108 年司法特考三等檢察事務官營繕工程組考古題與詳解

Question 1

如圖一為貫入土層之樁的力平衡示意圖。考慮此樁自樁頂緩慢施壓（圖一(a)），由地表使樁逐漸完全貫入土層中（圖一(b)）。貫入過程中，忽略任何設備造成的衝擊、振動或動力效應，亦即在特定貫入深度 $y$ 時，樁頂 $P$ 外力與土壤總阻力滿足靜力平衡關係。

已知選用的樁長度 $L$ 為 $4\ \mathrm{m}$ ，樁斷面在各深度的土壤摩擦阻力為定值 $f=0.5\ \mathrm{kN/m}$ ，樁斷面剛度 $EA=8\ \mathrm{MN}$ 。

(一) 假設貫入過程沒有挫屈情形，求出樁完全埋入土壤時長度縮短的量。（10 分）

(二) 本小題考慮樁貫入過程可能發生挫屈情形。假設樁底埋入端可視為固端（fixed），樁頂加壓設施對樁頂端之支撐條件可視為無束制（free）。已知此 $4\ \mathrm{m}$ 長度之樁的簡支條件尤拉挫屈載重（Euler Buckling Load）是 $1\ \mathrm{kN}$ ，請計算分析此 $4\ \mathrm{m}$ 樁於貫入過程中是否發生挫屈。

如研判會發生挫屈，說明挫屈發生時的貫入深度；如研判此 $4\ \mathrm{m}$ 樁不會發生挫屈，在相同樁斷面與性質的條件下，說明貫入時不發生挫屈所可選用的最大樁長是多少？（15 分）

圖一。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查樁身軸力分布與軸向變形，以及不同端部支承條件下的尤拉挫屈載重。

樁埋入深度為 $y$ 時，土壤沿樁身提供均勻摩擦阻力 $f$ ，總阻力為 $fy$ 。靜力平衡時，樁頂荷重 $P=fy$ 。
樁身軸向縮短量由軸力沿長度積分求得： $\delta=\int_0^L \frac{N(x)}{EA}\,dx$
尤拉挫屈載重與有效長度有關。固定—自由柱的挫屈載重為相同柱長簡支挫屈載重的 $1/4$ 。

解題方法

（一）完全埋入時的樁身縮短量

完全埋入時 $y=L=4\ \mathrm{m}$ ，土壤總摩擦阻力與樁頂荷重為

$P=fL=(0.5)(4)=2\ \mathrm{kN}$

取樁頂向下為座標 $x$ 。在距樁頂 $x$ 處，該截面以下尚有長度 $L-x$ 的樁身，其土壤摩擦阻力合力為 $f(L-x)$ ，故軸力為

$N(x)=f(L-x)$

因此樁身縮短量為

\begin{aligned} \delta &=\int_0^L\frac{f(L-x)}{EA}\,dx\\ &=\frac{fL^2}{2EA}\\ &=\frac{(0.5)(4^2)}{2(8{,}000)}\ \mathrm{m}\\ &=0.0005\ \mathrm{m}=0.5\ \mathrm{mm} \end{aligned}

Question 2

如圖二所示混凝土試體為脆性材料。此圓柱試體直徑為 $5\ \mathrm{cm}$ 、高 $20\ \mathrm{cm}$ ，試體於兩端同時受到軸壓力 $P$ 與扭力 $T$ 作用。針對試體 $10\ \mathrm{cm}$ 高度處的表面位置（陰影示意區域），回答下列問題：

(一) 假設 $P=2\ \mathrm{kN}$ 、 $T=50\ \mathrm{N\cdot m}$ ，試求此表面陰影位置的應力狀態。（10 分）

(二) 假設 $P=0$ ，扭力 $T$ 由零持續增加直到試體破裂，試論述圓柱試體表面裂縫的走向（以 $\theta$ 表示或畫圖示意）。在此簡化假設混凝土主軸張應力達 $2\ \mathrm{MPa}$ 時便產生開裂並迅速破壞。（5 分）

(三) 承續(二)，若軸壓力 $P$ 維持在 $2\ \mathrm{kN}$ ，扭力 $T$ 由零持續增加直到試體破裂。估計圓柱試體開始破壞時之扭力大小？根據你的計算，此情形下，圓柱試體表面裂縫的走向？（10 分）

圖二。

Accepted Answer

核心觀念

圓柱受軸力與扭力時，表面微小元素同時承受軸向正應力與扭轉剪應力。混凝土視為脆性材料，依題目簡化假設，當最大主張應力達 $2\ \mathrm{MPa}$ 時即開裂。

