108 關務特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查車輛在有超高的彎道上，受重力、路面正向力、側向摩擦力及向心加速度作用時的打滑極限與傾倒極限。合理速限取兩種極限中較低者。

依題目頁首資料，計算時採 $g=10.0\ \mathrm{m/s^2}$。超高率 $e=0.08$，側向摩擦係數 $\mu=0.2$，彎道半徑 $R=200\ \mathrm{m}$。

解題方法

（一）求不打滑、不傾倒的合理速限

先求打滑極限。車速較高時，摩擦力沿路面朝彎道內側，其極限值為 $\mu N$。令 $\theta$ 為路面傾角，且 $\tan\theta=e$，在垂直與水平方向列式：

兩式相除並整理：

代入數值：

換算為公里／小時：

再檢查傾倒極限。車輛重心相對輪距中心的幾何比值為：

以側向合力作用線到達外側輪胎為傾倒臨界，側向加速度比值為：

因此傾倒臨界速度約為：

核心觀念

本題考懸臂梁承受自由端集中力時的彎曲正應力與端點撓度。梁長 $L=600\ \mathrm{mm}$，負載方向為 $-y$，所以彎矩繞截面的 $x$ 軸，應使用 $I_x$：

原截面的 $90\ \mathrm{mm}$ 寬度沿 $x$ 方向，$6\ \mathrm{mm}$ 厚度沿 $y$ 方向，故

題目未提供彈性模數，以下按鋼材常用值 $E=200\ \mathrm{GPa}=200{,}000\ \mathrm{MPa}$ 計算。容許撓度按梁長除以 $500$：

（一）原設計違反哪些規範？

負載範圍為 $F=2\sim3\ \mathrm{kN}$，最大彎矩在固定端 $A$：

當 $F=2\ \mathrm{kN}$：

當 $F=3\ \mathrm{kN}$：

應力容許值為 $180\ \mathrm{MPa}$，撓度容許值為 $1.2\ \mathrm{mm}$。在整個負載範圍內，原設計的應力與撓度均超出規範。

（二）原設計最大應力位置

懸臂梁自由端受力，彎矩由自由端往固定端增加，因此最大彎矩出現在固定端 $A$。截面最大彎曲應力在最外側纖維，亦即距中性軸 $3\ \mathrm{mm}$ 的上、下表面；兩側分別為拉應力與壓應力。

（三）補強截面與面積慣性矩

可將新增的 $6\times90\ \mathrm{mm}$ 扁鋼折成「腹板加上緣小翼板」，再沿梁長焊接至原扁鋼，形成上下翼板不等寬的工字形截面。以下截面計算忽略焊道尺寸：

• 原扁鋼作為下翼板：$90\times6\ \mathrm{mm}$。
• 新增扁鋼折成腹板：$6\times78\ \mathrm{mm}$。
• 新增扁鋼剩餘部分作為上翼板：$12\times6\ \mathrm{mm}$。

核心觀念

繩索與滑輪理想、忽略摩擦時，繩內張力處處相同，記為 $T$。本題分別對 C 君與 B 處受力平衡：

• C 君受繩索拉力、地板正向力、摩擦力與體重作用。
• B 處受兩段繩索張力與物重 $W$ 作用。
• 圖示座標為 $x$ 向右、$y$ 向下，因此向下分量為正。

解題方法

1. 由 C 君的平衡求繩張力

C 君的體重為 $80g$。繩索拉力方向由 C 指向 B，水平向左、垂直向下，因此：

剛好維持平衡時，摩擦力達到最大值 $f=\mu N$，故

代入 $\mu=0.4$、$\phi=30^\circ$、$g=9.81\ \text{m/s}^2$：

2. 由 B 處平衡求 $\theta$ 與 $W$

B 處兩段繩索的張力大小皆為 $T$。沿 $x$ 方向平衡：

核心觀念

本題結合簡單擺與能量守恆：

• 簡單擺週期：$T=2\pi\sqrt{L/g}$
• 起重機緊急停止後，重錘相對起重機的初速度為原行駛速度 $v$。
• 重錘上擺至最高點時，初始動能轉為重力位能。
• 水平可達距離由臂架的水平投影，加上重錘相對鋼索端點的水平擺幅組成。

解題方法

（一）求鋼索長度 $CB$

由週期公式解出擺長 $L=CB$：

因此，緊急停止時鋼索長度約為 $6.21$ m。

（二）求起重機與目標的最小距離 $d$

先將車速換算為 SI 單位：

緊急停止後，重錘以初速 $v$ 擺動。設其相對鉛直方向的最大擺角為 $\alpha$，由動能轉為重力位能：

質量 $m$ 約去後：