115 原住民特考四等 土木工程類科 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查「平面測量」與「大地測量」對地球形狀及測量範圍的不同假設，並判斷工程測量的通常採用方式。

一、平面測量（Plane Surveying）

平面測量係將測區視為局部平面，假設：

1. 地球曲率對測量結果的影響可以忽略。
2. 測區內各點的鉛垂線視為彼此平行。
3. 地球表面可直接展開於水平面上計算。
4. 距離、角度、面積及坐標可依平面幾何與平面三角測量處理。

因此，平面測量通常使用平面直角坐標系，適用於範圍較小、精度要求符合工程需要的測區。

須注意，平面測量並非只限於地形完全平坦的地區，而是對地球曲率採取忽略或近似處理。

二、大地測量（Geodetic Surveying）

大地測量係考慮地球的實際形狀與物理特性，主要特徵如下：

1. 將地球視為旋轉橢球體，實際計算時採用適當的大地基準與參考橢球。
2. 考慮地球曲率、鉛垂線不平行、地球重力場及大範圍坐標系統等因素。
3. 測量結果須經大地基準、投影方式及坐標轉換處理。
4. 適用於國家控制測量、大範圍地形測量、精密定位及跨區域工程控制。

在大地測量中，地面實測的距離與角度通常不是直接視為平面幾何量，而須依參考橢球面及地圖投影進行計算。

平面測量與大地測量的主要差異

比較項目	平面測量	大地測量
地球形狀假設	視為平面	視為橢球體，必要時考慮重力場
地球曲率	忽略或視為可忽略	必須考慮
鉛垂線	視為彼此平行	不完全平行，會因地球曲率而會聚
計算幾何	平面幾何、平面三角	橢球幾何、大地線及投影計算
適用範圍	小區域、局部工程	大範圍、國家級或精密控制
坐標系統	局部平面直角坐標	國家坐標、大地坐標及投影坐標
主要目的	地形、放樣、界址及一般工程作業	建立高精度控制網及統一坐標基準

解題方法

本題可依「假設—適用範圍—工程選擇」三個層次作答：

1. 先說明平面測量將地球局部視為平面，大地測量則考慮地球曲率與橢球形狀。
2. 再比較兩者在鉛垂線、計算方法、坐標系統及適用範圍上的差異。
3. 最後說明一般工程測量多採用平面測量，理由在於工程測區通常有限，地球曲率所造成的影響相對於工程容許誤差甚小，且平面計算較簡單、作業效率較高。

地球曲率影響的說明

若將地球半徑取為 $R$，測站至目標點的水平距離為 $s$，則地球曲率造成的高程差近似為：

$$c \approx \frac{s^2}{2R}$$

取地球平均半徑 $R \approx 6.37 \times 10^6\text{ m}$，當 $s=1,000\text{ m}$ 時：

核心觀念

本題考查垂直角測高法。儀器架設於 $A$ 點，觀測 $B$ 點覘標中心，其高程關係為

$$H_B=H_A+i+D\tan\alpha-v$$

其中：

• $H_A$：$A$ 點高程
• $i$：儀器高
• $D$：$A$、$B$ 間水平距離
• $\alpha$：由水平線量至覘標的垂直角
• $v$：覘標高
• $H_B$：$B$ 點高程

