110 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

110 年・司法特考・三等・檢察事務官營繕工程組
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

有一桁架，CC 點為滾支撐，EE 點為固定支撐，AA 點受一集中力 PP。其中 ADAD 桿及 BCBC 桿僅能承受拉力而無法承受壓力，故此兩桿件僅有一桿件能受力。除此二桿件外，其餘各桿件均能承受拉力及壓力。

如所有桿件之楊氏係數均為 EE，慣性矩均為 II，任一桿件挫屈即視為整體桁架之挫屈，試求整體桁架之挫屈力 PcrP_{cr}。

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核心觀念

本題關鍵在於：

  1. 先以整體平衡求支承反力。
  2. 再以節點法求各桿件軸力。
  3. 桁架桿件只有在「受壓」時才可能發生 Euler 挫屈；受拉桿件不會因軸力發生挫屈。
  4. ADAD、BCBC 為只能受拉的桿件，因此不得出現壓力。

桿件挫屈公式為

Pcr=π2EI(KL)2P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}

但本題若所有桿件均未受壓，便不存在有限的挫屈力。

解題方法

依圖示，PP 作用方向向左。支承配置為：

  • CC 點滾支承：僅有鉛直反力 CyC_y；
  • EE 點固定支承：有水平反力 ExE_x 與鉛直反力 EyE_y。

1. 求支承反力

對 EE 點取矩：

∑ME=0\sum M_E=0

外力 PP 的作用線通過 AA、DD、EE 所在的水平線，因此對 EE 點力矩為零。CyC_y 的力矩為

Cy(5L2)=0C_y\left(\frac{5L}{2}\right)=0

故

Cy=0C_y=0

再由鉛直方向平衡：

Ey+Cy=0⇒Ey=0E_y+C_y=0 \quad\Rightarrow\quad E_y=0

由水平方向平衡：

Ex−P=0⇒Ex=PE_x-P=0 \quad\Rightarrow\quad E_x=P

2. 以節點法求桿件軸力

節點 CC

因為 Cy=0C_y=0，且節點 CC 沒有外力作用，故連接於 CC 的桿件軸力均為零：

NBC=NAC=NCD=0N_{BC}=N_{AC}=N_{CD}=0

節點 BB

由於 BC=0BC=0，且節點 BB 無外力作用，因此

NAB=NBD=0N_{AB}=N_{BD}=0

節點 AA

節點 AA 僅剩外力 PP 與桿件 ADAD。因此

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第 二 題25 分

有一薄管壁箱型懸臂梁於自由端受一個平行於 xx 軸之集中力 PP，及兩個平行於 yy 軸且作用方向相反之集中力 QQ，如下圖所示。

如懸臂梁最大容許正向應力 σx\sigma_x 之絕對值不能超過 27.3 MPa27.3\ \mathrm{MPa}，最大容許剪應力 τxz\tau_{xz} 或 τxy\tau_{xy} 之絕對值不能超過 11.1 MPa11.1\ \mathrm{MPa}。試繪出此梁於固定端橫斷面（yzyz 面）之剪力流（含方向），請指出此梁於固定端承受絕對值最大正向應力之處（註明壓力或張力），並求 PP 及 QQ 之最大值為何？

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核心觀念

本題考查薄壁閉口箱型懸臂梁之：

  • 偏心軸力所造成的軸向正應力；
  • 兩個反向 QQ 力所造成的扭矩與薄壁閉口截面剪力流；
  • 薄壁閉口截面的剪力流基本公式；
  • 正應力與剪應力容許值控制下之荷載設計。

截面尺寸為外包尺寸 100 mm×150 mm100\ \mathrm{mm}\times150\ \mathrm{mm}，壁厚 t=6 mmt=6\ \mathrm{mm}。因此中線尺寸為

bm=100−6=94 mm,hm=150−6=144 mm.b_m=100-6=94\ \mathrm{mm}, \qquad h_m=150-6=144\ \mathrm{mm}.

薄壁矩形閉口截面之中線所包圍面積為

Am=bmhm=94(144)=13536 mm2.A_m=b_mh_m =94(144) =13536\ \mathrm{mm^2}.

一、PP 所造成的正向應力

PP 為平行於梁軸 xx 之集中力，且作用線位於截面上緣附近。依圖示，PP 的作用線距截面形心上方

ey=75−6=69 mm.e_y=75-6=69\ \mathrm{mm}.

因此 PP 同時造成：

  1. 軸力 PP；
  2. 繞 zz 軸之彎矩
Mz=Pey=69P.M_z=Pe_y=69P.

截面對 zz 軸之慣性矩為

Iz=100(150)3−88(138)312=51.72×106 mm4.I_z= \frac{100(150)^3-88(138)^3}{12} =51.72\times10^6\ \mathrm{mm^4}.

截面最外緣之 yy 座標為

cy=75 mm.c_y=75\ \mathrm{mm}.

故固定端截面之軸向正應力為

σx=PA+MzyIz.\sigma_x = \frac{P}{A} + \frac{M_z y}{I_z}.