裂縫面大致垂直於最大主張應力方向；因此，裂縫線方向與最大主應力方向相差 $90^\circ$ 。圖中的 $\theta$ 是裂縫線與 $x$ 軸的夾角。

圓截面所需公式為

A=\frac{\pi d^2}{4},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32},\qquad \sigma_y=-\frac{P}{A},\qquad |\tau_{xy}|=\frac{Tr}{J}

其中 $y$ 軸為圓柱軸向， $x$ 軸為表面切線方向；軸壓應力取負號。主應力及主方向為

\sigma_{1,2} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}

解題方法與計算

試體直徑 $d=0.05\ \mathrm{m}$ 、半徑 $r=0.025\ \mathrm{m}$ ，故

A=\frac{\pi(0.05)^2}{4} =1.9635\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

J=\frac{\pi(0.05)^4}{32} =6.136\times10^{-7}\ \mathrm{m^4}

（一） $P=2\ \mathrm{kN}$ 、 $T=50\ \mathrm{N\cdot m}$

軸向應力為

\sigma_y=-\frac{2000}{1.9635\times10^{-3}} =-1.019\ \mathrm{MPa}

圓柱表面扭轉剪應力為

|\tau_{xy}|=\frac{50(0.025)}{6.136\times10^{-7}} =2.037\ \mathrm{MPa}

表面沒有沿 $x$ 方向的直接正應力，所以 $\sigma_x=0$ 。以扭轉剪應力的正方向表示，應力張量為

[\sigma]= \begin{bmatrix} 0 & 2.037\\ 2.037 & -1.019 \end{bmatrix} \ \mathrm{MPa}

若採相反的剪應力正號慣例，非對角項符號相反；應力大小與主應力不變，主方向鏡射至另一側。

主應力為

\sigma_{1,2} =-0.509 \pm\sqrt{(0.509)^2+(2.037)^2}

\boxed{\sigma_1=1.590\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2=-2.609\ \mathrm{MPa}}

最大主張應力方向相對 $+x$ 軸約為

\theta_p =\frac12\tan^{-1}\left(\frac{2(2.037)}{1.019}\right) =37.98^\circ

（二） $P=0$ ，扭力逐漸增加至破裂

此時表面為純剪應力狀態，主應力為

\sigma_1=\tau,\qquad \sigma_2=-\tau

Question 3

如圖三所示細長圓柱桿為銅製，其材料性質為 $E=100\ \mathrm{GPa}$ 、 $\alpha=17\times10^{-6}\ \mathrm{per\ ^\circ C}$ 。此圓柱桿直徑 $5\ \mathrm{cm}$ 、長度為 $1\ \mathrm{m}$ ，左端 $A$ 點固接於牆，右端 $B$ 點與牆間縫隙寬度原本為 $2\ \mathrm{mm}$ 。假設此桿開始均勻增溫 $\Delta T$ ：

(一) 試求 $B$ 點與牆間縫隙剛好閉合時之增溫 $\Delta T$ 大小。（5 分）

(二) 承續(一)，已知銅降伏應力 $\sigma_y=350\ \mathrm{MPa}$ ，銅桿閉合後繼續增溫， $B$ 點接觸牆面處可視為銷接（Pinned）。試論述此銅桿是否發生彈性挫屈？發生挫屈或是初始降伏時之 $\Delta T$ 為何？（20 分）

圖三。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查溫度變化造成的軸向伸長、間隙閉合後的熱壓應力，以及固定—銷接柱的 Euler 彈性挫屈。

間隙尚未閉合時，桿可自由伸長，沒有軸向壓力。間隙閉合後，桿的熱膨脹受到限制，額外升溫會造成軸向壓力：

\delta_T=\alpha L\Delta T,\qquad P=EA\alpha\Delta T_{\text{閉合後}}

固定—銷接柱的有效長度係數取 $K=0.699$ ，Euler 挫屈載重為：

P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}

初始降伏載重為 $P_y=\sigma_y A$ 。比較 $P_{\mathrm{cr}}$ 與 $P_y$ ，即可判斷先發生挫屈或降伏。

解題方法與計算

（一）間隙剛好閉合時的增溫

間隙寬度為 $g=2\ \mathrm{mm}=0.002\ \mathrm{m}$ 。閉合時桿的熱伸長等於間隙：

\alpha L\Delta T_{\mathrm{閉合}} =g

\Delta T_{\mathrm{閉合}} =\frac{0.002}{(17\times10^{-6})(1)} =117.65^\circ\mathrm{C}

