108 身心障礙特考四等 電力工程 基本電學 考古題詳解

核心觀念

本題評量直流電路的基本特性、電阻串並聯等效阻抗，以及電阻元件額定功率（Rated Power）與安全工作極限的綜合分析能力。涉及的重要定義與公式如下：

1. 歐姆定律與電功率公式： $P = V \cdot I = I^2 R = \frac{V^2}{R}$

• 個別電阻的最大容許電流（耐流值）：$I_{\max} = \sqrt{\frac{P_{\mathrm{rated}}}{R}}$
• 個別電阻的最大容許電壓（耐壓值）：$V_{\max} = \sqrt{P_{\mathrm{rated}} \cdot R}$

2. 串聯電路特性：

• 總等效電阻：$R_{\mathrm{eq}} = R_1 + R_2$
• 串聯電路中各元件通過之電流相同。為了確保所有電阻均不超過額定功率，電路的總電流上限由耐流值較小者決定（短板理論／木桶效應）。

3. 並聯電路特性：

• 總等效電阻：$R_{\mathrm{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$
• 並聯電路中各元件端之跨壓相同。為了確保所有電阻均不超過額定功率，電路的總跨壓上限由耐壓值較小者決定。

解題方法

步驟一：求兩電阻各自的「安全極限」（額定電流與額定電壓）

• 電阻 $R_1 = 2\,\Omega$（額定 $P_1 = 4\,\mathrm{W}$）：

• 最大容許電流： $I_{1,\max} = \sqrt{\frac{P_1}{R_1}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}\,\mathrm{A}$
• 最大容許電壓： $V_{1,\max} = \sqrt{P_1 \cdot R_1} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\,\mathrm{V}$

• 電阻 $R_2 = 8\,\Omega$（額定 $P_2 = 4\,\mathrm{W}$）：

• 最大容許電流： $I_{2,\max} = \sqrt{\frac{P_2}{R_2}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{A}$
• 最大容許電壓： $V_{2,\max} = \sqrt{P_2 \cdot R_2} = \sqrt{4 \times 8} = 4\sqrt{2}\,\mathrm{V}$

（一）兩電阻串聯時

1. 等效阻抗 $R_{\mathrm{eq}}$： $R_{\mathrm{eq}} = R_1 + R_2 = 2 + 8 = 10\,\Omega$

2. 最大容許跨壓 $V_{\max}$： 串聯時電流處處相等，電路電流不得超過任一電阻的耐流上限： $I_{\mathrm{series},\max} = \min(I_{1,\max}, I_{2,\max}) = \min\left(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{A}$ 此時 $R_2$ 達到額定極限，電路容許的最大總外加跨壓為： $V_{\max} = I_{\mathrm{series},\max} \cdot R_{\mathrm{eq}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 10 = 5\sqrt{2}\,\mathrm{V} \approx 7.07\,\mathrm{V}$

3. 功率消耗 $P_{\max}$： $P_{\max} = (I_{\mathrm{series},\max})^2 \cdot R_{\mathrm{eq}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \times 10 = \frac{1}{2} \times 10 = 5\,\mathrm{W}$ 驗算個別功率：$P_2 = 4\,\mathrm{W}$（達額定值），$P_1 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \times 2 = 1\,\mathrm{W}$，總功率 $P_{\max} = 1 + 4 = 5\,\mathrm{W}$。

（二）兩電阻並聯時

1. 等效阻抗 $R_{\mathrm{eq}}$：

核心觀念

本題考查線性電阻電路的戴維寧與諾頓等效，以及最大功率傳輸定理。

• 開路電壓 $V_{\mathrm{oc}}$ 就是戴維寧電壓 $V_{\mathrm{Th}}$。
• 短路電流 $I_{\mathrm{sc}}$ 就是諾頓電流 $I_{\mathrm{N}}$。
• 輸出阻抗可由 $R_{\mathrm{Th}}=V_{\mathrm{oc}}/I_{\mathrm{sc}}$ 求得；也可將理想電壓源短路後，從輸出端往電路內看。
• 電阻性負載要取得最大功率，負載電阻應等於輸出等效電阻，即 $R_L=R_{\mathrm{Th}}$。

以下以圖示電池上端為 $48\text{ V}$ 正端、下端 $Y$ 為參考點 $0\text{ V}$。

解題方法與計算

將電路節點由左至右記為 $A$、$B$。圖中的 $A$、$B$ 各有一個 $8\,\Omega$ 電阻接至 $Y$；$A$、$B$ 之間為 $4\,\Omega$，而 $B$ 至輸出端 $X$ 間為 $8\,\Omega$。

（一）輸出開路電壓

$X$ 開路時，最右側的 $8\,\Omega$ 無電流，因此其兩端壓降為零，故 $V_X=V_B$。

由 $A$ 點向下看至 $Y$：

以電源 $48\text{ V}$ 與左側串聯 $8\,\Omega$ 分壓：

再由 $A$ 點經 $4\,\Omega$、$8\,\Omega$ 分壓：

所以：

（二）輸出短路電流

$X$、$Y$ 短路後，$B$ 點有兩條 $8\,\Omega$ 支路接至 $Y$：原本的垂直 $8\,\Omega$，以及經輸出端的 $8\,\Omega$。因此：

$A$ 點經 $4\,\Omega$ 接至 $B$，此支路總電阻為 $4+4=8\,\Omega$，與 $A$ 點垂直的 $8\,\Omega$ 並聯：

因此：

核心觀念

本題考查電容與電感在開關切換瞬間及直流穩態時的等效特性：

• 電容電壓不能瞬間改變。若開關閉合前電容未充電，則在 $t=0^+$ 瞬間，電容電壓仍為 $0$，等效為短路；直流穩態時，電容等效為開路。
• 電感電流不能瞬間改變。若開關閉合前電感電流為 $0$，則在 $t=0^+$ 瞬間，電感等效為開路；直流穩態時，電感等效為短路。

以下依電路圖，假設開關閉合前電容未充電、電感電流為零。

解題方法

分別將圖二（a）、（b）在 $t=0^+$ 與 $t=\infty$ 時的電容、電感替換成上述等效元件，再用串並聯電阻與歐姆定律求電源電流。

圖二（a）

閉合瞬間 $t=0^+$： 電容等效為短路，故右側兩個 $20\,\Omega$ 電阻並聯：

因此：

閉合後穩態 $t=\infty$： 電容等效為開路，含有電容的支路沒有電流，只剩右側 $20\,\Omega$ 電阻與 $40\,\Omega$ 電阻串聯：

圖二（b）

核心觀念

本題考交流相量分析：將電感、電容以阻抗表示，先求電路的等效阻抗或總導納，再由 $I=V_S/Z_{\mathrm{eq}}$ 求電源輸出電流。有效輸出功率是平均實功率：

其中 $\theta$ 是電壓與電流的相位差，$G_{\mathrm{eq}}$ 是總導納的實部。理想電感與電容只交換無功功率，不消耗平均實功率。

題圖中各元件標示的是阻抗大小，因此電感阻抗寫成 $jX_L$，電容阻抗寫成 $-jX_C$。三個電路的電源皆為 $V_S=50\angle0^\circ\ \mathrm{V}$ RMS。

解題方法

圖三（a）

電路為 $4\,\Omega$ 電阻與 $j3\,\Omega$ 電感串聯，故

電源電流為

只有 $4\,\Omega$ 電阻消耗實功率，因此

圖三（b）

三個並聯支路分別為電容 $-j10\,\Omega$、電感 $j5\,\Omega$、電阻 $10\,\Omega$。先求總導納：