113 原住民特考四等 機械工程 機械設計概要 考古題詳解

113 年・原住民特考・四等・機械工程
試題代碼 機械設計概要

第 一 題25 分

下圖為一簡支樑，在 x=0.3Lx=0.3L 的位置承受一集中外力 PP。圖中所有距離單位為 m，力量單位為 N。試求：

(1) 所有反作用力。 (2) 剪力在所有位置的方程式。 (3) 力矩在所有位置的方程式。 (4) 最大力矩的位置及大小。

作答時請標示正確單位。

（此題原卷圖形文字擷取不全，請參考原卷）

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核心觀念

本題考查簡支樑的：

  • 支承反力計算
  • 剪力圖與剪力函數
  • 彎矩圖與彎矩函數
  • 最大彎矩位置判定

設左支承為 AA（x=0x=0），右支承為 BB（x=Lx=L），集中力 PP 作用於 x=0.3Lx=0.3L，因此：

a=0.3L,b=0.7La=0.3L,\qquad b=0.7L

假設 PP 為向下集中力。

解題方法

(1) 所有反作用力

左支承 AA 為鉸支承，具有水平反力 AxA_x 與垂直反力 AyA_y；右支承 BB 為滾輪支承，具有垂直反力 ByB_y。

由水平方向力平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Ax=0A_x=0

取 AA 點力矩平衡：

∑MA=0\sum M_A=0 ByL−P(0.3L)=0B_yL-P(0.3L)=0

因此：

By=0.3PB_y=0.3P

由垂直方向力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+By−P=0A_y+B_y-P=0 Ay=0.7PA_y=0.7P

所以所有反作用力為：

Ax=0\boxed{A_x=0} Ay=0.7P N，向上\boxed{A_y=0.7P\ \text{N，向上}} By=0.3P N，向上\boxed{B_y=0.3P\ \text{N，向上}}

(2) 剪力在所有位置的方程式

採用「左截面向上剪力為正」的符號 convention。

區間一：0<x<0.3L0<x<0.3L

截面左側只有 AyA_y：

V(x)=AyV(x)=A_y

因此：

V(x)=0.7P N,0<x<0.3L\boxed{V(x)=0.7P\ \text{N}},\qquad 0<x<0.3L

集中力位置：x=0.3Lx=0.3L

剪力受到向下集中力 PP 的影響，發生大小為 PP 的向下跳躍：

V(0.3L+)=0.7P−P=−0.3PV(0.3L^+)=0.7P-P=-0.3P

區間二：0.3L<x<L0.3L<x<L

截面左側包含 AyA_y 與集中力 PP：

V(x)=Ay−PV(x)=A_y-P V(x)=0.7P−PV(x)=0.7P-P

因此：

V(x)=−0.3P N,0.3L<x<L\boxed{V(x)=-0.3P\ \text{N}},\qquad 0.3L<x<L

在右支承 BB 處，受到向上的 By=0.3PB_y=0.3P，剪力回升至零。

亦可合併寫成：

V(x)={0.7P N,0<x<0.3L,−0.3P N,0.3L<x<L.\boxed{ V(x)= \begin{cases} 0.7P\ \text{N}, & 0<x<0.3L,\\[4pt] -0.3P\ \text{N}, & 0.3L<x<L. \end{cases} }

(3) 力矩在所有位置的方程式

區間一：0≤x≤0.3L0\leq x\leq0.3L

截面左側只有 AyA_y，故：

M(x)=AyxM(x)=A_yx M(x)=0.7Px N⋅m\boxed{M(x)=0.7Px\ \text{N}\cdot\text{m}}

區間二：0.3L≤x≤L0.3L\leq x\leq L

截面左側包含 AyA_y 與集中力 PP：

M(x)=Ayx−P(x−0.3L)M(x)=A_yx-P(x-0.3L)

