111 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

111 年・司法特考・三等・檢察事務官營繕工程組
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

圖一所示結構中，cc 點與 dd 點為鉸支承，桿件在 bb 點以銷接點（pin joint）方式與梁桿件 acac 連接。

梁桿件 acac 為中空矩形斷面，其斷面尺寸如圖所示。已知楊氏係數（Young’s modulus）E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，且容許正向應力為 100 MPa100\ \mathrm{MPa}。

假設有一均布載重 ww 作用在 abab 段上，求：

  1. 梁之剪力圖與彎矩圖。
  2. 在梁內最大彎曲應力小於容許正向應力的條件下，最大均布載重 ww。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中尺寸：ab=4 mab=4\ \mathrm{m}、bc=4 mbc=4\ \mathrm{m}、bd=5 mbd=5\ \mathrm{m}。梁桿件 acac 之中空矩形斷面尺寸為寬 100 mm100\ \mathrm{mm}、高 200 mm200\ \mathrm{mm}、壁厚 5 mm5\ \mathrm{mm}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查帶有懸臂段的簡支梁：abab 為懸臂段，均布載重作用在 abab；bb 點透過銷接桿 bdbd 傳遞垂直力，cc 點為鉸支承。先用整體靜力平衡求支承反力，再依梁上的載重與反力畫剪力圖、彎矩圖。

梁的彎曲正應力與截面二次矩關係為

σmax⁡=Mmax⁡cI\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}c}{I}

其中 II 為截面對水平中性軸的二次矩，cc 為中性軸至最外纖維的距離。題目提供的 EE 不影響支承反力或彎曲應力計算。

解題方法

1. 求支承反力

令向上為正，取整根梁 acac 為自由體。ab=4 mab=4\ \mathrm{m} 上的均布載重合力為 4w4w，作用位置距 bb 點 2 m2\ \mathrm{m}。

以 bb 點取矩：

∑Mb=0:8w+4Rc=0\sum M_b=0:\qquad 8w+4R_c=0

因此

Rc=−2wR_c=-2w

負號表示 cc 點反力方向向下。再由垂直力平衡：

∑Fy=0:Rb+Rc−4w=0\sum F_y=0:\qquad R_b+R_c-4w=0 Rb=6wR_b=6w

bb 點銷接桿對梁提供向上 6w6w 的力；桿件 bdbd 因而受壓。

2. 剪力圖

取 xx 自 aa 點向右量，並採用左側截面向上剪力為正。

在 abab 段，均布載重使剪力隨 xx 線性下降：

V(x)=−wx,0<x<4V(x)=-wx,\qquad 0<x<4

因此 V(a)=0V(a)=0，且 V(b−)=−4wV(b^-)=-4w。在 bb 點受向上反力 6w6w，剪力向上跳升 6w6w：

V(b+)=−4w+6w=2wV(b^+)= -4w+6w=2w

在 bcbc 段沒有分布載重，剪力維持 2w2w，到 cc 點受向下反力 2w2w 後回到零：

V(x)=2w,4<x<8V(x)=2w,\qquad 4<x<8

剪力圖因此依序為：abab 段由 00 線性降至 −4w-4w；bb 點跳升至 +2w+2w；bcbc 段維持 +2w+2w；cc 點跳降至 00。

3. 彎矩圖

在 abab 段：

M(x)=−wx22,0≤x≤4M(x)=-\frac{wx^2}{2},\qquad 0\le x\le4

所以 M(a)=0M(a)=0，M(b)=−8wM(b)=-8w。在 bcbc 段，剪力為 2w2w，故彎矩線性增加至 cc 點的零彎矩：

M(x)=−8w+2w(x−4)=2w(x−8),4≤x≤8M(x)=-8w+2w(x-4)=2w(x-8),\qquad 4\le x\le8

彎矩圖在 abab 段為向下的拋物線，在 bcbc 段為直線；全梁最大絕對彎矩發生於 bb 點：

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第 二 題25 分

圖二所示剛構架中，aa 點為固定支承，cc 點為滾支承，各桿件之 EIEI 值皆相同，且材料的熱膨脹係數 α\alpha 為 11×10−6/∘C11\times10^{-6}/{}^\circ\mathrm{C}。