其中外包截面面積為

A=100(150)−88(138)=8264 mm2.A=100(150)-88(138) =8264\ \mathrm{mm^2}.

截面上緣與下緣之正應力絕對值最大，且由偏心軸力造成的彎曲效應與直接軸力疊加。最大壓應力位於上緣，故

∣σx,max⁡∣=P(18264+69(75)51.72×106).|\sigma_{x,\max}| = P\left( \frac{1}{8264} + \frac{69(75)}{51.72\times10^6} \right).

計算得

∣σx,max⁡∣=0.0002196P(MPa),|\sigma_{x,\max}|=0.0002196P \quad(\mathrm{MPa}),

因此由正應力限制：

0.0002196P≤27.3,0.0002196P\le27.3, P≤124300 N≈124.3 kN.P\le124300\ \mathrm{N} \approx124.3\ \mathrm{kN}.

故正應力控制之 PP 最大值為

Pmax⁡=124.3 kN.P_{\max}=124.3\ \mathrm{kN}.

最大正向應力發生於截面上緣，性質為壓應力。

二、QQ 所造成的扭矩

兩個方向相反且平行於 yy 軸之 QQ 力，形成繞梁軸 xx 的扭矩。兩力之作用線間距為截面外寬扣除兩側壁厚：

d=100−6=94 mm.d=100-6=94\ \mathrm{mm}.

因此扭矩為

T=Qd=94Q.T=Qd=94Q.

三、扭矩造成的剪力流

薄壁單室閉口截面在純扭矩作用下，剪力流為常數：

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第 三 題25 分

有一桁架如下圖左所示，AA 點與 CC 點為鉸支撐。此桁架之位移自由度向量為

{D}={u1,u2,u3,u4,u5,u6}T\{D\}=\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\}^{T}

如下圖右所示。假設所有桿件之楊氏係數均為 EE，橫斷面面積均為 AA，在 BB 點受一集中力 PP。

請用結構矩陣法，求整體結構之勁度矩陣 [K]6×6[K]_{6\times6}、BB 點之水平及垂直位移（註明位移方向）、AA 點與 CC 點之反力（註明作用方向）。

提示：

[k]=EAL[C2CS−C2−CSCSS2−CS−S2−C2−CSC2CS−CS−S2CSS2],C=cos⁡θ,S=sin⁡θ[k]=\frac{EA}{L} \begin{bmatrix} C^2 & CS & -C^2 & -CS\\ CS & S^2 & -CS & -S^2\\ -C^2 & -CS & C^2 & CS\\ -CS & -S^2 & CS & S^2 \end{bmatrix}, \qquad C=\cos\theta,\quad S=\sin\theta
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核心觀念

本題考查二維桁架的結構矩陣法：

  1. 依各桿件方向建立桿件勁度矩陣。
  2. 將各桿件勁度矩陣依自由度編號組合成整體勁度矩陣。
  3. 利用鉸支撐之邊界條件消去受拘束自由度。
  4. 解出 BB 點位移，再由 {F}=[K]{D}\{F\}=[K]\{D\} 求支承反力。

令座標為

A(0,0),B(0,L),C(L,L).A(0,0),\qquad B(0,L),\qquad C(L,L).

自由度順序為

{D}={u1,u2,u3,u4,u5,u6}T,\{D\}=\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\}^{T},

其中 u1,u3,u5u_1,u_3,u_5 為水平向右，u2,u4,u6u_2,u_4,u_6 為垂直向上。

各桿件勁度矩陣

令

α=EAL,β=EA22L.\alpha=\frac{EA}{L},\qquad \beta=\frac{EA}{2\sqrt{2}L}.

1. 桿件 ABAB

ABAB 為鉛直桿，長度為 LL，故

C=0,S=1.C=0,\qquad S=1.

其局部勁度矩陣對應自由度 {u1,u2,u3,u4}\{u_1,u_2,u_3,u_4\}：

[k]AB=α[0000010−100000−101].[k]_{AB} = \alpha \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&-1&0&1 \end{bmatrix}.

2. 桿件 BCBC

BCBC 為水平桿，長度為 LL，故

C=1,S=0.C=1,\qquad S=0.

其對應自由度 {u3,u4,u5,u6}\{u_3,u_4,u_5,u_6\}：

[k]BC=α[10−100000−10100000].[k]_{BC} = \alpha \begin{bmatrix} 1&0&-1&0\\ 0&0&0&0\\ -1&0&1&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.

3. 桿件 ACAC

ACAC 長度為

LAC=L2+L2=2L.L_{AC}=\sqrt{L^2+L^2}=\sqrt{2}L.

其方向角為 45∘45^\circ，因此

C=S=12.C=S=\frac{1}{\sqrt{2}}.

故

EALACC2=EA2L⋅12=EA22L=β.\frac{EA}{L_{AC}}C^2 = \frac{EA}{\sqrt{2}L}\cdot\frac12 = \frac{EA}{2\sqrt{2}L} =\beta.

