111 關務特考四等 機械工程 機械原理概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查「兩相交軸間的動力傳遞機構」。兩軸中心線在空間中相交，常用機構如下：

1. 傘齒輪（Bevel gear）：以齒輪嚙合傳遞動力，適合固定速比及連續旋轉。
2. 萬向接頭（Universal joint，十字軸接頭）：以十字銷及叉形接頭傳遞轉矩，適合兩軸間存在變動夾角的場合。

其中，蝸桿、蝸輪及雙曲面齒輪主要用於兩軸不相交的情況，不是本題的主要答案。

一、傘齒輪傳動

傘齒輪的節錐頂點位於兩軸交點，兩個齒輪的節錐軸線分別與兩軸重合，藉由齒面嚙合傳遞圓周力及轉矩。

示意圖：

 從動軸
 /
 / 從動傘齒輪
 / ◇
 / ╱
 O──────◇
 /
 /
 /
 主動軸

較完整的剖面概念可表示為：

 軸Ⅱ
 /
 / 傘齒輪Ⅱ
 / ◇
 / ╱
 O──────◇
 ╲ ╱
 ╲ ╱
 ╲ ╱
 軸Ⅰ
 傘齒輪Ⅰ

兩傘齒輪分別固定於兩相交軸上，主動齒輪旋轉時，齒面嚙合使從動齒輪旋轉，因而將動力由軸Ⅰ傳至軸Ⅱ。

若兩軸夾角為 $\Sigma$，則傘齒輪的節錐角 $\delta_1$、$\delta_2$ 滿足：

若主動齒輪齒數為 $z_1$，從動齒輪齒數為 $z_2$，則理想速比為：

或

其中：

• $n_1$：主動軸轉速
• $n_2$：從動軸轉速
• $z_1,z_2$：主、從動傘齒輪齒數

轉矩關係可寫為：

實際傳動時須考慮齒面摩擦、軸承摩擦及齒形誤差，因此輸出功率會因效率而降低。

傘齒輪的種類

• 直齒傘齒輪：製造簡單，但高速運轉時噪音及振動較大。
• 螺旋傘齒輪：嚙合較平順，適合較高轉速及較大負荷。
• 斜齒傘齒輪或零度傘齒輪：可改善運轉平穩性及負荷能力。
• 斜交軸用雙曲面齒輪：兩軸不相交，不能作為本題典型答案。

二、萬向接頭傳動

萬向接頭由主動叉、從動叉及十字接頭組成，可使兩軸在相交且具有夾角時傳遞轉矩。

示意圖：

主動軸 從動軸
───────┐ ┌────────
 │ 主動叉 從動叉 │
 └───┐ ┌───┘
 ├────┼──────┤
 │ 十字接頭 │
 └────┼──────┘
 O
 兩軸交點

核心觀念

1. 公制螺紋標示法（ISO Metric Thread）： 公制螺紋以字母 $\text{M}$ 表示，標準規格標示方式為 $\text{M} d \times P$，其中 $d$ 為標稱直徑（公稱外徑，單位 $\mathrm{mm}$），$P$ 為節距（軸向相鄰螺紋距離，單位 $\mathrm{mm}$）。若為粗螺紋，通常可省略節距標記；細螺紋則必須標示節距。

2. 英制統一螺紋標示法（Unified Screw Thread, UN/UNF/UNRF）： 美規／英制螺紋標記格式為「外徑（吋）- 每吋牙數（TPI） 螺紋系列代號」。

• $1\ \mathrm{in} = 25.4\ \mathrm{mm}$。
• 每吋牙數 $n$（Threads Per Inch, TPI）與節距 $P$ 的關係為： $P = \frac{1}{n}\ \mathrm{in} = \frac{25.4}{n}\ \mathrm{mm}$

3. 螺栓軸向張力負載強度（Axial Tensile Load Capacity）： 螺栓承受軸向拉力時，其最大許可軸向張力負載 $F_{\max}$ 取決於材料的許可拉應力 $\sigma_{\text{allow}}$ 與螺桿的有效受拉面積（張力應力面積 $A_t$ 或小徑截面積 $A_r$）： $F_{\max} = \sigma_{\text{allow}} \times A$ 其中公制與英制 $60^\circ$ 三角螺紋之小徑 $d_r$ 估算公式為： $d_r \approx d - 1.082539 \times P$ 在材料相同（$\sigma_{\text{allow}}$ 相同）的前提下，小徑（根徑）越直、受拉截面積越大者，所能承受之軸向張力負載越大。

解題方法

第一階段：螺紋規格標示與尺寸換算比較

1. 公制螺紋規格標示：

• 標稱直徑 $d_1 = 14\ \mathrm{mm}$
• 軸向相鄰距離（節距）$P_1 = 2\ \mathrm{mm}$
• 規格標示為：$\text{M14} \times 2$

2. $5/8\ \mathrm{in}$-$14$ UNRF 螺紋尺寸換算：

• 標稱直徑 $d_2 = \frac{5}{8}\ \mathrm{in} = 0.625 \times 25.4\ \mathrm{mm} = 15.875\ \mathrm{mm}$
• 每吋牙數 $n = 14$，故節距 $P_2 = \frac{25.4}{14}\ \mathrm{mm} \approx 1.8143\ \mathrm{mm}$