在環境溫度上升 20∘C20^\circ\mathrm{C} 的情況下，不考慮桿件軸力引起之軸向變形，求：

  1. cc 點支承反力 RcR_c。
  2. bb 點轉角 θb\theta_b。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中尺寸：ab=5 mab=5\ \mathrm{m}、bc=8 mbc=8\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考熱膨脹造成的支承位移，以及剛架的斜率位移分析。桿件均勻升溫時，自由熱伸長為

ΔT=αΔTL\Delta_T=\alpha\Delta T L

題目忽略桿件軸力引起的軸向變形，但仍須計入溫升造成的自由伸長。故柱 abab 伸長使 bb 點上移；梁 bcbc 的水平熱伸長可由 cc 點滾支承的水平滑動釋放，不影響彎曲分析。

取水平向右位移為正、垂直向上位移為正、逆時針轉角為正，則

vb=ΔT=(11×10−6)(20)(5)=1.10×10−3 mv_b=\Delta_T=(11\times10^{-6})(20)(5) =1.10\times10^{-3}\ \mathrm{m}

解題方法

先由圖中空心矩形斷面計算慣性矩。外尺寸為 100 mm×200 mm100\ \mathrm{mm}\times200\ \mathrm{mm}，壁厚 5 mm5\ \mathrm{mm}，彎曲深度取 200 mm200\ \mathrm{mm}：

I=0.1(0.2)3−0.09(0.19)312=1.52242×10−5 m4I=\frac{0.1(0.2)^3-0.09(0.19)^3}{12} =1.52242\times10^{-5}\ \mathrm{m^4}

因此

EI=(200×109)I=3.04483×106 N m2EI=(200\times10^9)I =3.04483\times10^6\ \mathrm{N\,m^2}

令 ubu_b 為 bb 點水平位移，θc\theta_c 為 cc 點轉角。柱 abab 的頂端水平剪力為零，得

12ub+6(5)θb=0⟹ub=−2.5θb12u_b+6(5)\theta_b=0 \quad\Longrightarrow\quad u_b=-2.5\theta_b

代入柱端彎矩式，柱在 bb 點的彎矩為

Mba=EI(6ub52+4θb5)=0.2EIθbM_{ba}=EI\left(\frac{6u_b}{5^2}+\frac{4\theta_b}{5}\right) =0.2EI\theta_b

梁 bcbc 的端彎矩式為

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第 三 題25 分

圖三所示桁架中，aa 點為鉸支承，ff 點為滾支承，在下弦桿各節點承受集中載重 PP。

已知各桿件斷面尺寸皆一樣，為 100×100 mm100\times100\ \mathrm{mm} 實心方管，材料楊氏係數（Young’s modulus）E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}。求桁架中任一上弦桿件發生臨界挫屈載重時之集中載重 PP。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中尺寸與載重：桁架高度為 5 m5\ \mathrm{m}，跨距為 5@5 m=25 m5@5\ \mathrm{m}=25\ \mathrm{m}；下弦桿節點 bb、cc、dd、ee 各承受向下集中載重 PP。桿件斷面尺寸為 100×100 mm100\times100\ \mathrm{mm}。

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核心觀念

這題要先求出上弦桿的軸力，再用歐拉公式求其臨界挫屈力。桁架節點視為鉸接，因此各上弦桿段兩端可視為鉸支承，取有效長度係數 K=1K=1。

解題方法

桁架與載重左右對稱，兩端支承反力相同。總垂直載重為 4P4P，故

RAy=RFy=2PR_{Ay}=R_{Fy}=2P

以下以拉力為正、壓力為負，利用節點法求上弦桿軸力。

在節點 aa，桿件 agag 與水平夾角為 45∘45^\circ，由垂直平衡得

2P+Fag2=0⇒Fag=−22P2P+\frac{F_{ag}}{\sqrt{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad F_{ag}=-2\sqrt{2}P

