114 身心障礙特考三等 水利工程類科 水利工程 考古題詳解

114 年・身心障礙特考・三等・水利工程類科
試題代碼 水利工程

第 一 題20 分

坡地上有一塊矩形之植生綠地，其面積為 720 m2720\ \mathrm{m^2}，今擬開發成公園。集流時間於開發前為 5 min5\ \mathrm{min}，開發後為 3 min3\ \mathrm{min}，且降雨於開發前、後各產生 60%60\% 及 70%70\% 之地表逕流率。

假設逕流歷線可簡化成三角形歷線分布，請以合理化公式推估當降雨強度為 100 mm/hr100\ \mathrm{mm/hr}、延時為 4 min4\ \mathrm{min} 之暴雨時，開發前、後所產生之地表逕流量各為多少 cms\mathrm{cms}？

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核心觀念

本題考查合理化公式與三角形逕流歷線。合理化公式估算尖峰流量：

Qp=0.278CIAQ_p=0.278CIA

其中 QpQ_p 為尖峰流量（m3/s\mathrm{m^3/s}），CC 為逕流係數，II 為降雨強度（mm/hr\mathrm{mm/hr}），AA 為集水面積（km2\mathrm{km^2}）。

若將逕流歷線簡化為三角形，總逕流體積等於降雨期間產生的有效降雨量乘以面積；三角形歷線體積則為「底長 × 高度 ÷ 2」。集流時間是合理化公式適用的降雨歷時門檻：降雨延時短於集流時間時，未達全流域同時貢獻的尖峰條件。

解題方法

面積換算為：

A=720 m2=0.00072 km2A=720\ \mathrm{m^2}=0.00072\ \mathrm{km^2}

降雨延時 D=4D=4 分鐘，降雨強度換算為 100/60 mm/min100/60\ \mathrm{mm/min}。總降雨深為：

P=100×460=6.667 mmP=100\times\frac{4}{60}=6.667\ \mathrm{mm}

三角形歷線以集流時間 TcT_c 為上升時間，並假設逕流歷線在降雨結束後按相同時間尺度退水，因此歷線底長為 D+2TcD+2T_c。據此，三角形歷線平均流量為逕流體積除以底長，尖峰流量為平均流量的兩倍。

開發前： C=0.60C=0.60、Tc=5T_c=5 分鐘。

有效降雨體積為：

V前=0.60×6.6671000×720=2.88 m3V_{\text{前}}=0.60\times\frac{6.667}{1000}\times720 =2.88\ \mathrm{m^3}
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第 二 題20 分

請寫出水文分析中，某水文事件發生之風險 RR 與重現期距 TT 及考量年限 nn 年，三者間之數學關係式。

今擬興建足以防禦 5050 年一次洪水之堤防工程，則於未來 44 年間所需承擔之風險為多少 %\%？

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核心觀念

水文分析中的重現期距 TT，是指某一大小的水文事件在長期平均下，平均每 TT 年發生一次；其年超越機率為 1/T1/T，單一年內未超越的機率則為 1−1/T1-1/T。

若各年事件相互獨立，考量年限為 nn 年，期間內至少發生一次該事件的風險 RR 為：

R=1−(1−1T)nR=1-\left(1-\frac{1}{T}\right)^n

解題方法

本題堤防的防禦標準為 T=50T=50 年，考量期間為 n=4n=4 年。先求單一年內不發生超越事件的機率，再求連續 4 年均未超越的機率，最後以 11 減去該值，得到 4 年內至少超越一次的風險：

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第 三 題20 分

已知水流通過一歐奎式（Ogee）溢洪道流量為 250 cms250\ \mathrm{cms}，並流經水平之混凝土護坦（曼寧糙度係數 n=0.013n=0.013），如圖一。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

若溢洪道底部流速 V0=10 m/sV_0=10\ \mathrm{m/s}，矩形斷面河道及護坦之寬度均為 50 m50\ \mathrm{m}。今欲設計水躍發生於護坦上，且使護坦下游水深 y2=2.5 my_2=2.5\ \mathrm{m}，則護坦應建多長？其中水躍長度 L2L_2 假設為 5y25y_2。