對應自由度為 {u1,u2,u5,u6}\{u_1,u_2,u_5,u_6\}，所以

[k]AC=β[11−1−111−1−1−1−111−1−111].[k]_{AC} = \beta \begin{bmatrix} 1&1&-1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ -1&-1&1&1\\ -1&-1&1&1 \end{bmatrix}.

整體勁度矩陣

依照自由度順序 {u1,u2,u3,u4,u5,u6}\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6\} 組合三個桿件矩陣，得

[K]6×6=[ββ00−β−ββα+β0−α−β−β00α0−α00−α0α00−β−β−α0α+ββ−β−β00ββ].[K]_{6\times6} = \begin{bmatrix} \beta&\beta&0&0&-\beta&-\beta\\ \beta&\alpha+\beta&0&-\alpha&-\beta&-\beta\\ 0&0&\alpha&0&-\alpha&0\\ 0&-\alpha&0&\alpha&0&0\\ -\beta&-\beta&-\alpha&0&\alpha+\beta&\beta\\ -\beta&-\beta&0&0&\beta&\beta \end{bmatrix}.

亦可將 α=EA/L\alpha=EA/L 提出，寫成

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第 四 題25 分

有一 ABCABC 連續梁，BB 點為鉸支撐，AA 點及 CC 點各有一位移性彈簧支撐。假設梁之彎矩勁度為 EIEI，彈簧係數

k=EIL3k=\frac{EI}{L^3}

AA 點及 CC 點各受一集中力 PP，試求 BB 點之反力及作用方向、BB 點之彎矩（註明正值或負值）、AA 點及 CC 點彈簧所受之力（註明壓力或張力）、AA 點及 CC 點之位移及位移方向。

提示：

v(x)=−Px26EI(3a−x),0≤x≤av(x)=-\frac{Px^2}{6EI}(3a-x),\qquad 0\leq x\leq a

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核心觀念

本題考查：

  1. 對稱結構與對稱荷載的應用。
  2. 連續梁支承反力與支承彎矩之判定。
  3. 彈簧支承的力—位移關係。
  4. 懸臂梁端點集中力所造成的撓度。
  5. 彎矩正負號及彈簧受壓、受拉的判斷。

以下採用一般結構分析慣例：

  • AB=BC=LAB=BC=L。
  • A、CA、C 點荷載均為鉛直向下 PP。
  • 撓度向上為正、向下為負。
  • 彎矩以「下凹、拉下緣」為正，因此上拱、拉上緣的支承負彎矩為負。

由於結構、荷載及彈簧均對稱，故

RA=RC,vA=vCR_A=R_C,\qquad v_A=v_C

且 BB 點兩側轉角相反。連續梁在 BB 點轉角連續，因此

θB=0\theta_B=0

所以每一半梁均可視為以 BB 點為固定端、以 AA 或 CC 點為自由端的等效懸臂梁。

解題方法

設 AA 點及 CC 點彈簧對梁的向上作用力均為 SS。

以左半梁 ABAB 為例，AA 點的外力為：

  • 向下集中力：PP
  • 彈簧向上力：SS

故作用於梁端 AA 的合力為向下

Q=P−SQ=P-S

右半梁完全相同。

1. 求 A、CA、C 點位移

由題目提示，長度為 LL 的懸臂梁受自由端集中力 QQ 時，自由端撓度為

vA=−QL33EIv_A=-\frac{QL^3}{3EI}

代入 Q=P−SQ=P-S：

vA=−(P−S)L33EIv_A=-\frac{(P-S)L^3}{3EI}

由對稱性，

vC=vAv_C=v_A

2. 建立彈簧力—位移關係

彈簧係數為

k=EIL3k=\frac{EI}{L^3}

AA 點向下位移時，彈簧被壓縮，彈簧對梁產生向上的恢復力，因此

S=−kvAS=-kv_A

代入 vAv_A：

S=−EIL3[−(P−S)L33EI]S = -\frac{EI}{L^3} \left[ -\frac{(P-S)L^3}{3EI} \right]

整理得

S=P−S3S=\frac{P-S}{3}

因此

3S=P−S3S=P-S 4S=P4S=P S=P4\boxed{S=\frac{P}{4}}

所以

RA=RC=P4R_A=R_C=\frac{P}{4}

且兩個彈簧均受壓。

3. 求 BB 點反力

對整體梁作鉛直力平衡：

RB+RA+RC−2P=0R_B+R_A+R_C-2P=0

代入 RA=RC=P/4R_A=R_C=P/4：

RB+P4+P4−2P=0R_B+\frac{P}{4}+\frac{P}{4}-2P=0 RB=2P−P2R_B=2P-\frac{P}{2} RB=3P2\boxed{R_B=\frac{3P}{2}}

方向為鉛直向上。

4. 求 BB 點彎矩

每一半梁均為長度 LL、自由端承受合力 QQ 的懸臂梁，因此固定端 BB 的彎矩大小為

MB=QLM_B=QL

其中

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其他考古題

檢察事務官營繕工程組《結構分析（包括材料力學與結構學）》其他年度

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