108 身心障礙特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

1. 延性材料的靜態失效準則： 碳鋼屬於延性材料（Ductile material），在承受靜態（穩態）負載時，其失效判定主要以「降伏（Yielding）」為基準。工程上常用兩大延性失效理論：

• 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSS，又稱 Tresca 準則，較保守）。
• 最大畸變能理論（Distortion Energy Theory, DET，又稱 Mises-Hencky 理論或 von Mises 準則，較精準）。

2. Mises-Hencky 失效理論之物理意義與公式： 該理論主張材料發生降伏，並非由使體積改變的應變能引起，而是當單位體積內的「畸變能（Distortion Energy，即改變形狀之能量）」達到單軸拉伸試驗降伏時的畸變能極限，材料便發生降伏。 在二維平面應力狀態（Plane Stress，$\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$）下，von Mises 等效應力（Effective Stress）$\sigma'$ 可直接以應力分量表示： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$ 若先求得主應力（Principal Stresses）$\sigma_1$ 與 $\sigma_2$，亦可表示為： $\sigma' = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2}$

3. 安全判別準則：

• 安全係數法：計算桿件的實際安全係數 $n = \frac{S_y}{\sigma'}$。若 $n \ge n_{\text{req}}$（本題要求 $n_{\text{req}} = 2$），則桿件安全。
• 容許應力法：材料容許應力 $\sigma_{\text{allow}} = \frac{S_y}{n_{\text{req}}} = \frac{380}{2} = 190\ \text{MPa}$。若 $\sigma' \le \sigma_{\text{allow}}$，則桿件安全。

解題方法

步驟一：整理已知條件

• 應力狀態：$\sigma_x = 100\ \text{MPa}$、$\sigma_y = 20\ \text{MPa}$、$\tau_{xy} = 80\ \text{MPa}$
• 材料降伏強度：$S_y = 380\ \text{MPa}$
• 規定最低安全係數：$n_{\text{req}} = 2$

步驟二：計算 von Mises 等效應力 $\sigma'$ 將各應力分量代入平面應力的 von Mises 等效應力公式： $\sigma' = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2}$

代入數值： $\sigma' = \sqrt{100^2 - (100)(20) + 20^2 + 3(80)^2}$ $\sigma' = \sqrt{10000 - 2000 + 400 + 3(6400)}$

核心觀念

機械元件在承受週期性變動應力（Fluctuating Stress）作用時，應力狀態通常可分解為兩大基本分量：

1. 平均應力（Mean Stress, $\sigma_m$）： $\sigma_m = \frac{\sigma_{\max} + \sigma_{\min}}{2}$
2. 應力振幅或交變應力（Alternating Stress Amplitude, $\sigma_a$）： $\sigma_a = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2}$

當 $\sigma_m \neq 0$ 且為拉應力時，平均應力的存在會降低材料抵抗疲勞破壞的耐受能力。為評估此類複合應力狀態下的疲勞壽命，工程上常使用平面應力圖（以 $\sigma_m$ 為橫軸、$\sigma_a$ 為縱軸的修正 Goodman 圖）建立失效界限線。

Soderberg 疲勞破壞理論（Soderberg Fatigue Failure Criterion）​是此類疲勞理論中最為保守的一種線性經驗準則，其核心概念在於同時防範疲勞破壞（Fatigue Failure）​與局部塑性降伏（Plastic Yielding）。

解題方法

1. Soderberg 疲勞破壞方程式

若未考慮設計安全係數（即處於臨界破壞邊界），Soderberg 線性關係式為： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_y} = 1$

在實際工程設計中，引入設計安全係數 $n$（Factor of Safety），方程式表示為： $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_y} = \frac{1}{n}$ 或改寫為： $\frac{n \sigma_a}{S_e} + \frac{n \sigma_m}{S_y} = 1$

符號定義：

• $\sigma_a$：應力振幅（Alternating stress amplitude）
• $\sigma_m$：平均應力（Mean stress，此處討論 $\sigma_m > 0$ 之拉應力狀態）
• $S_e$：元件修正後的耐力限或疲勞限（Endurance limit），若為有限壽命設計則代入該循環次數下的疲勞強度 $S_f$
• $S_y$：材料之降伏強度（Yield strength）
• $n$：設計安全係數（Factor of safety）

2. Soderberg 方程式之物理與工程意義

1. 幾何與邊界意義：

• 在以平均應力 $\sigma_m$ 為橫座標、應力振幅 $\sigma_a$ 為縱座標的 $\sigma_m-\sigma_a$ 疲勞應力平面上，Soderberg 方程式代表一條通過縱軸截距 $(0, S_e)$ 與橫軸截距 $(S_y, 0)$ 的直線邊界。
• 縱軸截距 $(0, S_e)$：代表純完全反覆應力作用（$\sigma_m = 0$）時的疲勞破壞極限。
• 橫軸截距 $(S_y, 0)$：代表純靜態拉伸應力作用（$\sigma_a = 0$）時的降伏破壞極限。

