核心觀念

均勻平板受重力作用時，重力 $W$ 通過質心 $G$，方向鉛直向下。由於 $A$ 為無摩擦銷支承，支承反力通過 $A$，對 $A$ 點力矩為零。

靜止平衡的必要條件為：重力作用線必須通過支承點 $A$，因此質心 $G$ 必須位於通過 $A$ 點的鉛直線上。

半圓形平板的質心位置為：

$$OG=\bar y=\frac{4r}{3\pi}$$

且 $OG$ 垂直於直徑 $AB$。

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解題方法

設直徑 $AB$ 與鉛直線的夾角為 $\theta$。

幾何關係如下：

• $AO=r$
• $OG=\dfrac{4r}{3\pi}$
• $OG\perp AB$
• $AG$ 必須為鉛直方向

將 $AG$ 在水平方向的分量設為零。由圖中幾何關係：

• $AO$ 的水平分量為 $r\sin\theta$
• $OG$ 的水平分量為 $\bar y\cos\theta$

兩者方向相反，因此平衡條件為：

$$r\sin\theta=\bar y\cos\theta$$

整理得：

$$\tan\theta=\frac{\bar y}{r}$$

代入半圓形質心距離：

核心觀念

本題考查剛體繞固定無摩擦支點轉動時的：

• 重心位置與位能變化
• 平行軸定理
• 剛體轉動慣量
• 機械能守恆

球拍由均質圓環與均質細長直桿組成，兩者質量皆為 $m$。由圖可視為直桿中心線通過圓環中心 $O$，因此

$$AO=AB+BO=3r+r=4r$$

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解題方法

採用機械能守恆。球拍由 $\theta=30^\circ$ 由靜止下落至 $\theta=0^\circ$，支點 $A$ 無摩擦，故重力位能減少量全部轉換為轉動動能。

一、重力位能減少量

直桿質心位於距離 $A$ 為

$$AG=\frac{L}{2}=\frac{3r}{2}$$

的位置；圓環質心位於圓心 $O$，距離 $A$ 為

$$AO=4r$$

初始與水平線夾角為 $30^\circ$，最後轉至水平位置，因此兩質心的垂直下降高度分別為

$$\Delta h_{\text{桿}}=\frac{3r}{2}\sin30^\circ$$ $$\Delta h_{\text{環}}=4r\sin30^\circ$$

所以重力位能減少量為

$$\Delta V =mg\left(\frac{3r}{2}+4r\right)\sin30^\circ$$ $$\Delta V =mg\left(\frac{11r}{2}\right)\left(\frac12\right) =\frac{11}{4}mgr$$

二、球拍對支點 $A$ 的轉動慣量

1. 細長直桿

均質細長桿繞端點 $A$ 的轉動慣量為

$$I_{A,\text{桿}}=\frac13mL^2$$

代入 $L=3r$：

$$I_{A,\text{桿}} =\frac13m(3r)^2 =3mr^2$$

核心觀念

本題考查：

• 簡支梁支承反力
• 剛體力系等效：將鋼樑 $BD$ 上的集中力 $P$ 化為作用於焊接點 $B$ 的力與力偶
• 剪力圖與彎矩圖
• 集中力使剪力圖產生跳躍；集中力偶使彎矩圖產生跳躍

