{MW} 時，f=59.5 Hzf=59.5\ \text{Hz}

並聯供應總負載時，必須滿足：

PA+PB=5 MWP_A+P_B=5\ \text{MW}

且兩部機組的頻率相同。

解題方法

1. 建立發電機 A 的頻率特性

發電機 A 的斜率為

ΔfΔPA=59.0−61.53=−2.53 Hz/MW\frac{\Delta f}{\Delta P_A} = \frac{59.0-61.5}{3} = -\frac{2.5}{3} \ \text{Hz/MW}

因此：

fA=61.5−2.53PAf_A=61.5-\frac{2.5}{3}P_A

2. 建立發電機 B 的頻率特性

發電機 B 的斜率為

ΔfΔPB=59.5−61.54=−24=−0.5 Hz/MW\frac{\Delta f}{\Delta P_B} = \frac{59.5-61.5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5 \ \text{Hz/MW}

因此：

fB=61.5−0.5PBf_B=61.5-0.5P_B

3. 利用並聯後頻率相同

並聯運轉時：

fA=fBf_A=f_B

所以：

61.5−2.53PA=61.5−0.5PB61.5-\frac{2.5}{3}P_A = 61.5-0.5P_B

整理得：

2.53PA=0.5PB\frac{2.5}{3}P_A=0.5P_B
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第 四 題25 分

有一部分激式直流電動機，已知分激場電阻為 500 Ω500\ \Omega，電樞電阻為 10 Ω10\ \Omega，額定激磁電流為 0.5 A0.5\ \mathrm{A}，額定電樞電流為 3 A3\ \mathrm{A}。

此電動機於外加額定電壓下，其實驗測試數據如表一所示。若不計電刷壓降、電樞反應、鐵損以及機械損失，根據上述實驗數據，此電動機之額定轉速與額定效率各約為何？

表一：

分激場激磁電流（A）電樞電流（A）轉子轉速（rpm）
0.50.51.51.528202820
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核心觀念

本題考查分激式直流電動機的：

  1. 額定端電壓： V=IfRfV=I_fR_f
  2. 電樞反電動勢： E=V−IaRaE=V-I_aR_a
  3. 在磁通不變時，轉速與反電動勢成正比： n∝En\propto E
  4. 忽略各項損失時，輸出機械功率為： Pout=EIaP_{\text{out}}=EI_a
  5. 額定效率： η=PoutPin\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}

因額定激磁電流與測試時相同，故磁通量視為不變。

解題方法

1. 求額定端電壓

分激場直接接於額定電壓，因此：

V=IfRf=(0.5)(500)=250 VV=I_fR_f=(0.5)(500)=250\text{ V}

2. 求測試狀態的反電動勢

測試時：

Ia1=1.5 A,n1=2820 rpmI_{a1}=1.5\text{ A},\qquad n_1=2820\text{ rpm}

故反電動勢為：

E1=V−Ia1RaE_1=V-I_{a1}R_a

E1=250−(1.5)(10)=235 VE_1=250-(1.5)(10)=235\text{ V}

3. 求額定轉速

額定電樞電流為 3 A3\text{ A}，額定反電動勢：

EN=V−IaNRaE_N=V-I_{aN}R_a

EN=250−(3)(10)=220 VE_N=250-(3)(10)=220\text{ V}

由於磁通量相同：

nNn1=ENE1\frac{n_N}{n_1}=\frac{E_N}{E_1}

因此：

nN=2820(220235)n_N=2820\left(\frac{220}{235}\right)

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