111 身心障礙特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 條件機率： $P(A\mid B)$ 表示在事件 $B$ 已發生的條件下，事件 $A$ 發生的機率。

2. 全機率定理： 當樣本空間由互斥且完備的事件分割時， $P(A)=\sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)$

3. 貝氏定理： $P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$

令：

• $H$：專家評定為高度成功
• $M$：專家評定為中度成功
• $L$：專家評定為質差
• $G$：獲得客戶好評
• $G^c$：未獲得客戶好評

題目資料為：

$P(H)=0.40,\quad P(M)=0.35,\quad P(L)=0.25$

$P(G\mid H)=0.95,\quad P(G\mid M)=0.60,\quad P(G\mid L)=0.10$

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解題方法

三種產品等級 $H,M,L$ 彼此互斥，且涵蓋所有產品，因此可依序使用：

• 第（一）題：直接使用條件機率定義。
• 第（二）題：使用全機率定理，分別計算三類產品獲得好評的機率後加總。
• 第（三）題：先求未獲好評的總機率，再使用貝氏定理。

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（一）高度成功產品獲得好評的機率

題目已直接給出：

$P(G\mid H)=0.95$

因此，高度成功產品獲得客戶好評的機率為：

$\boxed{0.95=95\%}$

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（二）所有產品獲得好評的機率

依全機率定理：

$P(G)=P(G\mid H)P(H)+P(G\mid M)P(M)+P(G\mid L)P(L)$

代入題目資料：

$$\begin{aligned} P(G) &=(0.95)(0.40)+(0.60)(0.35)+(0.10)(0.25)\\ &=0.38+0.21+0.025\\ &=0.615 \end{aligned}$$

因此，所有產品獲得客戶好評的機率為：

$\boxed{0.615=61.5\%}$

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（三）未獲好評產品為高度成功產品的機率

要求的是：

核心觀念

設 $X$ 表示 100 位顧客中獎的人數。每位顧客中獎機率為 $p=0.1$，未中獎機率為 $q=0.9$，且各顧客是否中獎相互獨立，因此

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n=100,p=0.1).$$

二項分配的期望值與變異數為

$$E(X)=np=100(0.1)=10,$$ $$\operatorname{Var}(X)=npq=100(0.1)(0.9)=9,$$

故標準差為

$$\sigma_X=\sqrt{9}=3.$$

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（一）100 位顧客中都沒有人中獎的機率

解題方法

「都沒有人中獎」表示 $X=0$。利用二項分配機率函數：

$$P(X=x)=\binom{n}{x}p^xq^{n-x}.$$

代入 $x=0$：

$$\begin{aligned} P(X=0) &=\binom{100}{0}(0.1)^0(0.9)^{100}\\ &=(0.9)^{100}. \end{aligned}$$

計算得

$$P(X=0)\approx 0.00002656.$$

因此，100 位顧客中都沒有人中獎的機率約為

$$\boxed{0.00002656}$$

亦即約為 $0.002656\%$。

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（二）利用柴比雪夫不等式求中獎人數介於 4 到 16 人的機率

核心觀念

柴比雪夫不等式為

$$P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2},$$

或寫成

$$P(|X-\mu|<a)\geq 1-\frac{\sigma^2}{a^2}.$$

本題中

$$\mu=10,\qquad \sigma^2=9.$$

「中獎人數介於 4 到 16 人」可寫為

$$4\leq X\leq 16.$$

此區間相對於平均數 $10$ 的最大距離為

$$a=6.$$

因此利用柴比雪夫不等式：

$$\begin{aligned} P(|X-10|\leq 6) &\geq 1-\frac{9}{6^2}\\ &=1-\frac{9}{36}\\ &=1-\frac14\\ &=\frac34. \end{aligned}$$

所以

$$\boxed{P(4\leq X\leq 16)\geq 0.75}.$$

解題說明

核心觀念

本題為同一批兒童接受療程前後的體重比較，屬於「成對樣本」問題。應先將每位兒童的療程前、後體重配對，定義差異：

$$D_i=X_{1i}-X_{2i}$$

其中 $X_{1i}$ 為療程前體重，$X_{2i}$ 為療程後體重。題目假設體重母體為常態分配，因此差異樣本可採用成對樣本 $t$ 檢定。

令：

$$\mu_D=\mu_1-\mu_2$$

若新配方能減輕體重，則療程前體重平均數應大於療程後體重平均數，即 $\mu_1-\mu_2>0$。

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解題方法

（一）建立假設

公司宣稱新配方可以有效控制體重，依題意應解讀為平均體重會下降，因此：

$$H_0:\mu_1-\mu_2\leq 0$$ $$H_1:\mu_1-\mu_2>0$$

亦可寫成：

$$H_0:\mu_D\leq 0,\qquad H_1:\mu_D>0$$

這是右尾檢定。

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（二）求 $\mu_1-\mu_2$ 的 $95\%$ 信賴區間

