112 關務特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查複合面積形心。斜線面積可視為：

• 半徑為 $R$ 的半圓面積
• 減去半徑為 $r$、圓心位於 $(0,h)$ 的圓孔面積

因圖形對 $y$ 軸對稱，所以：

$\bar{x}=0$

只需利用複合面積形心公式求 $\bar{y}$：

其中圓孔視為負面積。

解題方法

半圓面積為

半圓形心至底部直徑的距離為

圓孔面積為

且圓孔圓心位置為

因此斜線面積形心的 $y$ 座標為

已知

所以

代入後，圓孔面積與半圓面積的比值為

故

核心觀念

本題考查「重力擺」的機械能守恆與圓周運動向心力。繩索最大張力發生在物體通過最低點時，因為此時速度最大，所需向心力也最大。

使用公式：

• 機械能守恆： $mgh=\frac{1}{2}mv^2$
• 最低點的向心力方程： $T-mg=\frac{mv^2}{r}$

其中圖示的 $d$ 為物體初位置相對於支點水平線的垂直下降高度。

解題方法

物體由靜止釋放，下降至最低點的高度為

$h=d=20\ \mathrm{cm}=0.20\ \mathrm{m}$

由機械能守恆：

$mgd=\frac{1}{2}mv^2$

約去質量 $m$：

$v^2=2gd$

在最低點，繩張力 $T$ 向上，重力 $mg$ 向下，合力提供向心力：

$T-mg=\frac{mv^2}{r}$

代入 $v^2=2gd$：

$T=mg+\frac{m(2gd)}{r}$

$T=mg\left(1+\frac{2d}{r}\right)$

已知

核心觀念

本題使用「功與能原理」：

• 斜面光滑，無摩擦力做功。
• 彈簧初始未壓縮。
• 塊體由靜止釋放，壓縮彈簧至最大量 $x$ 時瞬間停止，因此初、末速度皆為零。
• 塊體沿斜面移動距離為 $10+x$，其下降高度為 $(10+x)\sin30^\circ$。

解題方法

取彈簧未壓縮位置為基準。重力位能減少量等於彈簧儲存的彈性能：

已知

代入 $g=9.81\ \text{m/s}^2$ 及 $\sin30^\circ=0.5$：

整理得

第四題

（一）樑之彎曲應力與曲率半徑的關係

核心觀念

本題考查樑的純彎曲理論。在彈性限度內，採用下列假設：

• 樑之平面截面彎曲後仍保持平面。
• 中立軸長度不變，應變為零。
• 材料符合虎克定律：$\sigma=E\varepsilon$。
• 距離中立軸越遠，彎曲應變越大。

解題方法與推導

取樑彎曲後之中立軸曲率半徑為 $\rho$，截取微小圓心角 $d\theta$。

外側纖維：半徑 ρ+y，弧長 (ρ+y)dθ
中立軸： 半徑 ρ， 弧長 ρdθ
內側纖維：半徑 ρ−y，弧長 (ρ−y)dθ

中立軸的長度為

距離中立軸 $y$ 的外側纖維長度為

因此該纖維的伸長量為

其正應變為

依虎克定律，

故得

外側纖維受拉，應力為正；內側纖維受壓，若以帶方向的距離表示，則 $y<0$，應力為負。

（二）鋼絲在 $A$ 點的彎曲應力

核心觀念

鋼絲直徑為 $4\ \mathrm{mm}$，其截面為圓形，因此最外側點 $A$ 到中立軸的距離為鋼絲半徑：

核心觀念

本題考查：

1. 安全銷所承受的剪力與傳遞扭矩的關係： $T=F_P r$
2. 實心圓軸的扭轉剪應力公式：

由圖可知，安全銷 $P$ 到兩軸共同旋轉中心的距離為 $130\ \mathrm{mm}$；軸徑為 $25\ \mathrm{mm}$。

解題方法

安全銷失效前所能承受的平均剪力為

$F_P=550\ \mathrm{N}$

安全銷位於距軸心

$r=130\ \mathrm{mm}$

因此，安全銷所能傳遞的最大扭矩為

$T_{\max}=F_P r$

代入數值：

換算為：

$\boxed{T_{\max}=71.5\ \mathrm{N\cdot m}}$

（二）每根軸的最大剪切應力

安全銷即將失效時，每根軸所承受的扭矩即為

$T=71500\ \mathrm{N\cdot mm}$

軸為實心圓軸，直徑

$d=25\ \mathrm{mm}$

實心圓軸的最大扭轉剪應力為

$\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^3}$

代入：