115 身心障礙特考四等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力判定；
• 整體平衡方程式： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$
• 節點法求桿件內力；
• 二力桿件之軸力判定。

圖示中：

• $B$ 為滾支承，反力為水平方向，記為 $B_x$；
• $E$ 為鉸支承，反力包括水平反力 $E_x$ 與垂直反力 $E_y$；
• 對角桿件皆為 $4\text{ m}\times4\text{ m}$，故其方向角為 $45^\circ$。

以下以拉力為正、壓力為負。

解題方法：先求支承反力

將整個桁架視為一剛體。

1. 對 $E$ 點取力矩

$C$ 點向下集中力為 $20\text{ kN}$，其作用線距離 $E$ 點：

$CE=CD+DE=4+4=8\text{ m}$

$B$ 點水平反力作用線距離 $E$ 點為 $4\text{ m}$，因此：

$\sum M_E=0$

$20(8)-B_x(4)=0$

$B_x=40\text{ kN}$

方向為向右。

2. 水平方向平衡

$\sum F_x=0$

$E_x+B_x=0$

$E_x+40=0$

$E_x=-40\text{ kN}$

故 $E$ 點水平反力為：

$\boxed{E_x=40\text{ kN，向左}}$

3. 垂直方向平衡

$\sum F_y=0$

$E_y-20=0$

$E_y=20\text{ kN}$

故：

$\boxed{E_y=20\text{ kN，向上}}$

解題方法：求桿件 $AD$、$BD$ 內力

採用節點法，先由 $C$ 節點開始。

1. $C$ 節點平衡

$C$ 節點連接桿件 $CA$ 與 $CD$，並受向下 $20\text{ kN}$ 外力。

假設 $CA$、$CD$ 均為拉力。

由垂直方向平衡：

$\sum F_y=0$

$F_{CA}\sin45^\circ-20=0$

$F_{CA}\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=20$

$F_{CA}=20\sqrt2\text{ kN}$

由水平方向平衡：

$\sum F_x=0$

$F_{CD}+F_{CA}\cos45^\circ=0$

$F_{CD}+20=0$

核心觀念

本題考查簡支梁的：

• 支承反力計算
• 集中力與均佈載重之等效集中力
• 剪力圖與彎矩圖
• 剪力與彎矩的關係：

$\frac{dM}{dx}=V$

其中：

• 剪力圖的面積等於彎矩變化量
• 彎矩最大或最小處通常滿足 $V=0$
• 簡支梁兩端彎矩均為零

均佈載重 $5\ \mathrm{kN/m}$ 作用於 $x=6$ 至 $9\ \mathrm{m}$，等效集中力為：

$W=5(3)=15\ \mathrm{kN}$

作用位置在該載重區段中點：

$x=6+\frac{3}{2}=7.5\ \mathrm{m}$

一、支承反力

取鉸支承 $A$ 的水平反力為 $A_x$、垂直反力為 $A_y$，滾支承 $B$ 的垂直反力為 $B_y$。

1. 水平力平衡

梁上沒有水平外力，因此：

$\sum F_x=0$

$A_x=0$

2. 取 $A$ 點力矩平衡

逆時針為正：

$\sum M_A=0$

$B_y(9)-6(3)-15(7.5)=0$

$9B_y=18+112.5=130.5$

$B_y=14.5\ \mathrm{kN}$

3. 垂直力平衡

$\sum F_y=0$

$A_y+B_y-6-15=0$

$A_y+14.5=21$

$A_y=6.5\ \mathrm{kN}$

因此支承反力為：

$\boxed{A_x=0}$

$\boxed{A_y=6.5\ \mathrm{kN}\uparrow}$

$\boxed{B_y=14.5\ \mathrm{kN}\uparrow}$

二、剪力圖

令 $x$ 自 $A$ 點向右量，正剪力定義為截面左側向上。

1. $A$ 至集中力作用點：$0<x<3$

$V=+6.5\ \mathrm{kN}$

剪力圖為水平線。

2. 通過 $x=3\ \mathrm{m}$ 的集中力

集中力 $6\ \mathrm{kN}$ 向下，使剪力突然下降 $6\ \mathrm{kN}$：

$V=6.5-6=0.5\ \mathrm{kN}$

因此 $3<x<6$ 時：

$V=+0.5\ \mathrm{kN}$

3. 均佈載重區段：$6<x<9$

均佈載重使剪力以斜直線下降：

$V(x)=0.5-5(x-6)$

在 $x=9$ 左側：

$V(9^-)=0.5-5(3)=-14.5\ \mathrm{kN}$

通過 $B$ 點時，受到向上的支承反力 $14.5\ \mathrm{kN}$，剪力跳升至零：

$V(9^-) + B_y=-14.5+14.5=0$

剪力圖重要 ordinates

剪力在均佈載重區段內為斜直線，並於：

$0.5-5(x-6)=0$

處通過零，因此：

$x=6.1\ \mathrm{m}$

三、彎矩圖

核心觀念

本題考《建築物混凝土結構設計規範》第 22.2 節「彎矩與軸力強度之設計假設」中，計算鋼筋混凝土構材撓曲強度時，對混凝土採用的基本假設。作答時應列出應變分布、混凝土抗拉強度、混凝土極限壓應變，以及受壓區應力分布等規定。

以下以命題當年（民國 115 年）法規為準。

解題方法與規範假設

依規範進行斷面分析，須使斷面符合力平衡與應變相合。對混凝土的設計假設如下：

1. 斷面應變分布保持線性 構材受彎後，平面斷面仍保持平面，因此沿斷面深度的應變呈線性分布。可據此由中性軸位置求得混凝土與鋼筋應變。

2. 混凝土抗拉強度不計 計算撓曲強度時，不計混凝土承受的拉力；受拉區的拉力由鋼筋承擔。這是強度計算的設計假設，並非表示混凝土實際完全沒有抗拉能力。

3. 混凝土最外受壓纖維之極限壓應變取 $0.003$ 當混凝土最外受壓纖維應變達到規範假設的極限壓應變 $\epsilon_{cu}=0.003$ 時，據以計算斷面強度。若中性軸深度為 $c$、受拉鋼筋有效深度為 $d$，線性應變分布下，受拉鋼筋應變可由相似三角形求得： $\epsilon_t=0.003\frac{d-c}{c}$

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁沿強軸受剪時，斷面標稱剪力強度：

$V_n=V_c+V_s$

其中：

• $V_c$：混凝土所提供之剪力強度。
• $V_s$：箍筋所提供之剪力強度。
• $V_n$：標稱剪力強度，尚未乘以剪力強度折減係數 $\phi$。

依命題當年（民國115年）混凝土結構設計規範，採用：

$V_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd$

$V_s=\frac{A_vf_{yt}d}{s}$

解題方法

由圖可知，上、下主筋中心線間距為 $56\ \mathrm{cm}$，下方主筋中心線至梁底為 $7\ \mathrm{cm}$，因此有效深度為：

$d=56+7=63\ \mathrm{cm}$

梁寬為：

$b_w=45\ \mathrm{cm}$

箍筋為封閉矩形箍筋，對垂直剪力而言有兩支有效箍筋肢。台灣鋼筋號數面積取：

$A_{\#4}=1.27\ \mathrm{cm^2}$

所以：

$A_v=2(1.27)=2.54\ \mathrm{cm^2}$

已知：

$f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$

$f_{yt}=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$

$s=10\ \mathrm{cm}$

一、混凝土剪力強度