2. 安全設計區間（Design Safe Region）：

• 該直線與兩正座標軸所圍成的直角三角形封閉區域即為「安全工作區」。
• 當工作應力組合點 $(\sigma_m, \sigma_a)$ 落在直線內側時（即 $\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_y} \le \frac{1}{n}$），表示該機械元件既不會發生疲勞破壞，也不會發生巨觀的永久塑性變形。

3. 高度保守性（Conservatism）與避免降伏特性：

• 相較於 Goodman 準則（橫軸截距取極限抗拉強度 $S_{ut}$）與 Gerber 準則（橫軸截距取 $S_{ut}$ 的拋物線），Soderberg 準則將平均應力的上限直接約束在材料的降伏強度 $S_y$，而非抗拉極限強度 $S_{ut}$。

核心觀念

本題評量機械元件設計中「螺旋壓縮彈簧」（Helical Compression Spring）之基礎受力、變形與應力分析，涉及以下關鍵物理量與公式：

1. 彈簧指數（Spring Index, $C$）： 衡量彈簧圈曲率嚴重程度的幾何比值，定義為平均圈徑 $D$ 與線徑 $d$ 之比： $C = \frac{D}{d}$

2. 彈簧撓度（Deflection, $\delta$）： 由卡氏第二定理（Castigliano's Theorem）推導，忽略微小之直接剪切與彎曲應變能，主要由扭矩所致之軸向變形量： $\delta = \frac{8 F D^3 N_a}{G d^4} = \frac{8 F C^3 N_a}{G d}$ 其中 $F$ 為軸向負載、$N_a$ 為有效圈數、$G$ 為剪切剛性模數。

3. 最大剪應力（Maximum Shear Stress, $\tau_{\max}$）： 彈簧線材截面受扭轉剪應力與直接橫剪應力之複合作用，且內側纖維受曲率效應影響產生應力集中。工程設計上採用華爾應力修正係數（Wahl Factor, $K_w$）​修正： $\tau_{\max} = K_w \frac{8 F D}{\pi d^3} = K_w \frac{8 F C}{\pi d^2}$ 其中華爾係數公式為： $K_w = \frac{4C - 1}{4C - 4} + \frac{0.615}{C}$

解題方法

步驟一：整理已知條件並統一工程單位

採用國考標準單位制（長度用 $\text{mm}$、力量用 $\text{N}$、應力與彈性模數用 $\text{MPa} = \text{N/mm}^2$）：

• 線徑：$d = 5\ \text{mm}$
• 平均圈徑：$D = 50\ \text{mm}$
• 有效圈數：$N_a = 10$
• 剪切模數：$G = 80\ \text{GPa} = 80 \times 10^3\ \text{MPa} = 80,000\ \text{N/mm}^2$
• 壓縮負載：$F = 150\ \text{N}$

計算彈簧指數 $C$： $C = \frac{D}{d} = \frac{50}{5} = 10$

步驟二：計算彈簧撓度 $\delta$

將上述已知數值代入撓度公式： $\delta = \frac{8 F D^3 N_a}{G d^4}$

代入數值： $\delta = \frac{8 \times 150 \times (50)^3 \times 10}{80,000 \times 5^4} = \frac{8 \times 150 \times 125,000 \times 10}{80,000 \times 625}$

化簡計算： $\delta = \frac{1,500,000,000}{50,000,000} = 30\ \text{mm}$

步驟三：計算彈簧最大剪應力 $\tau_{\max}$

核心觀念

本題涵蓋機械傳動系統中「鏈條傳動」之動態特性與「聯軸器」之功能與系統整合觀念：

1. 鏈條傳動的弦效應（多邊形效應，Chordal Action / Polygonal Effect）： 鏈條並非連續圓弧，而是由具固定節距（Pitch, $p$）的剛性鏈節組成。當鏈條繞於鏈輪時，其中心線在幾何上呈現正多邊形而非真圓。鏈輪節圓直徑為： $D = \frac{p}{\sin\left(\frac{180^\circ}{z}\right)}$ 其中 $z$ 為鏈輪齒數。當鏈輪以等角速度 $\omega$ 轉動時，鏈條有效切線半徑在頂點 $R$ 與多邊形邊心中點 $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{z}\right)$ 之間週期性交替變動，導致鏈條線速度、傳動比及垂直弦向位置產生週期性波動，引發強烈的角加速度與動態衝擊。

2. 鏈節鉸接磨損與幾何受力： 相鄰鏈節在進入與脫離鏈輪囓合時，會產生相對轉動（鉸接轉角 $\theta = \frac{360^\circ}{z}$）。小鏈輪齒數愈少，轉角愈大、鏈銷與襯套間之相對滑移摩擦愈劇烈；且在相同傳遞功率下，節徑愈小導致鏈條拉力愈大，囓合齒數減少亦造成應力過度集中。

