（一）三角高程測量

核心觀念

三角高程測量（Trigonometric Leveling）是利用測站至目標點間的垂直角（或天頂距）與距離，依三角函數計算兩點間高程差的方法。

設：

• 測站為 $A$，目標點為 $B$
• 儀器高為 $i$
• 目標標高或標尺高為 $t$
• 斜距為 $S$
• 垂直角為 $\alpha$

則兩點高程差可表示為：

$$\Delta H_{AB}=H_B-H_A=S\sin\alpha+i-t$$

若使用天頂距 $Z$，則：

$$\Delta H_{AB}=S\cos Z+i-t$$

當視線距離較長時，必須考慮地球曲率與大氣折光影響，通常加入球差及折光改正：

$$\Delta H_{AB} = S\cos Z+i-t+\frac{(1-k)S^2}{2R}$$

其中：

• $k$ 為大氣折光係數
• $R$ 為地球平均半徑

因此，三角高程測量的本質，是由「距離及垂直角」推求「高程差」。

解題方法與適用情境

三角高程測量相較於直接水準測量，主要優勢在於不必讓水準儀視線沿著地形逐段前進，而可由一測站直接觀測遠方目標點。因此適用於下列情境：

1. 山區、陡坡及起伏劇烈地形

直接水準測量需架設許多測站，且水準路線容易受到地形阻隔。三角高程測量可跨越坡地，減少測站數及搬站時間。

2. 河川、峽谷、湖泊及其他障礙地形

若兩點之間有河流、深谷或其他無法通行的區域，直接水準測量不易架設連續路線；三角高程測量可從一側觀測另一側，直接求得高程差。

3. 高塔、山頂、橋梁、邊坡及其他不易接近的點

目標點不必供水準尺人員長時間進入，只要能設置反射棱鏡、標誌或進行目標照準，即可由遠處測定其高程。

4. 長距離及大範圍地形測量

使用全測站經緯儀或電子測距儀，可同時取得水平角、垂直角與距離，作業速度快，適合道路、橋梁、水庫、隧道及大型土木工程的高程控制與地形測量。

5. 需要快速取得相對高程的工程測量

三角高程可與導線測量、地形測量同時進行，具有作業效率高及資料整合方便的優點。

但三角高程的精度容易受到垂直角觀測誤差、距離誤差、儀器高與目標高量測誤差、地球曲率及大氣折光影響。因此，若為短距離且地形平坦、要求高精度高程成果，直接水準測量通常較為可靠。

核心觀念

本題考查經緯儀或全測站儀的基本構造、四軸幾何關係，以及以正鏡、倒鏡觀測水平角時，利用儀器倒轉使部分系統誤差改變符號，再取平均予以抵消的原理。

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（一）經緯儀的四軸及其幾何關係

1. 垂直軸（Vertical axis）

垂直軸是儀器上部繞水平面旋轉的軸。水平角觀測時，儀器照準不同目標，主要是繞垂直軸旋轉。

理想狀態下，垂直軸應鉛直，與水準面法線方向一致。

2. 水平軸或橫軸（Horizontal axis／Trunnion axis）

水平軸是望遠鏡上下俯仰所繞的軸，也稱橫軸。垂直角觀測時，望遠鏡即繞此軸旋轉。

3. 視準軸或照準軸（Line of collimation）

視準軸是由物鏡光心通過十字絲中心的直線，代表望遠鏡實際照準目標的方向。

4. 水準管軸（Axis of level tube）

水準管軸是水準管內氣泡中心線的切線方向。整置儀器時，利用水準管使垂直軸調整至鉛直。

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四軸應滿足的基本關係

（1）水準管軸應垂直於垂直軸

$$\text{水準管軸} \perp \text{垂直軸}$$

此關係成立時，水準管氣泡居中，垂直軸即可保持鉛直。若不垂直，則即使氣泡居中，垂直軸仍可能傾斜，造成水平角及垂直角觀測誤差。

（2）水平軸應垂直於垂直軸

$$\text{水平軸} \perp \text{垂直軸}$$

此關係可確保望遠鏡俯仰運動的幾何面與鉛直方向正確，亦是正確觀測垂直角及水平角的重要條件。

若水平軸不垂直於垂直軸，稱為水平軸誤差或橫軸誤差。

（3）視準軸應垂直於水平軸

$$\text{視準軸} \perp \text{水平軸}$$

當望遠鏡繞水平軸上下轉動時，視準軸應形成一個鉛直面。若視準軸不垂直於水平軸，稱為視準軸誤差或照準軸誤差。

（4）垂直軸應保持鉛直

$$\text{垂直軸} \parallel \text{鉛垂線}$$

嚴格而言，垂直軸鉛直是儀器整置後的工作條件；其實現依賴水準管軸與垂直軸的正確關係及精確整平。

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關係整理

可整理如下：

$$\text{水準管軸} \perp \text{垂直軸}$$ $$\text{水平軸} \perp \text{垂直軸}$$ $$\text{視準軸} \perp \text{水平軸}$$