代入 Ay=0.7PA_y=0.7P：

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第 二 題25 分

有一金屬絲纏繞的螺旋彈簧，金屬絲截面為半徑 2 mm2\ \mathrm{mm} 的圓形，彈簧半徑為 20 mm20\ \mathrm{mm}。試問彈簧受到 10 N10\ \mathrm{N} 的外力拉伸時，彈簧內的扭轉剪力為多少？（不需要計算線性剪力。）

請將單位標註清楚。

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核心觀念

螺旋彈簧受軸向拉力時，彈簧線材承受的主要內力之一為扭矩。若忽略彈簧線材截面上的線性剪力，扭轉剪應力可依圓軸扭轉公式計算：

τ=TrJ\tau=\frac{Tr}{J}

其中 TT 為線材所受扭矩、rr 為線材截面半徑，JJ 為圓形截面的極慣性矩。軸向外力 FF 作用於彈簧半徑 RR，所產生的扭矩為 T=FRT=FR。

解題方法

已知外力 F=10 NF=10\ \mathrm{N}、彈簧半徑 R=20 mmR=20\ \mathrm{mm}，因此線材內的扭矩為：

T=FR=(10 N)(20 mm)=200 N⋅mmT=FR=(10\ \mathrm{N})(20\ \mathrm{mm}) =200\ \mathrm{N\cdot mm}

線材截面半徑 r=2 mmr=2\ \mathrm{mm}，圓形截面的極慣性矩為：

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第 三 題25 分

有一壓力角為 20∘20^\circ 的螺旋齒輪，其螺旋角為 30∘30^\circ、節圓直徑為 90 mm90\ \mathrm{mm}，共計有 30 齒。試問：

(1) 橫向徑節（Transverse Diametral Pitch）。 (2) 正向徑節（Normal Diametral Pitch）。

作答時請標註單位。

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核心觀念

徑節（diametral pitch, PP）是齒數除以節圓直徑，表示每英吋節圓直徑所配置的齒數。螺旋齒輪的橫向徑節以橫向平面量測；正向徑節則以垂直於齒線的正向平面量測。題目未註明節圓直徑使用英吋，因此先由毫米換算為英吋。

解題方法

節圓直徑 d=90 mmd=90\ \mathrm{mm}，換算為英吋：

d=9025.4=3.5433 ind=\frac{90}{25.4}=3.5433\ \mathrm{in}

橫向徑節由齒數 NN 除以節圓直徑求得：

Pt=Nd=303.5433=8.4667 齒/inP_t=\frac{N}{d} =\frac{30}{3.5433} =8.4667\ \mathrm{齒/in}

螺旋齒輪的正向徑節與橫向徑節、螺旋角 β\beta 的關係為：

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第 四 題25 分

有一組軸、孔配合件，公差尺寸分別為：

（此題原卷公差尺寸資料文字擷取不全，請參考原卷）

試問最大及最小餘隙分別為多少？單位為 mm。

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核心觀念

本題考查孔、軸配合的餘隙計算。

餘隙定義為：

C=D−dC=D-d

其中：

  • DD：孔徑
  • dd：軸徑
  • 最大餘隙：最大孔徑減最小軸徑
  • 最小餘隙：最小孔徑減最大軸徑

尺寸判讀

由圖可知：

孔：

ϕ45+0.000+0.033 mm\phi 45^{+0.033}_{+0.000}\ \text{mm}

因此：

Dmax⁡=45.033 mmD_{\max}=45.033\ \text{mm} Dmin⁡=45.000 mmD_{\min}=45.000\ \text{mm}

軸：

ϕ45−0.033−0.020 mm\phi 45^{-0.020}_{-0.033}\ \text{mm}

因此：

dmax⁡=45−0.020=44.980 mmd_{\max}=45-0.020=44.980\ \text{mm} dmin⁡=45−0.033=44.967 mmd_{\min}=45-0.033=44.967\ \text{mm}

解題方法

最大餘隙發生於孔最大、軸最小時：

Cmax⁡=Dmax⁡−dmin⁡C_{\max}=D_{\max}-d_{\min} Cmax⁡=45.033−44.967=0.066 mmC_{\max}=45.033-44.967 =0.066\ \text{mm}
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