114 身心障礙特考三等 水利工程類科 流體力學 考古題詳解

114 年・身心障礙特考・三等・水利工程類科
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

一圓形杯子（直徑 6 cm6\ \mathrm{cm}，高度 15 cm15\ \mathrm{cm}）中有水，原本水深 12 cm12\ \mathrm{cm}。地震來時，杯中的水溢出，試問地震造成的水平加速度最小為何？

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核心觀念

地震造成杯中水受到水平慣性力，水面會由水平面變為傾斜平面。靜止液體在水平加速度 aa 作用下，水面坡度為

tan⁡θ=ag\tan\theta=\frac{a}{g}

其中 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}。

杯子直徑為 6 cm6\ \mathrm{cm}，故半徑為

R=3 cm=0.03 mR=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}

原本水深為 12 cm12\ \mathrm{cm}，杯高為 15 cm15\ \mathrm{cm}，因此水面最高點上升至杯口時，最高點須上升

Δh=15−12=3 cm=0.03 m\Delta h=15-12=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}

解題方法

在溢水臨界狀態，水面沿加速度方向傾斜。由於圓形杯子的截面對稱，水面在圓心處的高度仍為原平均水深 12 cm12\ \mathrm{cm}。

水面由圓心至杯壁的水平距離為半徑 R=3 cmR=3\ \mathrm{cm}，最高點水深達到杯口 15 cm15\ \mathrm{cm}，所以：

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第 二 題20 分

一機車輪胎內部體積為 0.10 m30.10\ \mathrm{m^3}，胎內的氣溫為 20∘C20^\circ\mathrm{C}，相對壓力為 200 kPa200\ \mathrm{kPa}，gage。

在行駛一段距離後，胎內氣溫變為 40∘C40^\circ\mathrm{C}。若輪胎內部體積不變，空氣的氣體常數為 287 J kg−1 K−1287\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}，求車胎內的相對壓力？

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核心觀念

此題考理想氣體狀態方程式，以及定容、定質量氣體在溫度改變時的壓力關係：

PV=mRTPV=mRT

輪胎體積 VV 不變，且假設沒有漏氣，則氣體質量 mm 不變，因此：

P1T1=P2T2\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}

式中的壓力必須使用絕對壓力，溫度必須使用絕對溫度。題目給的相對壓力（gage pressure）需先加上大氣壓，才能代入狀態方程式。

解題方法

初始溫度換算為絕對溫度：

T1=20+273.15=293.15 KT_1=20+273.15=293.15\ \mathrm{K}

初始絕對壓力為相對壓力加大氣壓。取大氣壓 Patm=101.325 kPaP_{\mathrm{atm}}=101.325\ \mathrm{kPa}：

P1=200+101.325=301.325 kPaP_1=200+101.325=301.325\ \mathrm{kPa}

最終溫度為：

T2=40+273.15=313.15 KT_2=40+273.15=313.15\ \mathrm{K}
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第 三 題20 分

一梯形斷面渠道縱向坡度 0.0010.001，底部的寬度為 2 m2\ \mathrm{m}，渠道兩側坡度為 45∘45^\circ，曼寧係數為 0.0200.020，流量 3.45 m3/s3.45\ \mathrm{m^3/s}。試求：

(一) 水深 hh？（10 分）

(二) 福祿數（Froude no.）？（10 分）

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核心觀念

本題為梯形斷面之均勻流，利用曼寧公式求正常水深，再依福祿數定義判斷流況。

曼寧公式為

Q=1nAR2/3S1/2Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2}

其中：

  • QQ：流量
  • nn：曼寧係數
  • AA：通水斷面積
  • R=A/PR=A/P：水力半徑
  • PP：濕周
  • SS：渠道縱向坡度

圖示兩側坡度為 45∘45^\circ，因此水平寬與垂直水深相等，邊坡係數為

z=cot⁡45∘=1z=\cot 45^\circ=1

解題方法

（一）求水深 hh

梯形渠道底寬 b=2 mb=2\ \mathrm{m}，故通水斷面積為

A=bh+zh2A=bh+zh^2

代入 b=2b=2、z=1z=1：

A=2h+h2A=2h+h^2

水面寬度為

T=b+2zh=2+2hT=b+2zh=2+2h

兩側斜邊長各為

h1+z2=h2h\sqrt{1+z^2}=h\sqrt{2}

因此濕周

P=b+2h1+z2P=b+2h\sqrt{1+z^2} P=2+22hP=2+2\sqrt{2}h

水力半徑為

R=AP=h2+2h2+22hR=\frac{A}{P} =\frac{h^2+2h}{2+2\sqrt{2}h}

代入曼寧公式：

3.45=10.020(h2+2h)(h2+2h2+22h)2/3(0.001)1/23.45 = \frac{1}{0.020} (h^2+2h) \left( \frac{h^2+2h}{2+2\sqrt{2}h} \right)^{2/3} (0.001)^{1/2}