俯角為負值，因此 $\tan\alpha<0$，表示覘標中心低於儀器視準軸。

解題方法

先求儀器視準軸的高程：

$$H_I=H_A+i$$

代入題目數據：

$$H_I=125.40+1.55=126.95\text{ m}$$

垂直角為

$$\alpha=-3^\circ10'30''$$

換算為十進制度：

$$\alpha=-\left(3+\frac{10}{60}+\frac{30}{3600}\right)^\circ =-3.175^\circ$$

由水平距離與垂直角，可求儀器視準軸至覘標中心的高程差：

$$\Delta h=D\tan\alpha$$

因此：

第 3 題詳解

（一）視差（Parallax）

核心觀念

視差是指水準尺影像與望遠鏡十字絲平面不在同一平面上，導致觀測者眼睛稍微移動時，水準尺影像相對於十字絲產生相對位移的現象。

理想狀態如下：

$$\text{水準尺影像}、\text{十字絲}、\text{觀測者眼睛}$$

應形成正確的共軛成像關係，使十字絲與水準尺影像位於同一焦平面。

視差的產生原因

水準儀望遠鏡主要有物鏡與目鏡兩組調焦功能：

1. 目鏡焦距未調整妥當：十字絲本身未清晰成像。
2. 物鏡焦距未調整妥當：水準尺影像未清晰成像。
3. 十字絲平面與水準尺影像平面不重合。

此時，觀測者眼睛上下或左右移動，水準尺影像會相對於十字絲移動，因此在十字絲橫絲上的讀數會隨觀測位置改變，造成讀數錯誤。

消除視差的方法

觀測前應依下列順序調整：

1. 調整目鏡

將望遠鏡對向明亮、均勻的背景，旋轉目鏡調焦螺旋，使十字絲清晰、黑而明確。

2. 照準水準尺並調整物鏡

將望遠鏡對準水準尺，旋轉物鏡調焦螺旋，使水準尺刻度及尺面影像清晰。

3. 檢查是否仍有視差

眼睛在目鏡後方作小幅度上下、左右移動。若水準尺影像相對於十字絲沒有相對移動，即表示視差已消除。

若仍有相對移動，應重新調整物鏡焦距，直到十字絲與水準尺影像完全重合於同一焦平面。

解題技巧與常見陷阱

• 「影像不清楚」不一定就是視差；視差的判定重點是眼睛移動時，尺影像是否相對於十字絲移動。
• 只調整物鏡而未先調整目鏡，不能確保視差消除。
• 視差會使讀數不穩定，且每位觀測者的眼位不同時，可能讀得不同。
• 快速判斷口訣為：先清十字絲，再清水準尺，最後移眼檢查不相對移動。

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（二）前後視距等長原則

核心觀念

水準測量中，前視（FS）與後視（BS）是同一測站上對前、後兩根水準尺所作的觀測。

「前後視距等長」是指：

$$d_{\mathrm{BS}} \approx d_{\mathrm{FS}}$$

其中：

• $d_{\mathrm{BS}}$：後視距離
• $d_{\mathrm{FS}}$：前視距離

在每一測站，應使儀器至後視尺與前視尺的距離盡量相等，使兩次讀數所受的距離性誤差相同，並在高程差計算中相互抵消。

水準測量的高程差為：

$$\Delta H = BS - FS$$

若後視與前視距離相等，兩個讀數中的共同誤差可在相減時消除。

可消除或減輕的誤差

1. 視準軸誤差，也稱準線誤差

若水準儀的視準軸未完全水平，視線會相對於真正水平線形成微小角度。設視準軸誤差角為 $\varepsilon$，則距離為 $d$ 時所產生的讀數誤差約為：

$$e = d\tan\varepsilon \approx d\varepsilon$$

後視與前視的誤差分別為：

核心觀念

本題考查測量誤差的分類、性質，以及不同誤差所適用的處理方法。測量結果可表示為

$$觀測值 = 真值 + 誤差$$

其中，誤差依其產生原因與表現方式，主要分為系統誤差與偶然誤差。二者最大的差異在於：系統誤差具有一定規律，可經由校正或觀測設計予以消除；偶然誤差則具有不規則性，通常只能藉由增加觀測次數及統計方法降低其影響。

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一、系統誤差（Systematic Error）

1. 定義與特性

系統誤差是由固定或具有規律性的原因所造成，其誤差的大小與正負通常具有一定關係，可能為固定值，也可能隨距離、時間、溫度、位置或觀測條件而有規律地變化。

其主要特性如下：

1. 具有規律性：誤差不會完全任意變動。
2. 通常具有固定方向或可預測關係：例如始終偏大，或隨距離增加而增加。
3. 可經由檢定、校正、計算改正數或適當觀測程序予以消除或改正。
4. 單純增加觀測次數，通常不能消除系統誤差。若每次觀測均帶有相同偏差，取平均後仍會保留該偏差。

