109 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查鉸接構架的靜力平衡、二力構件，以及剪力與彎矩圖。斜桿 $bd$ 兩端以銷接，因此是二力構件，內力沿桿軸方向；$c$ 點為鉸接，彎矩為零。先由平衡求出各接點作用力，再依桿件受力繪製剪力圖與彎矩圖。

撓曲桿件的彎曲正應力與截面模數關係為

解題方法

令斜桿 $bd$ 的拉力為 $T$，取 $P$ 向下。由圖中尺寸，斜桿的方向比例為水平 $4$、垂直 $3$，故其方向餘弦為 $4/5$、$3/5$。

先取水平梁 $ce$，以 $c$ 點取矩：

負號表示斜桿受壓，壓力大小為 $10P/3$。因此斜桿在 $d$ 點對梁 $ce$ 的作用力分量為水平向右 $8P/3$、垂直向上 $2P$。

對梁 $ce$ 作力平衡，可得 $c$ 點對梁的作用力為水平向左 $8P/3$、垂直向下 $P$。依作用與反作用，$c$ 點對桿 $ac$ 的作用力方向相反。斜桿在 $b$ 點對桿 $ac$ 的作用力分量則為水平向左 $8P/3$、垂直向下 $2P$。

剪力圖與彎矩圖

以下剪力以各桿件的橫向剪力表示；彎矩以支承端及鉸接點的平衡結果列出。圖中數值以 $P$ 為力的單位，彎矩單位為「力 × 公尺」。

桿件 $ac$

以 $y$ 表示從 $a$ 點沿桿件向上量的距離：

• $a$ 至 $b$（$0<y<3$）：剪力 $V=0$，彎矩為 $M=-8P$。
• $b$ 至 $c$（$3<y<6$）：剪力 $V=8P/3$，彎矩由 $-8P$ 線性增加至 $0$。

因此，$ac$ 的彎矩絕對值最大值為 $8P$，發生在固定端 $a$。

梁 $ce$

以 $x$ 表示從 $c$ 點向右量的距離：

核心觀念

本題考三個步驟：先用靜力平衡求支承反力與最大剪力，再用梁的剪應力公式 $\tau=VQ/(It)$ 求最大剪應力；最後以單位載重法求自由端 $c$ 點的垂直位移。

斷面上下對稱，形心位於斷面中央。腹板淨高為 $300\ \mathrm{mm}$，上下翼板各為 $200\times20\ \mathrm{mm}$，腹板厚度為 $20\ \mathrm{mm}$，因此斷面總高為 $340\ \mathrm{mm}$。

解題方法與計算

一、支承反力與最大剪力

以 $a$ 點為原點，向右取 $x$ 軸。由整體平衡：

$a$ 至 $b$ 間剪力為 $-13.333\ \mathrm{kN}$；$b$ 至 $c$ 間剪力為 $8\ \mathrm{kN}$。因此梁內最大剪力絕對值為

二、計算斷面二次矩與最大剪應力

以斷面中性軸為基準，翼板形心距中性軸 $160\ \mathrm{mm}$。斷面二次矩為

在中性軸處取上半部面積，第一面積矩為

中性軸位於腹板內，故公式中的 $t$ 取腹板厚度 $20\ \mathrm{mm}$：

核心觀念

本題考查平面桁架的支承反力與桿件軸力。各桿件視為兩力構件，軸力以拉力為正、壓力為負；支承反力則由整體平衡與接點平衡求得。

圖中各底部節點相鄰間距為 $5\ \mathrm{m}$，桁架高度為 $5\ \mathrm{m}$，因此斜桿與水平、鉛直方向的夾角均為 $45^\circ$，其方向分量為軸力的 $1/\sqrt{2}$。

解題方法

先設 $a$ 點水平、鉛直反力為 $A_x,A_y$，$d,f$ 點鉛直反力為 $D_y,F_y$。由整體平衡：

以 $a$ 點取矩：

所以

再由右側接點求出 $D_y$ 與 $F_y$ 的關係。以下以 $N_{xy}$ 表示 $x$、$y$ 兩點間桿件的軸力。

在 $f$ 點，$jf$ 為 $45^\circ$ 斜桿，$ef$ 為水平桿：

在 $j$ 點，受 $60\ \mathrm{kN}$ 向下載重：

在 $e$ 點，鉛直平衡得：

水平平衡得：

在 $i$ 點，鉛直平衡：

在 $d$ 點，$dh$ 為斜桿，故其鉛直分力為 $N_{de}$。鉛直平衡為：

核心觀念

本題考剛構架的傾角變位法，重點是支承與內鉸的邊界條件，以及無側移以外還要納入側移自由度。

• 固定端 $a,d$ 的轉角為零。
• $b$ 點是內鉸，因此 $ab$ 與 $bc$ 在 $b$ 端的彎矩均為零；兩桿在鉸處可有不同轉角。
• $c$ 點為剛接，$bc$ 與 $cd$ 的 $c$ 端轉角相同。
• $ce$ 是長度 $2\ \mathrm{m}$ 的懸臂，端點 $e$ 受 $10\ \mathrm{kN}$ 向下載重，故對 $c$ 點施加 $20\ \mathrm{kN\,m}$ 的端彎矩。
• 以順時針為正，採傾角變位式： $M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j-3\psi)$ $M_{ji}=M_{ji}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_j+\theta_i-3\psi)$ 其中 $\psi$ 為桿件弦線轉角。

解題方法

令兩柱上端 $b,c$ 向右側移 $\Delta$，並令 $\psi=\frac{\Delta}{5}$

此為側移自由度。因構架桿件軸向變形不計，$b,c$ 的水平位移相同；兩支柱的弦線轉角均為 $\psi$。

1. 由 $b$ 點內鉸條件求轉角關係

對柱 $ab$，固定端 $a$ 轉角為零，且 $M_{ba}=0$： $M_{ba}=\frac{2EI}{5}(2\theta_{b,\mathrm{柱}}-3\psi)=0$ 因此 $\theta_{b,\mathrm{柱}}=\frac{3}{2}\psi$

對梁 $bc$，$b$ 端彎矩為零，且梁無弦線轉角： $M_{bc}=\frac{2EI}{5}(2\theta_{b,\mathrm{梁}}+\theta_c)=0$ 因此 $\theta_{b,\mathrm{梁}}=-\frac{1}{2}\theta_c$

2. 由水平力平衡求側移關係

兩柱端剪力的總和為零，等價於兩柱端彎矩總和為零： $M_{ab}+M_{ba}+M_{dc}+M_{cd}=0$

代入傾角變位式與 $M_{ba}=0$：

再代入 $\theta_{b,\mathrm{柱}}=\frac{3}{2}\psi$，得 $\theta_c=\frac{5}{2}\psi$