110 身心障礙特考三等 經建行政 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考兩件事：先把分組資料以組中點近似原始觀測值，估計指數分配的平均數；再用卡方適合度檢定，比較各組的觀察次數與指數分配下的期望次數。

指數分配的平均數與率參數關係為

卡方適合度檢定統計量為

其中 $O_i$ 是觀察次數，$E_i$ 是期望次數。若以資料估計一個參數，自由度為 $k-1-1$。

（一）估計平均等候時間及五分鐘內機率

各組寬度皆為 3 分鐘。將「9 分鐘以上」按等距組中點慣例視為 $9\sim12$ 分鐘，四組中點依序為 $1.5、4.5、7.5、10.5$ 分鐘。總次數為 $20$，故平均等候時間估計為

以指數分配估計參數：

因此，等候時間在 5 分鐘內的機率為

估計機率約為 70.9%。

（二）卡方適合度檢定

設定假設：

四組區間依序為 $[0,3)、[3,6)、[6,9)、[9,\infty)$。在 $H_0$ 下，各組機率為

乘上樣本數 $20$，期望次數約為

直接以四組計算，得到

若採用未合併四組的慣例計算，自由度為

核心觀念

本題考查單一母體比例的右尾檢定與母體比例的樣本數規劃。

樣本比例為 $\hat p=x/n$。檢定比例時，虛無假說中的比例 $p_0$ 用於計算檢定統計量的標準誤；規劃信賴區間的樣本數時，則以容許誤差 $E$、信賴水準對應的臨界值及預估比例代入公式。

（一）檢定數位化比例是否超過 60%

令 $p$ 為中小企業母體數位化比例。題目要檢定是否「超過」$60\%$，因此採右尾檢定：

計算檢定統計量時，使用虛無假說邊界值 $p_0=0.60$。樣本比例為

在 $H_0$ 邊界下，比例檢定統計量為

因此右尾檢定的 $p$-值為

此 $p$-值偏大，表示樣本結果不足以支持母體數位化比例高於 $60\%$；不過題目未指定顯著水準，故此處以報告 $p$-值為主。

（二）95% 信賴度下，抽樣誤差控制在 10% 內的樣本數

估計母體比例時，信賴區間的誤差限為

令 $E\leq 0.10$，95% 信賴度下 $z_{\alpha/2}=z_{0.975}=1.96$。題目未提供事前比例估計值，為保守確保誤差限，取 $p(1-p)$ 的最大值，即 $p=0.5$ 時的 $0.25$。解出樣本數下限：

核心觀念

本題考驗兩個母體比例是否相同的假設檢定，以及兩個母體比例差的信賴區間。

令 $p_1$ 為中高齡層的行動支付使用率，$p_2$ 為非中高齡層的行動支付使用率。兩組樣本比例為

全體受訪者中曾使用行動支付者共有 $105+210=315$ 位，總樣本數為 $500$ 位。

（一）假說檢定

題目詢問兩年齡層使用率「是否相同」，因此採雙尾檢定：

在虛無假設成立時，兩組具有共同使用率，以合併比例估計：

檢定統計量為

顯著水準 $\alpha=0.05$ 的雙尾臨界值為 $z_{0.025}=1.96$。由於

故拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，有統計證據顯示中高齡層與非中高齡層的行動支付使用率不同。樣本結果顯示，中高齡層使用率較高，兩組樣本比例差為 $0.70-0.60=0.10$，即高出 $10$ 個百分點。

（二）兩比例差的 $95\%$ 信賴區間

令差異方向為「中高齡層減非中高齡層」，估計值為

計算信賴區間時，標準誤使用兩組各自的樣本比例，不使用合併比例：

因此 $95\%$ 信賴區間為

核心觀念

本題使用單因子變異數分析，比較三種課程方式下的業績母體平均數。虛無假設是三組平均數相同；若拒絕虛無假設，表示至少有一種方式的平均業績不同。

每組有 $n_i=10$ 人，總樣本數 $N=30$。組間平方和衡量各組平均數與總平均數的差異；組內平方和衡量各組內個別業績的變異。

解題方法與計算

設互動式、傳統講授及錄影片觀看三組的母體平均業績分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$，檢定假說為：

因各組樣本數相同，總平均數為：

組間平方和：

組內平方和由各組的樣本標準差計算：

總平方和為：

自由度分別為組間 $3-1=2$、組內 $30-3=27$、總計 $30-1=29$。因此變異數分析表如下：

檢定統計量為：

在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，查表得 $F_{2,27,0.05}=3.3541$。因為 $5.2467>3.3541$，故拒絕 $H_0$。在 $5\%$ 顯著水準下，有足夠證據認為三種上課方式的平均業績並非全都相同；