取 $A$ 為座標原點，梁軸方向為 $x$ 軸，則

$$AB=3a,\qquad BC=2a,\qquad AC=5a$$

由圖可知，$D$ 位於 $B$ 的左方距離 $a$ 處，且承受向下集中力 $P$。

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一、鋼樑 $BD$ 對梁 $ABC$ 的等效作用

將 $P$ 移至 $B$：

1. 在 $B$ 施加向下集中力 $P$。
2. 產生力偶

$$M_B=Pa$$

由於 $D$ 在 $B$ 左側，向下力 $P$ 對 $B$ 產生逆時針力矩。因此，鋼樑 $BD$ 對梁 $ABC$ 的作用為：

• $B$ 點向下集中力 $P$
• $B$ 點逆時針集中力偶 $Pa$

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二、支撐反力

鉸支承 $A$ 的反力包括水平反力 $A_x$ 與垂直反力 $A_y$；滾支承 $C$ 僅有垂直反力 $C_y$。

水平方向平衡：

$$\sum F_x=0$$ $$A_x=0$$

垂直方向平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$A_y+C_y-P=0$$

取 $A$ 點力矩，逆時針為正：

$$\sum M_A=0$$ $$C_y(5a)-P(3a)+Pa=0$$

整理得

$$5aC_y=2Pa$$ $$\boxed{C_y=\frac{2P}{5}}$$

代回垂直力平衡式：

$$A_y+\frac{2P}{5}-P=0$$ $$\boxed{A_y=\frac{3P}{5}}$$

因此支撐反力為

$$\boxed{A_x=0,\qquad A_y=\frac{3P}{5},\qquad C_y=\frac{2P}{5}}$$

其中 $A_y$、$C_y$ 均向上。

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三、剪力圖

採用左截面慣用正號：左截面剪力向上為正。

以 $x$ 表示距離 $A$ 點的位置。

1. 區段 $AB$：$0<x<3a$

左側僅有 $A_y$，故

$$V(x)=A_y=\frac{3P}{5}$$

因此

$$\boxed{V=\frac{3P}{5}\qquad (0<x<3a)}$$

在 $B$ 點有向下集中力 $P$，剪力產生下降 $P$：

$$V_{B^+}=V_{B^-}-P$$ $$V_{B^+}=\frac{3P}{5}-P=-\frac{2P}{5}$$

2. 區段 $BC$：$3a<x<5a$

$$\boxed{V=-\frac{2P}{5}\qquad (3a<x<5a)}$$

到達 $C$ 點時，滾支承向上反力 $2P/5$ 使剪力回到零：

$$-\frac{2P}{5}+\frac{2P}{5}=0$$

剪力圖數值整理如下：

位置	剪力
$A^+$	$\dfrac{3P}{5}$
$B^-$	$\dfrac{3P}{5}$
$B^+$	$-\dfrac{2P}{5}$
$C^-$	$-\dfrac{2P}{5}$
$C$ 後	$0$

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四、彎矩圖

採用正彎矩為下凹（sagging）彎矩。

核心觀念

本題考查：

1. 曲桿端部集中力所造成的固定端反力與反力矩。
2. 圓形斷面的：

• 彎曲正應力：$\sigma=\dfrac{Mc}{I}$
• 扭轉剪應力：$\tau=\dfrac{Tc}{I_p}$
• 橫向剪力所造成的剪應力：$\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$

3. 斷面 $a-a$ 的應力方向判斷。

因 $r\ll R$，可將斷面 $a-a$ 視為一般直桿圓形斷面，忽略曲率對應力分布的影響。

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解題方法

取固定端 $A$ 為原點，令：

• $x$ 軸沿桿件在 $A$ 點的切線方向；
• $y$ 軸位於曲桿平面內；
• $z$ 軸垂直曲桿平面；
• $C$ 點受垂直向下集中力 $P$。

由圖形幾何關係，$C$ 相對於 $A$ 的位置向量為

$$\vec r_{AC}=R\mathbf{i}-R\mathbf{j}$$

外力為

$$\vec P=-P\mathbf{k}$$

因此集中力對 $A$ 的力矩為

$$\vec M_P =\vec r_{AC}\times\vec P =(R\mathbf{i}-R\mathbf{j})\times(-P\mathbf{k}) =PR\mathbf{i}+PR\mathbf{j}$$

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（一）斷面 $a-a$ 所承受的反力及反力矩

1. 反力

整體平衡：

$$\sum F_z=0$$

故固定端反力為

$$\boxed{\vec R_A=P\mathbf{k}}$$

也就是反力大小為 $P$，方向鉛直向上。

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2. 反力矩

由力矩平衡：

$$\vec M_A+\vec M_P=0$$

所以

$$\vec M_A =-PR\mathbf{i}-PR\mathbf{j}$$

因此：

• 繞 $x$ 軸的扭轉反力矩：

$$\boxed{T=PR}$$

• 繞 $y$ 軸的彎曲反力矩：

$$\boxed{M_y=PR}$$

方向分別為繞 $x$ 軸負向及繞 $y$ 軸負向。

故斷面 $a-a$ 的內力結果為：

$$\boxed{V_z=P,\qquad T=PR,\qquad M_y=PR}$$

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（二）$D$ 點與 $E$ 點的應力

圓形實心斷面性質為

$$I=\frac{\pi r^4}{4},\qquad I_p=\frac{\pi r^4}{2}$$

圖中：

• $D$ 為圓形斷面的上表面，座標可取為 $z=r$；
• $E$ 為腰部側邊，位於中性軸上，座標可取為 $y=-r,\ z=0$。

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1. $D$ 點應力

（1）彎曲正應力

$D$ 點距離中性軸為 $r$，由繞 $y$ 軸的彎矩造成正應力：

$$\sigma_D=\frac{M_y r}{I}$$

代入 $M_y=PR$：

$$\sigma_D =\frac{PR\cdot r}{\pi r^4/4} =\boxed{\frac{4PR}{\pi r^3}}$$

依圖示受力方向，$D$ 點為拉應力，作用於斷面法向的 $x$ 方向。

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（2）扭轉剪應力

由扭矩 $T=PR$：

$$\tau_{D,T} =\frac{Tr}{I_p}$$

因此

$$\tau_{D,T} =\frac{PR\cdot r}{\pi r^4/2} =\boxed{\frac{2PR}{\pi r^3}}$$

在 $D$ 點，扭轉剪應力沿圓周切線方向，依圖示為 $+y$ 方向。

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（3）$D$ 點應力狀態

$D$ 點的橫向剪應力在圓形斷面的最外緣為零，因此 $D$ 點主要有：

$$\boxed{\sigma_D=\frac{4PR}{\pi r^3}\quad\text{拉應力}}$$ $$\boxed{\tau_{D,T}=\frac{2PR}{\pi r^3}\quad\text{沿 }+y\text{ 方向}}$$

若以斷面上的合成牽引應力大小表示：

$$|\mathbf t_D| =\sqrt{\sigma_D^2+\tau_{D,T}^2}$$