1. 計算各配對差異

兒童	1	2	3	4	5	6	7	8
療程前 $X_1$	50	52	48	60	63	53	48	62
療程後 $X_2$	45	50	46	58	65	51	42	55
差異 $D_i=X_1-X_2$	5	2	2	2	$-2$	2	6	7

樣本數為：

$$n=8$$

差異總和：

$$\sum D_i=5+2+2+2-2+2+6+7=24$$

差異樣本平均數：

$$\bar D=\frac{24}{8}=3$$

2. 計算差異樣本標準差

各差異與平均數 $\bar D=3$ 的離差平方和為：

$$\sum(D_i-\bar D)^2 =2^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2+(-5)^2+(-1)^2+3^2+4^2 =58$$

因此差異樣本變異數為：

$$s_D^2=\frac{58}{8-1}=\frac{58}{7}$$

差異樣本標準差：

$$s_D=\sqrt{\frac{58}{7}}\approx 2.878$$

平均差異的標準誤：

$$SE(\bar D)=\frac{s_D}{\sqrt n} =\frac{2.878}{\sqrt 8} \approx 1.018$$

3. 建立信賴區間

因母體變異數未知，且樣本數為 $8$，使用自由度：

$$df=n-1=7$$

$95\%$ 信賴區間使用：

$$\bar D\pm t_{0.975,7}\frac{s_D}{\sqrt n}$$

查表得：

$$t_{0.975,7}\approx 2.365$$

核心觀念

本題考查兩個獨立母體比例之比較，包括：

1. 兩母體比例差的假設檢定。
2. $p_1-p_2$ 的信賴區間。
3. 檢定兩比例是否相等時，使用合併比例估計共同母體比例（pooled proportion）。

令：

• $p_1$：$35$ 歲以上教師願意以電子白板上課的比例。
• $p_2$：$35$ 歲以下教師願意以電子白板上課的比例。

樣本資料為：

$$n_1=100,\quad x_1=42,\quad \hat p_1=\frac{42}{100}=0.42$$ $$n_2=120,\quad x_2=60,\quad \hat p_2=\frac{60}{120}=0.50$$

以下假設兩組樣本彼此獨立，且題目中的兩個年齡群組視為互不重疊的兩組母體。

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（一）虛無假設與對立假設

題目問兩組教師願意以電子白板上課的比例「是否有所差異」，因此採雙尾檢定。

虛無假設為兩組母體比例相等：

$$H_0:p_1=p_2$$

對立假設為兩組母體比例不相等：

$$H_1:p_1\ne p_2$$

也可以寫成：

$$H_0:p_1-p_2=0$$ $$H_1:p_1-p_2\ne 0$$

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（二）$p_1-p_2$ 的 $95\%$ 信賴區間

1. 樣本比例差

$$\hat p_1-\hat p_2=0.42-0.50=-0.08$$

2. 樣本比例差的標準誤

信賴區間估計兩個母體比例差時，使用各組個別的樣本比例估計變異數：

$$SE(\hat p_1-\hat p_2) = \sqrt{ \frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1} + \frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2} }$$

代入數值：

$$SE = \sqrt{ \frac{0.42(0.58)}{100} + \frac{0.50(0.50)}{120} }$$ $$= \sqrt{0.002436+0.0020833} = \sqrt{0.0045193} \approx 0.06722$$

3. 建立信賴區間

$95\%$ 信賴區間使用標準常態分配臨界值：

$$z_{0.025}=1.96$$

因此：

$$(\hat p_1-\hat p_2) \pm 1.96SE$$ $$=-0.08\pm 1.96(0.06722)$$

誤差界限為：

$$1.96(0.06722)\approx 0.13175$$

所以信賴區間為：

$$-0.08\pm 0.13175$$ $$\boxed{(-0.21175,\ 0.05175)}$$

約為：

$$\boxed{(-0.212,\ 0.052)}$$

因此，$p_1-p_2$ 的 $95\%$ 信賴區間為 $(-0.212,0.052)$。

此區間包含 $0$，表示兩組比例差異在 $5\%$ 顯著水準下未達統計顯著。

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（三）檢定統計量與檢定結論

1. 合併樣本比例