3. 直徑差異與節距差異計算：

• 直徑差異： $\Delta d = d_2 - d_1 = 15.875\ \mathrm{mm} - 14\ \mathrm{mm} = 1.875\ \mathrm{mm}$ （$5/8\ \mathrm{in}$-$14$ UNRF 的直徑比公制螺紋大 $1.875\ \mathrm{mm}$）
• 節距差異： $\Delta P = P_1 - P_2 = 2\ \mathrm{mm} - 1.8143\ \mathrm{mm} = 0.1857\ \mathrm{mm}$ （$\text{M14} \times 2$ 的節距比 $5/8\ \mathrm{in}$-$14$ UNRF 大 $0.1857\ \mathrm{mm}$）

第二階段：軸向張力負載能力比較與證明

1. 計算 $\text{M14} \times 2$ 之根徑與受力面積：

• 根徑 $d_{r1} \approx 14 - 1.082539 \times 2 = 14 - 2.1651 = 11.8349\ \mathrm{mm}$
• 根徑截面積 $A_{r1} = \frac{\pi}{4} \cdot (d_{r1})^2 \approx \frac{\pi}{4} \cdot (11.8349)^2 \approx 110.0\ \mathrm{mm}^2$

2. 計算 $5/8\ \mathrm{in}$-$14$ UNRF 之根徑與受力面積：

• 根徑 $d_{r2} \approx 15.875 - 1.082539 \times 1.8143 = 15.875 - 1.9640 = 13.9110\ \mathrm{mm}$
• 根徑截面積 $A_{r2} = \frac{\pi}{4} \cdot (d_{r2})^2 \approx \frac{\pi}{4} \cdot (13.9110)^2 \approx 151.98\ \mathrm{mm}^2$

核心觀念

1. 導螺桿之導程（Lead）與螺距（Pitch）關係：

• 螺距（Pitch, $P$）：相鄰兩螺紋牙峰間的軸向距離。
• 導程（Lead, $L$）：螺桿旋轉一圈（$360^\circ$）時，螺帽（工作台）所移動的直線軸向距離。
• 線數（Number of Threads, $N$）：螺紋的條數。單線螺紋 $N=1$，雙線螺紋 $N=2$。
• 公式關係： $L = N \times P$

2. 步進馬達步進角（Step Angle）與進給解析度（Feed Resolution）：

• 步進角（$\theta$）：步進馬達每接收一個驅動脈衝（Pulse）時所轉過的角度。
• 每轉步數（$n$）：馬達旋轉一圈（$360^\circ$）所需的總步數，即 $n = \frac{360^\circ}{\theta}$。
• 進給解析度（$\delta$）：馬達轉動一步（單一脈衝）時，機台產生的最小直線位移量。
• 公式關係： $\delta = \frac{L}{n} = \frac{L \times \theta}{360^\circ}$

解題方法

1. 計算雙線導螺桿之導程 $L$： 已知螺距 $P = 1\ \mathrm{mm}$，線數 $N = 2$（雙線螺紋）： $L = N \times P = 2 \times 1\ \mathrm{mm} = 2\ \mathrm{mm}$

2. 推導步進馬達所需之步進角 $\theta$： 已知機台要求之進給解析度 $\delta = 0.01\ \mathrm{mm}$，代入進給解析度公式： $\delta = \frac{L \times \theta}{360^\circ}$ $0.01\ \mathrm{mm} = \frac{2\ \mathrm{mm} \times \theta}{360^\circ}$

核心觀念

本題考查兩部分：

1. 滾動軸承的主要結構。
2. 滾珠軸承基本額定動負荷 $C$ 與基本額定壽命 $L_{10}$ 的關係。

滾動軸承主要由下列構件組成：

• 內環：與軸配合。
• 外環：裝設於軸承座或機座內。
• 滾動體：置於內、外環滾道之間，承受負荷並以滾動方式減少摩擦。滾動體可為滾珠、圓柱滾子、圓錐滾子等。
• 保持器：使滾動體保持適當間隔，避免彼此碰撞，並引導其運動。

部分軸承另設有密封件、防塵蓋或潤滑結構，但並非所有滾動軸承的基本構件。

基本額定壽命

基本額定壽命以 $L_{10}$ 表示，是指：

一群相同軸承在相同運轉條件下，其中 $90\%$ 的軸承在發生材料疲勞剝落前，所能承受的總轉數。

因此，基本額定壽命也稱為 $90\%$ 可靠度壽命。本題指定可靠度為 $90\%$，正好對應基本額定壽命 $L_{10}$，不需另加可靠度修正係數。

解題方法

滾珠軸承的基本額定壽命公式為

其中：

• $L_{10}$：以百萬轉表示的基本額定壽命
• $C$：基本額定動負荷
• $P$：軸承等效動負荷
• 指數 $3$：適用於滾珠軸承

題目給定軸承轉速與使用時間，必須先將壽命換算為總轉數。

第一步：計算所需壽命之總轉數

轉速為每分鐘 $2000$ 轉，壽命為 $6000$ 小時，因此總轉數為

換算成百萬轉：

故所需基本額定壽命為

第二步：確定等效動負荷

題目僅承受徑向負載，且未給定軸向負載，因此軸承等效動負荷為徑向負載：

第三步：求基本額定動負荷

由

移項得

代入數值：

因此