並且整置完成後：

$$\text{垂直軸} \parallel \text{鉛垂線}$$

這些關係使視準軸在望遠鏡轉動時能正確表現空間方向，並使水平角與垂直角的讀數具有幾何意義。

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（二）正倒鏡觀測水平角的誤差消除

1. 正倒鏡觀測的原理

正鏡通常指望遠鏡處於正位，例如垂直度盤在觀測者左側；倒鏡則將望遠鏡繞水平軸旋轉 $180^\circ$，使垂直度盤位於另一側。

設真實水平角為 $\theta$，某一儀器誤差為 $e$。若該誤差在正鏡與倒鏡時大小相等、方向相反，則：

$$\theta_{\text{正}}=\theta+e$$ $$\theta_{\text{倒}}=\theta-e$$

取平均得：

$$\frac{\theta_{\text{正}}+\theta_{\text{倒}}}{2} = \frac{(\theta+e)+(\theta-e)}{2} = \theta$$

核心觀念

本題考查 GNSS 測量的基本特性，以及衛星訊號受周遭物體反射所造成的多路徑效應。答題時應分別說明：

1. GNSS 測量相較於傳統光學測量的優點。
2. GNSS 測量在衛星訊號、定位精度、作業環境及成果基準上的限制。
3. 多路徑效應的成因、影響及實務防治方法。

GNSS 接收機所量測的偽距可概念性表示為：

$$P=\rho+c(\delta t_r-\delta t_s)+I+T+M+\varepsilon$$

其中：

• $P$：接收機量測之偽距；
• $\rho$：衛星至接收機的幾何距離；
• $c\delta t_r$、$c\delta t_s$：接收機鐘差與衛星鐘差；
• $I$：電離層延遲；
• $T$：對流層延遲；
• $M$：多路徑效應所造成的誤差；
• $\varepsilon$：其他量測雜訊。

相對定位雖可消除部分共同誤差，但多路徑通常與測站周遭環境有關，屬於測站特有誤差，無法完全藉由差分消除。

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解題方法

本題採「優點—限制—定義—成因—防治」的架構作答：

• 第一部分先列舉 GNSS 測量的作業優勢，再說明其使用條件與誤差來源。
• 第二部分先解釋直接訊號與反射訊號疊加的物理現象，再依「選址、儀器、觀測、資料處理」四方面提出改善方法。