又發生水躍前、後之能量損失水頭為多少 m\mathrm{m}？（重力加速度以 9.81 m/s29.81\ \mathrm{m/s^2} 計算）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式：求護坦起點水深。
  2. 矩形渠道水躍共軛水深關係：由下游水深 y2y_2 求水躍前水深 y1y_1。
  3. 曼寧公式：計算護坦上由 y0y_0 漸變至 y1y_1 的摩擦損失及所需長度。
  4. 水躍能量損失公式。
  5. 護坦總長為水躍前長度 L1L_1 加水躍長度 L2L_2。

一、護坦起點水深

流量寬流量為

q=Qb=25050=5 m2/sq=\frac{Q}{b}=\frac{250}{50}=5\ \mathrm{m^2/s}

護坦起點流速為 V0=10 m/sV_0=10\ \mathrm{m/s}，由連續方程式：

q=V0y0q=V_0y_0

因此

y0=qV0=510=0.5 my_0=\frac{q}{V_0}=\frac{5}{10}=0.5\ \mathrm{m}

二、水躍前水深 y1y_1

矩形渠道水躍前後的動量函數相等：

y122+q2gy1=y222+q2gy2\frac{y_1^2}{2}+\frac{q^2}{gy_1} = \frac{y_2^2}{2}+\frac{q^2}{gy_2}

代入 q=5 m2/sq=5\ \mathrm{m^2/s}、y2=2.5 my_2=2.5\ \mathrm{m}、g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}：

y122+259.81y1=2.522+259.81(2.5)\frac{y_1^2}{2}+\frac{25}{9.81y_1} = \frac{2.5^2}{2}+\frac{25}{9.81(2.5)} y122+2.5484y1=4.1444\frac{y_1^2}{2}+\frac{2.5484}{y_1}=4.1444

取水躍前的超臨界共軛水深：

y1≈0.648 m\boxed{y_1\approx0.648\ \mathrm{m}}

水躍前流速為

V1=qy1=50.648≈7.72 m/sV_1=\frac{q}{y_1} =\frac{5}{0.648} \approx7.72\ \mathrm{m/s}

三、護坦水躍前長度 L1L_1

護坦為水平面，水流由 y0=0.5 my_0=0.5\ \mathrm{m} 增加至 y1=0.648 my_1=0.648\ \mathrm{m}。由能量方程式：

dEdx=−Sf\frac{dE}{dx}=-S_f

矩形渠道單位寬流量為 qq，其比能為

E=y+q22gy2E=y+\frac{q^2}{2gy^2}

因此

dEdy=1−q2gy3\frac{dE}{dy}=1-\frac{q^2}{gy^3}

曼寧摩擦坡降為

Sf=n2V2R4/3=n2q2y2R4/3S_f=\frac{n^2V^2}{R^{4/3}} =\frac{n^2q^2}{y^2R^{4/3}}

其中矩形渠道水力半徑

R=AP=50y50+2y≈25y25+yR=\frac{A}{P} =\frac{50y}{50+2y} \approx\frac{25y}{25+y}

故護坦長度可由積分求得：

L1=∫y0y1q2gy3−1Sf dyL_1 = \int_{y_0}^{y_1} \frac{\dfrac{q^2}{gy^3}-1}{S_f}\,dy

代入 q=5q=5、n=0.013n=0.013、y0=0.5y_0=0.5、y1=0.648y_1=0.648，數值積分得

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第 四 題20 分

有一自由含水層如圖二所示，其上有達到穩定之地表入滲補注量 R=0.005 m/dayR=0.005\ \mathrm{m/day}，含水層底部水平且為其基準面（即高程為零）。

假設地下水水流可視為水平流動，且已測得水位在 x=0x=0 處 h0=10 mh_0=10\ \mathrm{m}，而 x=L=400 mx=L=400\ \mathrm{m} 處 hL=8 mh_L=8\ \mathrm{m}，水力傳導度 K=0.5 m/dayK=0.5\ \mathrm{m/day}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試應用杜普伊（Dupuit）假設，求 x=Lx=L 處地下水之單位寬度流量及流向。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查自由含水層在地表穩定補注作用下，採用杜普伊（Dupuit）假設求地下水流量。

杜普伊假設包括：

  • 地下水流線近似水平。
  • 水力坡降可用地下水位面坡度表示。
  • 單位寬度流量可寫為
q=−Khdhdxq=-Kh\frac{dh}{dx}

其中：

  • qq：單位寬度流量，單位為 m2/day\mathrm{m^2/day}。
  • KK：水力傳導度。
  • hh：地下水位至含水層底部之厚度。
  • RR：單位面積補注量，單位為 m/day\mathrm{m/day}。

