111 關務特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

111 年・關務特考・四等・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題20 分

下圖顯示兩桿件透過鉸接方式連結重量同為 WW 之兩方塊 AA 與 BB，假設桿件重量極小於 WW 而可忽略考量，而方塊與其下接觸平面之靜摩擦係數為 0.300.30。請問當圖中 θ=80∘\theta = 80^\circ 時，維持系統平衡所能施加的最大力量 PP 為何（請以 WW 顯示）？（20分）

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核心觀念

本題考查：

  • 二力桿件：桿件重量忽略，且兩端皆為鉸接，因此桿件只承受軸向力。
  • 節點 CC 的力平衡。
  • 方塊與地面間的最大靜摩擦力： Fmax⁡=μsNF_{\max}=\mu_s N
  • 兩方塊必須分別滿足水平向力與摩擦力的平衡條件。

由圖可知，桿件 ACAC 與水平夾角為 30∘30^\circ，桿件 BCBC 與水平夾角為 60∘60^\circ；外力 PP 與左向水平線夾角為 θ=80∘\theta=80^\circ。

一、求兩桿件內力

設桿件 ACAC、BCBC 的壓縮力分別為 FACF_{AC}、FBCF_{BC}。

在節點 CC 取力平衡。由力三角形或拉密定理：

FAC=Psin⁡(180∘−80∘−60∘)=Psin⁡40∘F_{AC} = P\sin(180^\circ-80^\circ-60^\circ) = P\sin40^\circ

上式需依圖中實際力方向判定。直接以節點 CC 分量平衡計算較為穩定。

水平方向：

−FACcos⁡30∘+FBCcos⁡60∘−Pcos⁡100∘=0-F_{AC}\cos30^\circ+F_{BC}\cos60^\circ-P\cos100^\circ=0

鉛直方向：

−FACsin⁡30∘−FBCsin⁡60∘+Psin⁡100∘=0-F_{AC}\sin30^\circ-F_{BC}\sin60^\circ+P\sin100^\circ=0

解得：

FAC=Psin⁡20∘=0.342PF_{AC}=P\sin20^\circ=0.342P FBC=Psin⁡70∘=0.940PF_{BC}=P\sin70^\circ=0.940P

兩桿件皆為壓縮桿。

二、方塊 AA 的摩擦條件

桿件 ACAC 對方塊 AA 的作用力方向為左下方，因此：

水平分力：

FA,x=FACcos⁡30∘F_{A,x}=F_{AC}\cos30^\circ

鉛直向下分力：

FA,y=FACsin⁡30∘F_{A,y}=F_{AC}\sin30^\circ

故方塊 AA 的正向力為：

NA=W+FACsin⁡30∘N_A=W+F_{AC}\sin30^\circ

達到極限平衡時：

FACcos⁡30∘=μsNAF_{AC}\cos30^\circ = \mu_s N_A
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第 二 題20 分

下圖中，方塊 AA 之質量為 10 kg10\text{ kg}，正以一板車拖上斜坡，方塊與板車承載面之摩擦係數為 0.70.7。為求順利運作，避免運送時方塊在板車上滑移，請問板車往上可容許之最大加速度為何？（20分）

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核心觀念

方塊與板車沒有相對滑動時，方塊沿斜面方向的加速度與板車相同，均為 aa。斜面傾角為 30∘30^\circ，摩擦係數為 μ=0.7\mu=0.7。

板車向斜面上方加速時，方塊有沿斜面下滑的趨勢，因此摩擦力方向沿斜面向上。最大容許加速度發生在靜摩擦力達到最大值時：

fmax⁡=μNf_{\max}=\mu N

解題方法

取沿斜面向上為正方向。

垂直斜面方向無加速度，因此

N=mgcos⁡30∘N=mg\cos30^\circ

沿斜面方向，方塊受摩擦力 ff 向上、重力分量 mgsin⁡30∘mg\sin30^\circ 向下：

f−mgsin⁡30∘=maf-mg\sin30^\circ=ma

所以所需摩擦力為

f=m(a+gsin⁡30∘)f=m\left(a+g\sin30^\circ\right)

