114 身心障礙特考三等 水利工程類科 水文學 考古題詳解

（一）比濕度（specific humidity）

核心觀念

比濕度 $q$ 是濕空氣中水氣質量與該團濕空氣總質量的比值，常以 $\mathrm{kg/kg}$ 表示。若水氣質量為 $m_v$、乾空氣質量為 $m_d$，則濕空氣總質量為 $m_v+m_d$，因此定義為

$$q=\frac{m_v}{m_v+m_d}$$

解題方法與公式證明

令水氣混合比 $w$ 為水氣質量與乾空氣質量之比：

$$w=\frac{m_v}{m_d}$$

由此可得 $m_v=w m_d$。代入比濕度定義：

$$q=\frac{w m_d}{w m_d+m_d} =\frac{w m_d}{(1+w)m_d} =\frac{w}{1+w}$$

所以，比濕度與混合比的關係式為

$$\boxed{q=\frac{w}{1+w}}$$

再以水氣分壓 $e$、乾空氣分壓 $p-e$ 表示。依理想氣體狀態方程，同一體積下各成分質量與其分壓及分子量的乘積成正比，因此

$$\frac{m_v}{m_d} =\frac{e M_v}{(p-e)M_d}$$

其中 $M_v$ 為水氣分子量，$M_d$ 為乾空氣平均分子量。定義 $\varepsilon=M_v/M_d\approx0.622$，可得

$$w=\varepsilon\frac{e}{p-e}$$

將此式代入 $q=w/(1+w)$：

$$q =\frac{\varepsilon e/(p-e)}{1+\varepsilon e/(p-e)} =\boxed{\frac{\varepsilon e}{p-(1-\varepsilon)e}}$$

因水氣分壓通常遠小於總氣壓，常用近似式為

$$\boxed{q\approx\varepsilon\frac{e}{p}}$$

解題技巧與易錯處

比濕度的分母是「水氣加乾空氣的總質量」；混合比的分母則只有「乾空氣質量」。兩者關係為 $q=w/(1+w)$，不能直接把 $q$ 與 $w$ 視為完全相同；在水氣含量很小時，才有 $q\approx w$ 的近似。

（二）可降水量（precipitable water）

核心觀念

可降水量 $W$ 是假設大氣柱中所有水氣全部凝結並降落至地面時，所形成的液態水深度。它表示單位水平面積上整個大氣柱的水氣總量，通常以水深（如 $\mathrm{mm}$）表示。

解題方法與公式證明

核心觀念

水位—流量關係曲線（rating curve）可寫成

$Q=a(H-z)^b$

其中 $z$ 是零流量水位，$a$、$b$ 為待定係數。三組水位與流量資料可用來求出這三個未知數；求得後，再代入目標水位 $H=23\ \mathrm{m}$ 計算流量。

解題方法

已知三組資料為：

$(H,Q)=(8,5),\quad(12,10),\quad(19.2,20)$

因此

$5=a(8-z)^b,\qquad 10=a(12-z)^b,\qquad 20=a(19.2-z)^b$

先以相鄰流量比值消去 $a$：

$\frac{10}{5}=\left(\frac{12-z}{8-z}\right)^b=2$

$\frac{20}{10}=\left(\frac{19.2-z}{12-z}\right)^b=2$

兩個水位比值相等，因此

$\frac{12-z}{8-z}=\frac{19.2-z}{12-z}$

交叉相乘：

$(12-z)^2=(8-z)(19.2-z)$

展開並整理：

$144-24z+z^2=153.6-27.2z+z^2$

$3.2z=9.6\quad\Rightarrow\quad z=3\ \mathrm{m}$

代回流量比值：

核心觀念

暴雨事件的相鄰發生時間間隔 $T$ 服從指數分配，其機率密度函數為

$$f(t)=\frac{1}{\beta}e^{-t/\beta},\qquad t\geq 0,$$

其中 $\beta$ 是平均等待時間。指數分配的累積分配函數為

$$F(t)=P(T\leq t)=1-e^{-t/\beta},$$

而存活函數為

$$P(T>t)=e^{-t/\beta}.$$

本題先由觀測間隔估計 $\beta$，再把暴雨事件視為發生率固定的卜瓦松過程，計算一個月內事件次數的機率。

解題方法

（一）估計時間間隔的機率密度函數

指數分配的平均數為 $\beta$。以樣本平均估計此參數：

$$\hat{\beta}=\bar{t} =\frac{2.3+19.7+6.9+10.3+23.8+9.1+15.1+17.5+3.1+42.2}{10} =\frac{149.9}{10} =14.99\text{ 天}.$$

因此，估計的機率密度函數為

$$\hat{f}(t)=\frac{1}{14.99}\exp\left(-\frac{t}{14.99}\right), \qquad t\geq 0.$$

（二）未來一個月內沒有發生暴雨事件的機率

以一個月 $30$ 天計，指數分配的無記憶性表示從現在起未來 $30$ 天沒有暴雨的機率為

$$P(T>30)=e^{-30/\hat{\beta}} =e^{-30/14.99} \approx 0.135.$$

因此，未來一個月內沒有發生暴雨事件的機率約為 $0.135$，即 13.5%。

（三）未來一個月內發生兩次或兩次以上暴雨事件的機率

核心觀念

本題考集水區的幾何形狀指標，以及以徐昇多邊形法計算面積加權平均雨量。令集水區面積為 $A$、周長為 $L$、主要河川長度為 $L_b$，常用定義如下：

$$\text{形狀因子 } F_f=\frac{A}{L_b^2},\qquad \text{圓比值 } R_c=\frac{4\pi A}{L^2},\qquad \text{密集度 } C_c=\frac{L}{2\sqrt{\pi A}}$$

周長是集水區的外圍邊界長度；流經集水區內部的主要河川不列入周長。

徐昇多邊形法以各雨量站所代表的面積為權重。題目未指定坐標單位，以下以坐標單位計算長度及面積；各形狀指標為無因次，雨量則以題示公分表示。

解題方法

由座標可知 $B(0,10)$、$C(10,20)$、$D(20,10)$，因此 $\overline{BD}=20$，且 $BCD$ 是以 $BD$ 為直徑的上半圓。三角形 $ABD$ 的底為 $BD=20$，高為 $10$。

集水區面積由半圓面積與三角形面積相加；外周長由半圓弧長、$\overline{AB}$、$\overline{AD}$ 相加。主要河川為 $\overline{CA}$，故以兩點距離公式求長度。

$$A_{\text{半圓}}=\frac12\pi(10)^2=50\pi,\qquad A_{\triangle ABD}=\frac12(20)(10)=100$$ $$A=50\pi+100$$ $$\overline{AB}=\sqrt{(10-0)^2+(0-10)^2}=10\sqrt2,\qquad \overline{AD}=\sqrt{(20-10)^2+(10-0)^2}=10\sqrt2$$

半圓弧長為 $\pi r=10\pi$，因此

$$L=10\pi+20\sqrt2$$

主要河川長度為

$$L_b=\overline{CA} =\sqrt{(10-10)^2+(20-0)^2}=20$$

（一）形狀因子

$$F_f=\frac{A}{L_b^2} =\frac{50\pi+100}{20^2} =\frac{\pi+2}{8} \approx 0.643$$

（二）圓比值