由於地下水沿程受到補注，連續方程為

dqdx=R\frac{dq}{dx}=R

解題方法與計算

由

q=−Khdhdxq=-Kh\frac{dh}{dx}

可改寫為

q=−K2d(h2)dxq=-\frac{K}{2}\frac{d(h^2)}{dx}

又因為 dqdx=R\dfrac{dq}{dx}=R，所以

−K2d2(h2)dx2=R-\frac{K}{2}\frac{d^2(h^2)}{dx^2}=R

因此

d2(h2)dx2=−2RK\frac{d^2(h^2)}{dx^2}=-\frac{2R}{K}

積分後，水位平方分布可表示為

h2=h02+Ax−RKx2h^2=h_0^2+Ax-\frac{R}{K}x^2

其中 AA 為積分常數。

代入已知條件：

h0=10 m,hL=8 m,L=400 mh_0=10\ \mathrm{m},\qquad h_L=8\ \mathrm{m},\qquad L=400\ \mathrm{m}

以及

RK=0.0050.5=0.01\frac{R}{K}=\frac{0.005}{0.5}=0.01

在 x=Lx=L 處：

82=102+A(400)−0.01(400)28^2=10^2+A(400)-0.01(400)^2 64=100+400A−160064=100+400A-1600 400A=1564400A=1564 A=3.91A=3.91

因此

h2=100+3.91x−0.01x2h^2=100+3.91x-0.01x^2

x=Lx=L 處之單位寬度流量

由

q=−K2d(h2)dxq=-\frac{K}{2}\frac{d(h^2)}{dx}

且

d(h2)dx=A−2RKx\frac{d(h^2)}{dx}=A-\frac{2R}{K}x

在 x=L=400 mx=L=400\ \mathrm{m} 處：

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第 五 題20 分

試證明定量流在矩形斷面渠道內發生緩變速流時，水面剖線方程式為

dydx=S0−Sf1−Fr2\frac{dy}{dx}=\frac{S_0-S_f}{1-F_r^2}

（需要之假設條件請自行說明。）

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核心觀念

本題考查定量流在稜柱形矩形渠道中的緩變速流水面線方程式。基本切入點是將能量方程式沿渠道縱向微分，再以矩形渠道的比能曲線斜率表示弗勞德數。

設渠道底床高程為 zz，水深為 yy，流速為 VV，流量為 QQ。定量流表示 QQ 沿程不變；緩變速流則假設水深與流速沿程平緩變化，流線曲率及垂向加速度可忽略，因此壓力分布近似靜水壓。

解題方法與推導

取渠道底床為基準，斷面比能為

E=y+αV22gE=y+\frac{\alpha V^2}{2g}

其中 gg 為重力加速度，α\alpha 為動能修正係數。通常採用 α=1\alpha=1；若沿程 α\alpha 為常數，以下推導亦成立。

定量流下，比能沿程的減少率等於摩擦坡度 SfS_f：

dEdx=−Sf\frac{dE}{dx}=-S_f

渠道底床坡度定義為

S0=−dzdxS_0=-\frac{dz}{dx}

總水頭為 H=z+EH=z+E，所以

dHdx=dzdx+dEdx=−S0−Sf\frac{dH}{dx} =\frac{dz}{dx}+\frac{dE}{dx} =-S_0-S_f

以上符號需依流向的水頭損失一致處理。更直接地，將比能式沿程微分，並使用底床坡度與摩擦坡度的標準能量坡線關係，可得

dEdx=S0−Sf\frac{dE}{dx}=S_0-S_f

又因矩形渠道寬度 bb 固定，流量 QQ 固定，故單位流量 q=Q/bq=Q/b 固定，流速為

V=qyV=\frac{q}{y}

代入比能式（取 α=1\alpha=1）：

E=y+q22gy2E=y+\frac{q^2}{2gy^2}

對水深 yy 微分：

dEdy=1−q2gy3\frac{dE}{dy} =1-\frac{q^2}{gy^3}

矩形渠道的水力深度為 D=A/T=yD=A/T=y，弗勞德數定義為

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