112 原住民特考四等 機械工程 機械力學概要 考古題詳解

112 年・原住民特考・四等・機械工程
試題代碼 機械力學概要

第 一 題25 分

如圖所示，一質量為 10 kg10\ \mathrm{kg} 的滑塊靜止放在斜面上，斜面的靜摩擦係數為 0.20.2。若施加一拉力 TT 在滑輪繩索上，使滑塊不會下滑，試求拉力 TT 之大小為多少？

斜面幾何尺寸如圖所示，水平底邊與垂直高的比例為 4:34:3。

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核心觀念

本題考查：

  • 斜面上的靜力平衡
  • 靜摩擦力的最大值
  • 動滑輪對滑塊所提供的拉力
  • 33-44-55 斜面三角形關係

滑塊若有下滑趨勢，靜摩擦力方向沿斜面向上，且臨界不下滑時：

fs=μsNf_s=\mu_s N

圖中動滑輪與滑塊連接，理想繩索各段張力均為 TT，因此動滑輪受到沿斜面向上的合力為 2T2T。

解題方法

由斜面幾何尺寸：

sin⁡θ=35,cos⁡θ=45\sin\theta=\frac{3}{5},\qquad \cos\theta=\frac{4}{5}

滑塊重量為：

W=mg=10(9.8)=98 NW=mg=10(9.8)=98\ \text{N}

由於繩索拉力沿斜面方向，對法向力沒有影響，因此：

N=mgcos⁡θN=mg\cos\theta N=98(45)=78.4 NN=98\left(\frac{4}{5}\right)=78.4\ \text{N}

最大靜摩擦力為：

fs,max⁡=μsNf_{s,\max}=\mu_sN fs,max⁡=0.2(78.4)=15.68 Nf_{s,\max}=0.2(78.4)=15.68\ \text{N}

沿斜面向下的重力分量為：

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第 二 題25 分

試繪製下圖中樑之剪力圖及彎矩圖，並列出其最大剪力與最大彎矩數值。

樑由 AA 點鉸支承、DD 點滾支承，且各點間距如下：

AB=5 mAB=5\ \mathrm{m}、BC=5 mBC=5\ \mathrm{m}、CD=5 mCD=5\ \mathrm{m}。

BB 點施加向下集中力 100 N100\ \mathrm{N}，CC 點施加向上集中力 300 N300\ \mathrm{N}。

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核心觀念

本題考查簡支梁的：

  • 支承反力計算
  • 剪力圖（Shear Force Diagram, SFD）
  • 彎矩圖（Bending Moment Diagram, BMD）
  • 集中力作用下剪力、彎矩的突變關係

採用符號約定：

  • 向上反力、向上外力為正
  • 左截面剪力向上為正
  • 彎矩逆時針為正

梁上各點位置為：

A:x=0,B:x=5 m,C:x=10 m,D:x=15 mA: x=0,\qquad B: x=5\ \mathrm{m},\qquad C: x=10\ \mathrm{m},\qquad D: x=15\ \mathrm{m}

解題方法

一、計算支承反力

設 A 點鉸支承之垂直反力為 AyA_y，D 點滾支承之垂直反力為 DyD_y。

取 A 點力矩：

∑MA=0\sum M_A=0 15Dy−100(5)+300(10)=015D_y-100(5)+300(10)=0 15Dy+2500=015D_y+2500=0 Dy=−166.67 ND_y=-166.67\ \mathrm{N}

負號表示 D 點反力實際方向向下。

再由垂直力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay−100+300+Dy=0A_y-100+300+D_y=0 Ay−100+300−166.67=0A_y-100+300-166.67=0 Ay=−33.33 NA_y=-33.33\ \mathrm{N}

因此 A 點反力亦為向下 33.33 N33.33\ \mathrm{N}。

二、繪製剪力圖

由左向右逐段計算剪力：

AA 至 BB

VAB=Ay=−33.33 NV_{AB}=A_y=-33.33\ \mathrm{N}

通過 B 點

B 點有向下集中力 100 N100\ \mathrm{N}，剪力下降 100 N100\ \mathrm{N}：

VBC=−33.33−100=−133.33 NV_{BC}=-33.33-100=-133.33\ \mathrm{N}

通過 C 點

C 點有向上集中力 300 N300\ \mathrm{N}，剪力上升 300 N300\ \mathrm{N}：

VCD=−133.33+300=166.67 NV_{CD}=-133.33+300=166.67\ \mathrm{N}

通過 D 點

D 點反力為向下 166.67 N166.67\ \mathrm{N}：

VD=166.67−166.67=0V_D=166.67-166.67=0

剪力圖數值如下：

區段或位置剪力 VV
AA 至 BB−33.33 N-33.33\ \mathrm{N}
BB 至 CC−133.33 N-133.33\ \mathrm{N}
CC 至 DD+166.67 N+166.67\ \mathrm{N}
D 點右側00