在節點 gg，由水平平衡可得上弦桿 ghgh 的軸力：

Fgh=−2PF_{gh}=-2P

再由節點 bb、cc 的平衡，可得 bh=32Pbh=3\sqrt{2}P、hc=Phc=P。在節點 hh，垂直平衡給出 hd=42Phd=4\sqrt{2}P；水平平衡則為

2P−3P+4P+Fhi=0⇒Fhi=−3P2P-3P+4P+F_{hi}=0 \quad\Rightarrow\quad F_{hi}=-3P

由左右對稱，三段上弦桿的軸力依序為 −2P、−3P、−2P-2P、-3P、-2P。因此中間上弦桿 hihi 的壓力最大，且三段長度與斷面均相同，故 hihi 先達到挫屈。

方形實心斷面的慣性矩為

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第 四 題25 分

圖四所示一封閉剛構架中，aa 點為固定支承，cc 點與 dd 點為鉸支承。在桿件 abab 中點有一集中載重 16 kN16\ \mathrm{kN}，桿件 bdbd 上有一均布載重 2 kN/m2\ \mathrm{kN/m}，各桿件之 EIEI 值皆相同。

利用傾角變位法（slope-deflection method）求各桿件端點之彎矩。

若使用其他方法，本題以零分計。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中尺寸：ab=4 mab=4\ \mathrm{m}，其中點距 aa、bb 各 2 m2\ \mathrm{m}；bc=5 mbc=5\ \mathrm{m}、cd=5 mcd=5\ \mathrm{m}，因此 bd=10 mbd=10\ \mathrm{m}。集中載重 16 kN16\ \mathrm{kN} 作用於桿件 abab 中點，方向向右；桿件 bdbd 承受均布載重 2 kN/m2\ \mathrm{kN/m}。

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核心觀念

本題以傾角變位法求剛架各桿件端彎矩。採用順時針端彎矩為正，並假設桿件軸向變形忽略，因此本架構無側移。各桿件的傾角變位式為

Mij=MijF+2EIL(2θi+θj)M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j)

其中 MijFM_{ij}^{F} 為固定端彎矩。支承處的平移量為零，故不需加入弦轉角項；固定端 aa 的轉角為零。

cc 點是梁的內部支承，梁在 cc 點連續，因此要列節點力矩平衡；dd 點是梁端鉸支承，因此 Mdc=0M_{dc}=0。

解題方法

將 bdbd 分成 bcbc、cdcd 兩跨，各長 5 m5\ \mathrm{m}；柱 abab 長 4 m4\ \mathrm{m}。令

qb=EIθb,qc=EIθc,qd=EIθdq_b=EI\theta_b,\qquad q_c=EI\theta_c,\qquad q_d=EI\theta_d

1. 固定端彎矩

柱 abab 中點承受水平集中力 16 kN16\ \mathrm{kN}，其固定端彎矩大小為 PL/8PL/8：

16(4)8=8 kN⋅m\frac{16(4)}{8}=8\ \mathrm{kN\cdot m}

依本題端彎矩正負號，MabF=−8M_{ab}^{F}=-8、MbaF=+8M_{ba}^{F}=+8。

梁 bcbc、cdcd 各承受 2 kN/m2\ \mathrm{kN/m} 均布載重，固定端彎矩大小為 wL2/12wL^2/12：

2(52)12=256 kN⋅m\frac{2(5^2)}{12}=\frac{25}{6}\ \mathrm{kN\cdot m}

因此各跨的固定端彎矩為

MbcF=−256,McbF=+256M_{bc}^{F}=-\frac{25}{6},\quad M_{cb}^{F}=+\frac{25}{6} McdF=−256,MdcF=+256M_{cd}^{F}=-\frac{25}{6},\quad M_{dc}^{F}=+\frac{25}{6}

2. 列出各桿件端彎矩式

柱 abab：

Mab=−8+12qb,Mba=8+qbM_{ab}=-8+\frac{1}{2}q_b,\qquad M_{ba}=8+q_b

梁 bcbc：

Mbc=−256+25(2qb+qc)M_{bc}=-\frac{25}{6}+\frac{2}{5}(2q_b+q_c) Mcb=+256+25(2qc+qb)M_{cb}=+\frac{25}{6}+\frac{2}{5}(2q_c+q_b)

梁 cdcd：

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