110 年關務特考四等機械工程考古題與詳解

Question 1

家具工人用手持鑽機在桌腳鑽洞（如圖一），鑽頭直徑為 $d=4.0\ \mathrm{mm}$ 。

(一) 若桌腳的抗扭矩為 $0.3\ \mathrm{N\cdot m}$ ，求鑽頭的最大剪應力。（10 分）

(二) 若鑽頭的容許剪應力為 $32\ \mathrm{MPa}$ ，求鑽頭不被卡住的最大抗扭矩。（10 分）

(三) 若鋼的剪彈性模數為 $75\ \mathrm{GPa}$ ，求鑽頭的扭角率（度／米）。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查實心圓軸受扭時的剪應力與扭轉變形。直徑為 $d$ 的實心圓軸，其極慣性矩為 $$ J=\frac{\pi d^4}{32} $$ 扭矩為 $T$ 時，外表面的最大剪應力為 $$ 	au{\max}=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3},\qquad c=\frac d2 $$ 扭轉角率（單位長度扭轉角）為 $$ \frac{	heta}{L}=\frac{T}{JG} $$ 解題方法 題目給定鑽頭直徑 $d=4.0\ \mathrm{mm}=0.004\ \mathrm{m}$。依圖示將鑽頭視為實心圓軸；第三小題以第一小題的扭矩 $T=0.3\ \mathrm{N\cdot m}$ 計算。 （一）求最大剪應力 $$ 	au{\max} =\frac{16T}{\pi d^3} =\frac{16(0.3)}{\pi(0.004)^3} =2.387	imes10^7\ \mathrm{Pa} $$ $$ \boxed{	au{\max}\approx23.9\ \mathrm{MPa}} $$ （二）求容許剪應力下的最大抗扭矩 令最大剪應力等於容許剪應力 $32\ \mathrm{MPa}$：

Question 2

手施加一個 $8\ \mathrm{lb}$ 的力在一彈簧壓縮鉗（如圖二），試求維持機構平衡的彈簧受力。（25 分） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查複合槓桿與二力構件的靜力平衡。先用槓桿力矩求出連桿傳力，再利用與水平成 $30^\circ$ 的斜桿分解力，求彈簧受力。 解題方法 握把上的 $8\ \mathrm{lb}$ 力作用位置距 $C$ 點 $6\ \mathrm{in.}$，而連桿作用位置距 $C$ 點 $2\ \mathrm{in.}$。對槓桿以 $C$ 點取矩： $$ 8(6)=FB(2) $$ 因此連桿傳力為 $$ FB=24\ \mathrm{lb} $$ 再以 $C$ 點取矩，利用 $D$ 點距 $C$ 點 $3\ \mathrm{in.}$： $$ 24(2)=FD(3) $$ 得到斜桿作用於每一側的垂直分力 $$ FD=16\ \mathrm{lb} $$

Question 3

一腳踏車沿著筆直路徑前進，其位置表示如圖三。試畫出 $0\leq t\leq30\ \mathrm{s}$ 間的 $v-t$ 和 $a-t$ 圖。（20 分）

其中位置函數如圖所示：

s=t^2,\qquad 0\leq t\leq10\ \mathrm{s}

s=20t-100,\qquad 10\leq t\leq30\ \mathrm{s}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 位置對時間的一階導數是速度，速度對時間的一階導數是加速度： $$ v(t)=\frac{ds}{dt},\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2} $$ 因此，分段位置函數要在各區間分別微分，再確認分界點的速度與加速度是否連續。 解題方法 當 $0\leq t\leq10\ \mathrm{s}$ 時，位置函數為 $s=t^2$： $$ v(t)=\frac{d}{dt}(t^2)=2t\ \mathrm{m/s} $$ $$ a(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2\ \mathrm{m/s^2} $$ 當 $10\leq t\leq30\ \mathrm{s}$ 時，位置函數為 $s=20t-100$： $$ v(t)=\frac{d}{dt}(20t-100)=20\ \mathrm{m/s} $$ $$ a(t)=\frac{d}{dt}(20)=0\ \mathrm{m/s^2} $$ 在分界點 $t=10\ \mathrm{s}$，兩段位置皆為 $100\ \mathrm{m}$，兩側速度也都為 $20\ \mathrm{m/s}$，所以位置與速度連續；但加速度由 $2$ 跳變為 $0$，故 $t=10\ \mathrm{s}$ 處的加速度未定義。 $v-t$ 與 $a-t$ 圖 速度圖為：

Question 4

如圖四所示，光滑 $2\ \mathrm{kg}$ 套環 $C$ 配合垂直軸滑動。當套環到達虛線位置 $A$ 時，彈簧未受力。試求下列兩種情況， $y=1\ \mathrm{m}$ 時套環的速度：

(一) 在 $A$ 點由靜止釋放。

(二) 在 $A$ 點以 $v_A=2\ \mathrm{m/s}$ 向上速度釋放。（25 分）

圖示條件：彈簧常數 $k=3\ \mathrm{N/m}$ ，固定點 $B$ 與垂直軸的水平距離為 $0.75\ \mathrm{m}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 套環沿光滑垂直軸滑動，軸的正向力與位移垂直，不作功。因此可用機械能守恆，將重力位能的減少轉成動能，並扣除彈簧位能的增加。 以 $A$ 點為彈簧未變形的位置。當套環下移 $y$ 時，彈簧長度為 $$ L=\sqrt{0.75^2+y^2} $$ 其原長為 $L0=0.75\ \mathrm{m}$，彈簧伸長量為 $x=L-L0$，彈簧位能為 $Us=\frac12kx^2$。 解題方法 取 $A$ 點的重力位能為零，向下位移 $y$ 時，重力位能改變為 $-mgy$。由能量守恆： $$ \frac12mvA^2 = \frac12mv^2+\frac12k(L-L0)^2-mgy $$ 在 $y=1\ \mathrm{m}$ 時： $$ L=\sqrt{0.75^2+1^2}=1.25\ \mathrm{m} $$ $$ x=1.25-0.75=0.50\ \mathrm{m} $$ 彈簧位能增加量為 $$ \Delta Us=\frac12(3)(0.50)^2=0.375\ \mathrm{J} $$ 重力位能減少量為 $$ mgy=(2)(9.81)(1)=19.62\ \mathrm{J} $$ （一）在 $A$ 點由靜止釋放 此時 $vA=0$，所以

110 關務特考四等機械工程機械力學概要考古題詳解

第一題30 分

第二題25 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法

$v-t$ 與 $a-t$ 圖

第四題25 分

其他考古題

110 年機械工程的其他科目

機械工程《機械力學概要》其他年度

110 關務特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

第 一 題30 分

第 二 題25 分

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

v−tv-tv−t 與 a−ta-ta−t 圖

第 四 題25 分

其他考古題

110 年機械工程的其他科目

機械工程《機械力學概要》其他年度

110 關務特考四等機械工程機械力學概要考古題詳解

第一題30 分

第二題25 分

第三題20 分

$v-t$ 與 $a-t$ 圖

第四題25 分