整理得

(h2+2h)(h2+2h2+22h)2/3=3.45(0.020)0.001(h^2+2h) \left( \frac{h^2+2h}{2+2\sqrt{2}h} \right)^{2/3} = \frac{3.45(0.020)}{\sqrt{0.001}} =2.182=2.182

試算或數值求解可得

h≈0.999 mh\approx 0.999\ \mathrm{m}

因此水深可取

h≈1.00 m\boxed{h\approx 1.00\ \mathrm{m}}

驗算 h=1.00 mh=1.00\ \mathrm{m} 時：

A=12+2(1)=3.00 m2A=1^2+2(1)=3.00\ \mathrm{m^2} P=2+22=4.828 mP=2+2\sqrt{2}=4.828\ \mathrm{m}
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第 四 題20 分

兩個蓄水池藉由埋設於地下之水管連接，水池水面為大氣壓力，水面高度如圖所示。水管直徑 0.05 m0.05\ \mathrm{m}，總長度 30 m30\ \mathrm{m}，摩擦因子為 0.020.02，流量為 0.53 m3/min0.53\ \mathrm{m^3/min}。若不計次要水頭損失，抽水機的效率係數 0.760.76，求抽水機所耗的功率（用 Watts 表示）？

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核心觀念

本題考查兩蓄水池間的能量方程。兩池水面皆為大氣壓力，且水池截面積很大，因此水面流速可忽略。抽水機所需揚程包括：

  1. 兩水面高程差；
  2. 水管沿程摩擦損失；
  3. 題目已說不計次要水頭損失。

由圖可知水由右側高程 2 m2\ \mathrm{m} 的水池，經抽水機輸送至左側高程 10 m10\ \mathrm{m} 的水池。

解題方法

由兩水面間的能量方程：

Hp=(z2−z1)+hfH_p=(z_2-z_1)+h_f

其中 HpH_p 為抽水機揚程，hfh_f 為沿程水頭損失。

1. 流量換算

Q=0.53 m3/min=0.5360=0.008833 m3/sQ=0.53\ \mathrm{m^3/min} =\frac{0.53}{60} =0.008833\ \mathrm{m^3/s}

2. 計算管內平均流速

管徑為 D=0.05 mD=0.05\ \mathrm{m}，管路截面積：

A=πD24=π(0.05)24=0.0019635 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.05)^2}{4} =0.0019635\ \mathrm{m^2}

因此平均流速：

V=QA=0.0088330.0019635≈4.50 m/sV=\frac{Q}{A} =\frac{0.008833}{0.0019635} \approx 4.50\ \mathrm{m/s}

3. 計算沿程摩擦損失

採 Darcy–Weisbach 公式：

hf=fLDV22gh_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}

代入 f=0.02f=0.02、L=30 mL=30\ \mathrm{m}、D=0.05 mD=0.05\ \mathrm{m}、V=4.50 m/sV=4.50\ \mathrm{m/s}：

LD=300.05=600\frac{L}{D}=\frac{30}{0.05}=600
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第 五 題20 分

一消防水柱流量 0.0126 m3/s0.0126\ \mathrm{m^3/s}，若要將此水柱由地面噴到 20 m20\ \mathrm{m} 的高樓處滅火，水管噴嘴直徑 0.04 m0.04\ \mathrm{m}，不計空氣阻力，試用理想流估算消防水管內的水壓最小必須為何？

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核心觀念

本題考查連續方程與伯努力方程。水由噴嘴射出後，在不計空氣阻力的理想流下，水柱上升至最高點時速度降為零；噴嘴出口與最高點都接觸大氣，因此兩處壓力相同，皆為大氣壓。

以下以噴嘴位於地面、題目所求為水管內的表壓計算。

解題方法

先用連續方程求噴嘴出口流速。噴嘴截面積為

A=πD24=π(0.04)24=1.2566×10−3 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.04)^2}{4} =1.2566\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

因此出口流速為

V=QA=0.01261.2566×10−3≈10.03 m/sV=\frac{Q}{A} =\frac{0.0126}{1.2566\times10^{-3}} \approx 10.03\ \mathrm{m/s}

由伯努力方程，水管內的壓力水頭必須同時提供水柱上升 20 m20\ \mathrm{m} 所需的位能水頭，以及水由噴嘴射出所需的速度水頭：

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