3. 聯軸器（Couplings）之系統功能： 聯軸器用以連接兩獨立運轉之旋轉軸（通常為主動軸與從動軸）以傳遞扭矩。在實際工程裝配與長期運轉中，系統面臨同心度公差、熱膨脹、動態衝擊、軸變形與安全防護等物理限制，聯軸器在軸系中扮演補償、隔振與保護的核心角色。

解題方法

針對申論題之論述要求，切入點應兼顧「數學力學推導」與「工程實際失效模式」：

（一）小鏈輪齒數不宜過少之原因分析

1. 多邊形效應（弦效應）造成的速度波動與振動：

• 設小鏈輪節圓半徑為 $R_1 = \frac{p}{2\sin(180^\circ/z_1)}$，其以等角速度 $\omega_1$ 旋轉。
• 鏈條線速度之極大值發生於鏈節鉸鏈中心處於節圓頂點時： $v_{\max} = R_1 \omega_1$
• 鏈條線速度之極小值發生於兩鏈節中心連線之中點通過中心垂直線時： $v_{\min} = R_1 \cos\left(\frac{180^\circ}{z_1}\right) \omega_1$
• 鏈條速度的相對變動率為： $\frac{\Delta v}{v_{\max}} = \frac{v_{\max} - v_{\min}}{v_{\max}} = 1 - \cos\left(\frac{180^\circ}{z_1}\right)$
• 若 $z_1$ 過少，$\frac{180^\circ}{z_1}$ 角度變大，$\cos\left(\frac{180^\circ}{z_1}\right)$ 明顯小於 1，導致速度波動率劇烈增加。伴隨而來的鏈條加速度 $\frac{dv}{dt}$ 形成極大的往復慣性衝擊力，造成劇烈振動與噪音。

2. 鉸接轉角增大，加速鏈銷與襯套之磨損：

• 鏈節進入與脫離小鏈輪時，相鄰兩鏈節間產生相對擺動，其鉸接角（Bend Angle）為： $\theta = \frac{360^\circ}{z_1}$
• 齒數 $z_1$ 愈小，鉸接角 $\theta$ 愈大，使鏈銷與套筒接觸面的擺動幅度與摩擦功大幅提升，加速銷與套筒的表面磨損，造成鏈條過早拉長伸長（Elongation），進而衍生跳齒或脫鏈破壞。

3. 鏈條工作拉力提高與齒部承載過大：

• 傳遞特定功率 $P$ 時，輸入扭矩 $T = \frac{P}{\omega_1}$ 為定值。
• 鏈條平均有效拉力為： $F_t = \frac{2T}{D_1} = \frac{2T \sin\left(\frac{180^\circ}{z_1}\right)}{p}$
• 齒數 $z_1$ 愈少，節徑 $D_1$ 愈小，鏈條承受的靜態拉力 $F_t$ 與動態張力成反比暴增。
• 同時，小鏈輪包角範圍內囓合的有效齒數減少（通常僅 $z_1/3 \sim z_1/2$ 個齒），單齒受力與接觸應力大幅集中，易造成輪齒塑性變形、點蝕或齒根彎曲折斷。

4. 輪齒衝擊能量增大：

• 鏈節落入輪齒凹槽時的衝擊動能正比於撞擊速度的平方，而撞擊角動量與齒數 $z_1$ 呈反比關係。齒數過少會引發嚴重的衝擊疲勞，縮短鏈條與鏈輪之疲勞壽命。

（二）聯軸器成為機器不可或缺之三個功能分析

從傳動軸系的靜態安裝、動態運行與極限失效三方面，歸納其三個核心功能：

1. 補償兩軸之對心偏差（Misalignment Compensation）：

• 在實際製造與安裝中，主動軸（如馬達）與從動軸（如減速機、泵）受限於機械加工公差、裝配對位誤差、基礎沈陷、運轉熱膨脹與受載彈性彎曲變形，兩軸不可能達到絕對同心。
• 撓性聯軸器能有效吸收並補償三種軸對心偏差：徑向偏心（Radial）、軸向位移（Axial）及角向傾斜（Angular），防止軸端產生額外的巨大交變彎矩，保護軸承免於早期疲勞破壞。

核心觀念

這是二自由度齒輪機構，需以相對於行星架 $E$ 的轉速列齒輪嚙合關係。齒輪反向嚙合時，相對轉速乘以齒數後大小相等、方向相反；同軸固接的構件則有相同角速度。先把 $A$、$B$ 軸的轉速代入，再解出 $C$ 軸轉速。

解題方法

依圖中機構，以逆時針為正，行星架 $E$ 的角速度記為 $\omega_E$。各齒輪嚙合及固接關係可寫成：