109 身心障礙特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗全機率公式與貝氏定理。令：

• $H$：此人患有心臟病。
• $P$：此人有牙周病。

題目給定：

其中 $H^c$ 表示沒有心臟病。

解題方法

（一）隨機抽取一人有牙周病的機率

依全機率公式，分別考慮此人患有及未患有心臟病的情況：

因此，隨機抽取一人有牙周病的機率為 $35.04\%$。

（二）已知有牙周病，患有心臟病的機率

依貝氏定理：

核心觀念

母體常態但母體變異數未知，且樣本數為 $n=15$，因此使用單一樣本 $t$ 檢定。題目要檢定每日平均使用人數是否大於 $100$ 人：

這是右尾檢定，顯著水準 $\alpha=0.05$。使用信賴區間法時，應建立母體平均數的 95% 單尾下限信賴區間；若下限大於 $100$，即拒絕虛無假說。

解題方法

樣本數為 $15$，資料總和為 $1631$，因此

以 $109$ 為基準計算，離差平方和為 $1312$；離差總和為 $-4$，故校正後平方和為

樣本變異數、樣本標準差與平均數標準誤為

自由度為 $14$，右尾臨界值為 $t_{0.95,14}=1.761$。95% 單尾下限信賴區間為

因為下限 $104.33>100$，所以在顯著水準 $0.05$ 下拒絕 $H_0$，認為安安圖書館每日使用自助借書系統的平均人數大於 $100$ 人。

核心觀念

兩家化工廠各有 $10$ 筆排放量，題目要比較兩個獨立樣本的中位數，且未假設排放量服從常態分配。適合使用 Mood 中位數檢定：將兩組資料合併，以合併樣本的中位數為界，檢定兩組資料落在中位數上下的比例是否相同。

設化工廠 A、B 的母體中位數分別為 $\eta_A$、$\eta_B$，檢定假設為

解題方法

先將 $20$ 筆資料由小到大排列：

合併樣本中位數為第 $10$ 與第 $11$ 個數值的平均：

將各組資料依是否高於或低於 $20$ 分類；等於 $20$ 的觀測值不列入上下方計數。整理如下：

因此，用於檢定的 $2\times2$ 列聯表為：

核心觀念

令銷售額為自變數 $x$、每股盈餘為應變數 $y$。簡單線性迴歸以最小平方法估計

檢定線性相關時，可檢定母體相關係數 $\rho=0$；在簡單線性迴歸中，這也等同檢定斜率 $\beta_1=0$。迴歸的整體顯著性可用 $F$ 檢定；$R^2$ 則描述樣本中應變數變異被迴歸模型解釋的比例。

（一）最小平方法迴歸直線

計算得

因此斜率與截距為

迴歸直線為

（二）檢定兩變數是否有線性相關

設定雙尾檢定：

樣本相關係數為

其中 $S_{yy}=11.2343$。檢定統計量為

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的雙尾臨界值為 $t_{0.025,5}=2.571$。因為 $|t|=4.20>2.571$，拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，銷售額與每股盈餘有顯著線性相關，且樣本呈正相關。

（三）迴歸直線的配適度檢定

以迴歸變異分析的 $F$ 檢定檢查模型是否具有整體解釋力：

平方和及檢定統計量為