（二）閉合後的挫屈與降伏比較

圓桿直徑 $d=0.05\ \mathrm{m}$ ，截面積與慣性矩為：

A=\frac{\pi d^2}{4} =1.9635\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}

I=\frac{\pi d^4}{64} =3.0680\times10^{-7}\ \mathrm{m^4}

左端固定、右端銷接，取 $K=0.699$ ，則：

P_{\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2(100\times10^9)(3.0680\times10^{-7})} {(0.699\times1)^2} \approx 619.7\ \mathrm{kN}

初始降伏載重為：

Question 4

如圖四所示靜定桁架結構，車行橋面位於桁架 $AG$ 線上：

(一) 試求桿 $BK$ 之桿件力在單一集中移動載重作用下之影響線。（10 分）

(二) 當圖四(b)所示移動載重組合由左向右通過桁架橋面 $AG$ 時，試求桿 $BK$ 在該移動載重組合通過時造成之最大桿力。（15 分）

圖四(a)、(b)。

Accepted Answer

核心觀念

本題考「桁架桿力影響線」及「移動荷重組合」。桁架各節點承受荷重時，可用支承反力與截面法求指定桿件力；荷重位於兩個橋面節點之間時，桿力影響線依節點影響線值作直線內插。

以下以桿 $BK$ 拉力為正、壓力為負。橋面節點座標為 $A,L,K,J,I,H,G$ ，相鄰間距 $3\,\text{m}$ ，總跨長 $18\,\text{m}$ 。

(一) 桿 $BK$ 的影響線

取左側截面，使截面切過 $BC$ 、 $BK$ 、 $LK$ 三桿。將 $BC$ 與 $LK$ 延長線的交點取為力矩中心 $P$ ，即可消去 $BC$ 、 $LK$ 兩桿的力。依圖示幾何， $P=(-6,0)$ ，而 $BK$ 的力矩臂為 $6\sqrt{2}\,\text{m}$ 。

單位向下荷重作用於橋面位置 $x$ 時，支承反力為

R_A=\frac{18-x}{18}.

荷重作用在 $L$ 節點時，左側自由體還包含該單位荷重。對 $P$ 取力矩：

6R_A-9(1)-6\sqrt{2}F_{BK}=0.

代入 $x=3$ 、 $R_A=5/6$ ，得

F_{BK}=-\frac{2}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.

故 $L$ 點影響線值為 $-\sqrt{2}/3$ ，表示壓力。單位荷重作用於 $A$ 時，支承反力與荷重互相平衡， $F_{BK}=0$ 。

荷重作用於 $K$ 或其右側時，左側自由體不含該荷重。對 $P$ 取力矩：

6R_A-6\sqrt{2}F_{BK}=0, \qquad F_{BK}=\frac{R_A}{\sqrt{2}}.

依此求得各節點影響線值：

節點	$A$	$L$	$K$	$J$	$I$	$H$	$G$

108 司法特考三等檢察事務官營繕工程組結構分析（包括材料力學與結構學）考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一）完全埋入時的樁身縮短量

第二題25 分

核心觀念

解題方法與計算

（一） $P=2\ \mathrm{kN}$ 、 $T=50\ \mathrm{N\cdot m}$

（二） $P=0$ ，扭力逐漸增加至破裂

第三題25 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）間隙剛好閉合時的增溫

（二）閉合後的挫屈與降伏比較

第四題25 分

核心觀念

(一) 桿 $BK$ 的影響線

其他考古題

檢察事務官營繕工程組《結構分析（包括材料力學與結構學）》其他年度

108 年司法特考三等・其他類科的《結構分析（包括材料力學與結構學）》

108 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）完全埋入時的樁身縮短量

第 二 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）P=2 kNP=2\ \mathrm{kN}P=2 kN、T=50 N⋅mT=50\ \mathrm{N\cdot m}T=50 N⋅m

（二）P=0P=0P=0，扭力逐漸增加至破裂

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

（一）間隙剛好閉合時的增溫

（二）閉合後的挫屈與降伏比較

第 四 題25 分

核心觀念

(一) 桿 BKBKBK 的影響線

其他考古題

檢察事務官營繕工程組《結構分析（包括材料力學與結構學）》其他年度

108 年司法特考三等・其他類科的《結構分析（包括材料力學與結構學）》

108 司法特考三等檢察事務官營繕工程組結構分析（包括材料力學與結構學）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

（一） $P=2\ \mathrm{kN}$ 、 $T=50\ \mathrm{N\cdot m}$

（二） $P=0$ ，扭力逐漸增加至破裂

第三題25 分

第四題25 分

(一) 桿 $BK$ 的影響線