示意圖：

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第 三 題25 分

有一如圖所示之左右皆固定於牆面的實心階級桿，ABAB 直徑為 50 mm50\ \mathrm{mm}，BCBC 直徑為 100 mm100\ \mathrm{mm}，CDCD 直徑為 50 mm50\ \mathrm{mm}，其材料剪切模數為 70 GPa70\ \mathrm{GPa}。若 BB 點與 CC 點有兩力矩，分別為 200 N⋅m200\ \mathrm{N\cdot m} 與 100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}，試計算固定支撐 AA 和 DD 點的反作用力矩大小為何？

桿件長度為：

AB=1 mAB=1\ \mathrm{m}、BC=3 mBC=3\ \mathrm{m}、CD=1 mCD=1\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查固定端階級桿的扭轉平衡與扭轉變形相容條件。

由於 AA、DD 兩端皆固定，因此桿件總扭轉角必須為零：

θAD=0\theta_{AD}=0

圓實心軸的極慣性矩為

J=πd432J=\frac{\pi d^4}{32}

各段扭轉角關係為

θ=TLGJ\theta=\frac{TL}{GJ}

圖中 BB、CC 兩力矩方向相同，且分別為 200 N⋅m200\ \mathrm{N\cdot m}、100 N⋅m100\ \mathrm{N\cdot m}。

解題方法

取圖中外加力矩方向為正，令 AA 至 BB 段內力矩為 T1T_1。

依各節點的扭矩平衡：

在 BB 點：

T2=T1−200T_2=T_1-200

在 CC 點：

T3=T2−100=T1−300T_3=T_2-100=T_1-300

其中：

  • T1T_1：ABAB 段內力矩
  • T2T_2：BCBC 段內力矩
  • T3T_3：CDCD 段內力矩

1. 計算各段極慣性矩比例

ABAB、CDCD 直徑皆為 50 mm50\ \mathrm{mm}，而 BCBC 直徑為 100 mm100\ \mathrm{mm}，因此

JBCJAB=(10050)4=16\frac{J_{BC}}{J_{AB}} = \left(\frac{100}{50}\right)^4 =16

故可令

JAB=JCD=J,JBC=16JJ_{AB}=J_{CD}=J,\qquad J_{BC}=16J

2. 套用固定端相容條件

總扭轉角為零：

T1(1)GJ+T2(3)G(16J)+T3(1)GJ=0\frac{T_1(1)}{GJ} +\frac{T_2(3)}{G(16J)} +\frac{T_3(1)}{GJ}=0

消去共同因子 GJGJ：

T1+316T2+T3=0T_1+\frac{3}{16}T_2+T_3=0

代入 T2=T1−200T_2=T_1-200、T3=T1−300T_3=T_1-300：

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第 四 題25 分

有一靜止且質量為 5 kg5\ \mathrm{kg} 的滑塊，受一未知水平的外力 FF 作用，使此物體在 2020 秒內移動了 500500 公尺。假設不考慮摩擦的情況下：

(一) 試求此未知的外力與受力後此滑塊的加速度分別為多少？

(二) 試計算當滑塊在移動到 500500 公尺時，此物體的動能為多少？

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核心觀念

本題考查牛頓第二運動定律、等加速度直線運動及動能公式：

  • 牛頓第二定律：F=maF=ma
  • 位移公式：s=v0t+12at2s=v_0t+\frac{1}{2}at^2
  • 動能公式：K=12mv2K=\frac{1}{2}mv^2

滑塊初始靜止，且不考慮摩擦，因此水平方向合力即為外力 FF。假設外力為定值，滑塊作等加速度運動。

解題方法

已知：

m=5 kg,v0=0,s=500 m,t=20 sm=5\ \mathrm{kg},\qquad v_0=0,\qquad s=500\ \mathrm{m},\qquad t=20\ \mathrm{s}

由位移公式：

s=v0t+12at2s=v_0t+\frac{1}{2}at^2

代入數據：

500=0+12a(20)2500=0+\frac{1}{2}a(20)^2 500=200a500=200a

因此加速度為：

a=2.5 m/s2a=2.5\ \mathrm{m/s^2}

由牛頓第二定律：

F=maF=ma F=5(2.5)=12.5 NF=5(2.5)=12.5\ \mathrm{N}

求滑塊移動 500 m500\ \mathrm{m} 時的速度：

v=v0+atv=v_0+at
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