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（一）GNSS 測量之優點與限制

1. GNSS 測量的優點

（1）不需要測站間通視

GNSS 定位是接收衛星訊號，不必像全測站儀或經緯儀一樣要求相鄰測站彼此通視。因此：

• 不必清除大量通視障礙；
• 不受地形起伏影響而必須架設密集導線；
• 適合大範圍控制測量及長距離基線測量。

但測站仍須對天空具有良好視野，不能將「不需地面通視」誤解為「不受任何遮蔽物影響」。

（2）定位範圍大，適合大地測量與大面積作業

衛星訊號可涵蓋廣大區域，測站間距可由數十公尺延伸至數百公里以上，適合：

• 國家及區域性控制測量；
• 地籍與工程控制網；
• 橋梁、隧道、道路等大型工程測量；
• 地殼變形與地殼運動監測。

（3）可直接獲得三維坐標

GNSS 可同時求得測站的平面位置及橢球高，並可透過坐標轉換取得平面坐標與正高。相較於傳統測量須分別進行角度、距離及高程觀測，GNSS 可一次提供三維定位成果。

須注意，GNSS 直接求得的是橢球高 $h$，若要取得正高 $H$，通常須配合大地起伏 $N$：

$$H=h-N$$

因此 GNSS 橢球高與水準測量所得正高並不相同。

（4）全天候、日夜均可觀測

GNSS 主要使用電磁波進行定位，只要衛星訊號能正常接收，通常不受日夜影響，也能在一般天候下作業。因此作業時間彈性大，適合連續監測及長時間觀測。

不過，強降雨、電離層活動、雷雨及周遭電磁干擾仍可能降低觀測品質，不能寫成完全不受天候影響。

（5）外業作業效率高，適合快速定位

採用 RTK、網路 RTK 或即時差分技術時，可在短時間內獲得公分級定位成果，減少傳統導線測量中架站、照準、量距及搬站的時間。

（6）可進行自動化與連續監測

GNSS 接收機可長時間自動記錄衛星資料，配合資料處理軟體可進行：

• 即時定位；
• 變形監測；
• 速度及位移分析；
• 無人化連續觀測；
• 多測站同步資料處理。

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2. GNSS 測量的限制

（1）必須具有良好的天空視野

高樓、山壁、樹木、橋梁及其他構造物會遮蔽衛星訊號，使可用衛星數量減少，並造成衛星幾何分布不良。當衛星集中於天空某一區域時，幾何精度因子會變大，定位精度降低。

因此 GNSS 不適合直接在下列環境作業：

• 高樓密集的都市峽谷；
• 密林或高大樹木下；
• 深切道路及狹窄山谷；
• 室內或地下空間；
• 大型橋梁及構造物旁。

（2）容易受到電離層、對流層及衛星軌道等誤差影響

GNSS 訊號由衛星傳至接收機，傳播過程會受到下列因素影響：

• 電離層折射；
• 對流層折射；
• 衛星軌道誤差；
• 衛星鐘差；
• 接收機鐘差；
• 接收機熱雜訊。

長基線或單點定位時，這些誤差的影響更為明顯。雙頻觀測可有效減弱電離層延遲，但不能完全消除所有誤差。

（3）容易受到多路徑效應影響

衛星訊號遇到建築物、金屬表面、水面或車輛後反射，反射訊號與直接訊號同時進入天線，會造成偽距與載波相位量測誤差。

多路徑效應具有測站特有性，差分定位不一定能消除，尤其在都市、高架道路及水域附近更為嚴重。

（4）無法直接取代精密水準測量

GNSS 可求得橢球高，但工程及測量實務常需使用正高。正高必須透過大地起伏模型或水準測量轉換：

$$H=h-N$$

若大地起伏資料不夠精確，GNSS 高程成果也會受到限制。因此精密高程控制仍常須配合幾何水準測量。

（5）需要解算整數週波未定值

載波相位觀測具有高精度，但初始整數週波數未知，必須進行整數模糊度固定。若發生：

• 衛星訊號中斷；
• 周波跳動；
• 遮蔽物遮蔽；
• 電離層活動劇烈；
• 多路徑嚴重；

即可能造成整數模糊度無法固定，導致 RTK 失去固定解或定位精度下降。

（6）可能受到電磁干擾及人為干擾

GNSS 訊號抵達地面時功率很低，容易受到下列因素影響：

• 無線電干擾；
• 電力設備；
• 通訊設備；
• GNSS 干擾器或欺騙訊號；
• 接收機附近的電子設備。

干擾可能造成訊號失鎖、觀測值品質下降，甚至產生錯誤定位結果。

（7）成果具有坐標基準與時間基準問題

GNSS 成果通常與全球或區域大地基準及參考框架有關。若未正確處理：

• 坐標系統；
• 投影系統；
• 基準轉換；
• 地殼板塊運動；
• 時間參考框架；

可能造成坐標偏移。因此測量成果必須確認與臺灣現行坐標基準及工程坐標系統的一致性。

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（二）多路徑效應及其避免、減少方法

1. 多路徑效應的定義

（一）五邊形閉合導線之角度閉合差與平差改正

核心觀念

$n$ 邊形閉合導線的內角理論總和為：

$$\sum \theta_{\text{理論}}=(n-2)\times180^\circ$$

五邊形共有 $n=5$，因此理論內角和為：

$$(5-2)\times180^\circ=540^\circ$$

角度閉合差定義為：

$$f_\theta=\sum \theta_{\text{觀測}}-\sum \theta_{\text{理論}}$$

閉合差為負，表示觀測內角總和不足，平差時應施加正改正數。

解題方法

觀測內角和：

$$\sum \theta_{\text{觀測}}=539^\circ58'30''$$

理論內角和：

$$\sum \theta_{\text{理論}}=540^\circ00'00''$$

因此：

$$\begin{aligned} f_\theta &=539^\circ58'30''-540^\circ00'00''\\ &=-1'30''\\ &=-90'' \end{aligned}$$

所以該導線的角度閉合差為：

$$\boxed{-90''}$$

依據常規平差，若各內角精度相同，採等量分配法，將總改正數平均分配至五個內角。總改正數為閉合差的相反數：

$$\sum c_i=-f_\theta=+90''$$

每個內角的改正數為：

$$c_i=\frac{+90''}{5}=+18''$$

因此，每個內角均應增加 $18''$。

解題技巧與常見陷阱

1. 五邊形內角和必須使用 $(5-2)\times180^\circ$，不可誤用三角形的 $180^\circ$。
2. 「閉合差」與「改正數」符號相反：

$$\text{改正數}=-\text{閉合差}$$

3. 觀測總和小於理論總和，閉合差為負，改正數必為正。
4. 快速驗算：

$$5\times18''=90''$$

加入總改正數後：

$$539^\circ58'30''+90''=540^\circ00'00''$$

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（二）定權的統計學意義與權、標準差之關係

核心觀念