為避免方塊滑動，必須滿足

m(a+gsin⁡30∘)≤μmgcos⁡30∘m\left(a+g\sin30^\circ\right)\leq \mu mg\cos30^\circ

約去質量 mm：

a+gsin⁡30∘≤μgcos⁡30∘a+g\sin30^\circ\leq \mu g\cos30^\circ

故最大加速度為

amax⁡=g(μcos⁡30∘−sin⁡30∘)a_{\max}=g\left(\mu\cos30^\circ-\sin30^\circ\right)

代入 μ=0.7\mu=0.7：

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第 三 題20 分

拉力 F=100 NF = 100\text{ N} 可將一彈簧拉伸 1 cm1\text{ cm}。今將此彈簧橫置於光滑平面上，將其一端固定於牆壁，而後用一 5 kg5\text{ kg} 物件以 10 m/s10\text{ m/s} 速度沿彈簧線另外一端撞擊，請問：

(一) 彈簧被壓縮多少時，物件才會停止？（15分） (二) 其後，物件將會如何運動？請依物件是否黏結於彈簧分開探討。（5分）

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核心觀念

本題考查：

  • 彈簧勁度係數 kk 的定義： F=kxF=kx
  • 光滑平面上無摩擦力，機械能守恆。
  • 物體壓縮彈簧至瞬間停止時，初動能全部轉換為彈簧彈性位能。
  • 物體是否黏結於彈簧，會決定物體能否在彈簧恢復自然長度後繼續受到拉力。

已知拉力 F=100 NF=100\text{ N} 使彈簧伸長：

x=1 cm=0.01 mx=1\text{ cm}=0.01\text{ m}

因此彈簧勁度係數為：

k=Fx=1000.01=10000 N/mk=\frac{F}{x} =\frac{100}{0.01} =10000\text{ N/m}

解題方法

（一）求彈簧最大壓縮量

物體質量為 m=5 kgm=5\text{ kg}，初速度為 v=10 m/sv=10\text{ m/s}。

由於平面光滑，無摩擦力消耗能量。物體開始撞擊彈簧時具有動能：

Ki=12mv2=12(5)(10)2=250 JK_i=\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2}(5)(10)^2 =250\text{ J}

當彈簧被壓縮至最大量 xmax⁡x_{\max} 時，物體瞬間停止，速度為零，故其動能全部轉換為彈簧彈性位能：

12mv2=12kxmax⁡2\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_{\max}^2

代入數值：

12(5)(10)2=12(10000)xmax⁡2\frac{1}{2}(5)(10)^2 = \frac{1}{2}(10000)x_{\max}^2 250=5000xmax⁡2250=5000x_{\max}^2 xmax⁡2=0.05x_{\max}^2=0.05 xmax⁡=0.05≈0.2236 mx_{\max}=\sqrt{0.05} \approx 0.2236\text{ m}

因此：

xmax⁡≈0.224 m=22.4 cm\boxed{x_{\max}\approx 0.224\text{ m}=22.4\text{ cm}}

（二）物體後續運動

情況一：物體黏結於彈簧

物體黏結於彈簧後，彈簧恢復時會繼續拉動物體，因此物體與彈簧構成簡諧運動系統。

以彈簧自然長度位置為平衡位置，物體初始位於最大壓縮位置：

x(0)=xmax⁡=0.2236 m,v(0)=0x(0)=x_{\max}=0.2236\text{ m},\qquad v(0)=0

其角頻率為：

ω=km=100005=2000≈44.72 rad/s\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{10000}{5}} =\sqrt{2000} \approx44.72\text{ rad/s}

運動為簡諧運動，振幅為：

A=0.2236 mA=0.2236\text{ m}

物體將在下列兩位置間往復運動：

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第 四 題20 分

下圖顯示纜線 BDBD 以鉸接方式拉住一透過支架鉸接於地面之剛性桿件 ABCABC，該桿件預備承受之負荷為圖示之 PP。已知纜線之極限負荷為 100 kN100\text{ kN}，而其設計要求的安全因子為 3.23.2，在此情況下，請問桿件 ABCABC 所能承受之最大 PP 值為何？（假設所有物件都在同一平面上）（20分）

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核心觀念

本題考查平面剛體的靜力平衡，以及纜線安全負荷的換算。

纜線的設計容許張力為

Tallow=T極限安全因子=1003.2=31.25 kNT_{\text{allow}}=\frac{T_{\text{極限}}}{安全因子} =\frac{100}{3.2} =31.25\text{ kN}