系統誤差可用函數表示為

$$e_s=f(x)$$

其中 $x$ 可代表距離、溫度、時間、垂直角或其他影響因素。

2. 測量中的常見例子

（1）鋼尺長度誤差

若鋼尺名義長度為 $l_0$，實際長度為 $l$，則每一尺的長度誤差為

$$\Delta l=l-l_0$$

量測距離為 $L$，使用尺長為 $l_0$ 時，尺長改正可表示為

$$C_l=\frac{\Delta l}{l_0}L$$

若實際尺長較長，則以名義長度量得的距離偏小，改正數為正；若實際尺長較短，則改正數為負。

（2）溫度改正

鋼尺的實際長度會隨溫度變化。若量測時溫度為 $T$，標準溫度為 $T_0$，鋼尺線膨脹係數為 $\alpha$，則溫度改正為

$$C_T=\alpha(T-T_0)L$$

（3）拉力改正

實際拉力與標準拉力不同時，鋼尺會產生伸長或縮短。若鋼尺截面積為 $A$、彈性模數為 $E$、實際拉力為 $P$、標準拉力為 $P_0$，則拉力改正為

$$C_P=\frac{(P-P_0)L}{AE}$$

（4）垂曲改正

鋼尺因自重而下垂時，尺的兩端距離小於尺的實際長度，因此量得距離通常偏大，應施加負的垂曲改正。垂曲改正的大小與尺長、單位長度重量及張力有關。

（5）儀器或視準軸誤差

例如水準儀視準軸不平行於水準軸，會使前後視讀數受到有規律的影響；經緯儀或全站儀的軸系誤差，也可能造成方向角或垂直角的系統性偏差。

（6）地球曲率與大氣折光

水準測量中，地球曲率使遠方目標相對於理想水平線降低，大氣折光則會產生部分抵銷作用。其改正量會隨視距而有規律地變化，屬於可計算的系統誤差。

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二、偶然誤差（Random Error）

1. 定義與特性

偶然誤差是由許多細小且無法完全控制的因素共同造成，其大小與正負具有不規則性，無法由單次觀測預先確定。

其主要特性如下：

1. 正負號不固定，有時偏大，有時偏小。
2. 大小不固定，但通常小誤差出現的機率較大，大誤差出現的機率較小。
3. 在觀測條件相同且誤差互相獨立時，正負誤差有相互抵銷的趨勢。
4. 不能藉由單一觀測完全消除，只能降低其影響。
5. 當觀測次數增加時，算術平均值通常會更接近真值。

若有 $n$ 次觀測值 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，其算術平均值為

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$

在偶然誤差彼此獨立且平均值為零的理想條件下，平均值的標準誤為

$$m_{\bar{x}}=\frac{m}{\sqrt{n}}$$

其中 $m$ 為單次觀測的標準誤。此式表示觀測次數增加為原來的 $4$ 倍，平均值的標準誤可降低為原來的 $\frac{1}{2}$。

2. 測量中的常見例子

例如：

• 讀尺時估讀最後一位數字的差異；
• 水準氣泡微小晃動造成的讀數差異；
• 視線、目標影像及大氣擾動造成的細微變化；
• 人員操作、瞄準及按鍵時機造成的微小差異；
• 儀器顯示值的微小波動。

這些誤差通常沒有固定方向，難以針對單次觀測直接計算改正數。

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解題方法：依誤差是否具有規律性判斷

本題可採用「先判斷性質，再決定處理方式」的切入方法：

1. 誤差若具有固定方向、固定大小，或可表示為距離、溫度、時間等因素的函數，屬於系統誤差。
2. 誤差若正負不定、大小不規則，且由許多微小因素共同形成，屬於偶然誤差。
3. 系統誤差的處理重點是「找出原因並改正」。
4. 偶然誤差的處理重點是「增加觀測並作統計平差」。

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三、系統誤差的減輕或消除方法