剛性桿件 ABCABC 處於平衡狀態，因此對任一點取力矩皆須滿足

∑M=0\sum M=0

選擇鉸支承點 CC 取矩，可消除支承反力未知數。

解題方法

由圖取座標：

  • AA 到 CC 的水平距離為 1.2 m1.2\text{ m}
  • AA 到 CC 的垂直距離為 0.6 m0.6\text{ m}
  • BB 到 CC 的水平距離為 0.4 m0.4\text{ m}
  • BB 位於 CC 上方 0.6 m0.6\text{ m}

1. 外力 PP 對 CC 點的力矩

圖中 PP 與鉛直線夾角為 40∘40^\circ，其分量為

Px=Psin⁡40∘P_x=P\sin40^\circ Py=Pcos⁡40∘P_y=P\cos40^\circ

取逆時針為正，PP 對 CC 的力矩為

MC(P)=(1.2)(Pcos⁡40∘)+(0.6)(Psin⁡40∘)M_C(P) =(1.2)(P\cos40^\circ)+(0.6)(P\sin40^\circ)

因此

MC(P)=P(1.2cos⁡40∘+0.6sin⁡40∘)M_C(P) =P\left(1.2\cos40^\circ+0.6\sin40^\circ\right)

2. 纜線張力 TT 對 CC 點的力矩

纜線 BDBD 與水平線夾角為 30∘30^\circ，其作用於 BB 點的分量為

Tx=Tcos⁡30∘T_x=T\cos30^\circ Ty=Tsin⁡30∘T_y=T\sin30^\circ

纜線張力對 CC 點產生順時針力矩，其大小為

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第 五 題20 分

下圖顯示一正方形截面之鋼材置於簡支撐上，鋼材密度為 7.86 g/cm37.86\text{ g/cm}^3，如果該鋼材最大容許應力為 10 MPa10\text{ MPa}，請問鋼材承受自身重量所能容許之最小截面寬度 bb 為若干？（20分）

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核心觀念

本題考查「均布自重作用下之雙支承懸臂梁」的最大彎曲應力。

鋼材為正方形截面，截面寬、高皆為 bb，因此：

  • 截面面積：A=b2A=b^2
  • 單位長度自重：
w=ρgA=ρgb2w=\rho gA=\rho gb^2
  • 正方形截面慣性矩：
I=b412I=\frac{b^4}{12}
  • 外側纖維距中性軸距離：
c=b2c=\frac{b}{2}

彎曲正應力公式為：

σmax⁡=Mmax⁡cI\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}

解題方法

由圖可知：

  • AB=3.6 mAB=3.6\ \text{m}
  • AC=1.2 mAC=1.2\ \text{m}
  • CD=1.2 mCD=1.2\ \text{m}
  • DB=1.2 mDB=1.2\ \text{m}
  • 支承位於 CC、DD
  • 全梁承受均布自重 ww

由於結構與載重皆對稱，兩支承反力相等：

RC=RD=w(3.6)2=1.8wR_C=R_D=\frac{w(3.6)}{2}=1.8w

1. 求支承處彎矩

左側懸臂段 ACAC 長度為 1.2 m1.2\ \text{m}，因此在 CC 點的彎矩為：

MC=−w(1.2)22=−0.72wM_C=-\frac{w(1.2)^2}{2} =-0.72w

同理：

MD=−0.72wM_D=-0.72w

2. 求跨距 CDCD 內的最大正彎矩

令距離 CC 點向右為 xx，其中 0≤x≤1.20\leq x\leq1.2，則：

M(x)=−0.72w+1.8wx−wx22M(x)=-0.72w+1.8wx-\frac{wx^2}{2}

最大彎矩發生於剪力為零處：

dMdx=1.8w−wx=0\frac{dM}{dx}=1.8w-wx=0

因此：

x=1.8 mx=1.8\ \text{m}

但由於跨距 CDCD 僅 1.2 m1.2\ \text{m}，上述位置不在 CDCD 跨內。此處應以完整左側截面平衡判斷，跨內剪力為：

V=RC−w(1.2+x)V=R_C-w(1.2+x)

令 V=0V=0：

1.8w−w(1.2+x)=01.8w-w(1.2+x)=0 x=0.6 mx=0.6\ \text{m}
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