110 司法特考三等 檢察事務官營繕工程組 結構設計（包括鋼筋混凝土設計與鋼結構設計） 考古題詳解

核心觀念

本題考查鋼結構受壓構件及鋼構架的「二階效應（second-order effect）」：構件或構架產生側向位移後，軸力 $P$ 仍作用於變形後的位置，因而形成額外彎矩，使變形與彎矩進一步增加。

二階效應的基本關係為：

$$M_{\text{total}}=M_{\text{first-order}}+P\times \text{側向位移}$$

其中：

• $P\delta$：構件本身彎曲變形所造成的局部二階效應。
• $P\Delta$：構架層間側移或整體側移所造成的整體二階效應。

兩者均屬於軸力與變形耦合作用，但作用尺度不同。

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一、$P\delta$ 效應：構件局部二階效應

1. 定義

$P\delta$ 效應是指受壓構件在兩端連線以內產生局部彎曲變形 $\delta$ 時，軸力 $P$ 作用於變形後的構件軸線，因偏心距 $\delta$ 產生附加彎矩：

$$M_{P\delta}=P\delta$$

其中：

• $P$：構件軸向壓力。
• $\delta$：構件相對於其兩端弦線的局部側向變位。
• $M_{P\delta}$：由局部彎曲變形引起的附加彎矩。

此效應主要發生在單一柱、梁柱構件或受壓構件本身，屬於「構件層級」的二階效應。

2. 作用機制

受壓構件若承受初始彎矩，會產生彎曲變形。構件變形後，軸力 $P$ 不再通過原來的直線軸線，而與變形後軸線形成偏心距，因而產生附加彎矩。

附加彎矩又會增加構件曲率，使局部位移增大，形成下列循環：

$$\text{初始彎矩} \rightarrow \delta \rightarrow P\delta \rightarrow \text{彎矩增加} \rightarrow \delta \text{進一步增加}$$

因此，$P\delta$ 效應會放大構件原有的彎矩與撓曲變形，並降低構件的實際承載能力。

3. 理想化放大關係

對於等斷面、理想直柱，在彈性範圍內可用概念式表示：

$$M_2 \approx \frac{M_1}{1-P/P_{\mathrm{cr}}}$$

其中：

• $M_1$：一階分析所得彎矩。
• $M_2$：考慮構件局部二階效應後的彎矩。
• $P_{\mathrm{cr}}$：構件之彈性挫屈臨界軸力。

當 $P$ 接近 $P_{\mathrm{cr}}$ 時，放大係數快速增加，表示構件穩定性顯著降低。實際設計仍須依構件端彎矩分布、有效長度、殘餘應力、初始彎曲及設計規範所定之分析方法計算。

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二、$P\Delta$ 效應：構架整體二階效應

1. 定義

$P\Delta$ 效應是指鋼構架受到側向力後，樓層或柱端產生整體側向位移 $\Delta$，使柱軸力 $P$ 作用於偏移後的位置，形成額外的整體傾覆彎矩：

$$M_{P\Delta}=P\Delta$$

其中：

• $P$：柱或構架構件所承受的軸力。
• $\Delta$：構架節點、樓層或柱端相對於原始位置的整體側向位移。
• $M_{P\Delta}$：由構架側移所造成的附加彎矩。

此效應主要發生於「構架層級」，尤其是抗彎矩構架、側移型構架及高軸力、高樓層建築。

2. 作用機制

構架受到風力、地震力或其他水平力作用時，樓層會產生側移。此時，各柱的軸力 $P$ 與樓層側移 $\Delta$ 形成附加彎矩：

$$M_{P\Delta}=P\Delta$$

該附加彎矩會增加構架的層間剪力需求與側移，並進一步放大軸力的偏心作用。其作用循環為：

核心觀念

本題考查鋼骨斷面全塑性狀態下之軸力－彎矩互制關係。

當整個斷面均達降伏，降伏應力為 $F_y$，且中性軸兩側分別為均勻壓應力與拉應力：

• 中性軸以上：壓應力 $F_y$
• 中性軸以下：拉應力 $F_y$

因此：

$$P=F_y(A_c-A_t)$$

其中 $A_c$、$A_t$ 分別為壓力區與拉力區面積。

全塑性彎矩為：

$$M=F_y Z$$

題目給定全塑性彎矩：

$$M_p=F_yZ_x$$

全塑性軸力為：

$$P_y=F_yA$$

本題採壓力為正，並以斷面強軸對稱軸為基準計算彎矩。

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斷面基本資料

$H400\times400\times16\times32$ 之尺寸為：

• 翼板寬度：$40\text{ cm}$
• 翼板厚度：$3.2\text{ cm}$
• 腹板厚度：$1.6\text{ cm}$
• 斷面總深度：$40\text{ cm}$

由於題目給定：

$$A=310\text{ cm}^2$$ $$Z_x=5160\text{ cm}^3$$ $$F_y=3.3\text{ tf/cm}^2$$

故：

$$P_y=F_yA =3.3(310) =1023\text{ tf}$$ $$M_p=F_yZ_x =3.3(5160) =17028\text{ tf}\cdot\text{cm}$$

斷面對稱軸至上下翼板內緣之距離為：

$$20-3.2=16.8\text{ cm}$$

以下令中性軸以下之面積為 $A_b$，其對斷面對稱軸之一次矩為 $Q_b$。由於全斷面一次矩為零，可得：

$$P=F_y(A-2A_b)$$ $$M=2F_yQ_b$$

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（一）中性軸位置 $y=12\text{ cm}$

此時中性軸位於腹板內。

1. 中性軸以下面積

下翼板面積：

$$A_f=40(3.2)=128\text{ cm}^2$$

腹板在中性軸以下之高度：

$$16.8-12=4.8\text{ cm}$$

其面積為：

$$A_w=1.6(4.8)=7.68\text{ cm}^2$$

所以：

$$A_b=128+7.68=135.68\text{ cm}^2$$

2. 軸力 $P$

$$P=3.3(310-2\times135.68)$$ $$P=3.3(38.64) =127.51\text{ tf}$$

3. 彎矩 $M$

下翼板形心距對稱軸：

$$\bar{x}_f=20-\frac{3.2}{2}=18.4\text{ cm}$$

下翼板一次矩：

$$Q_f=128(18.4)=2355.2\text{ cm}^3$$

腹板部分一次矩：

$$Q_w =1.6\left(\frac{16.8^2-12^2}{2}\right) =110.592\text{ cm}^3$$

因此：

$$Q_b=2355.2+110.592 =2465.792\text{ cm}^3$$ $$M=2(3.3)(2465.792) =16274.23\text{ tf}\cdot\text{cm}$$

4. 無因次化結果

$$\frac{M}{M_p} =\frac{16274.23}{17028} =0.956$$ $$\frac{P}{P_y} =\frac{127.51}{1023} =0.125$$

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（二）中性軸位置 $y=15\text{ cm}$

此時中性軸仍位於腹板內。

1. 中性軸以下面積

腹板在中性軸以下之高度：

$$16.8-15=1.8\text{ cm}$$

腹板面積：

$$A_w=1.6(1.8)=2.88\text{ cm}^2$$

所以：

$$A_b=128+2.88 =130.88\text{ cm}^2$$

2. 軸力 $P$

$$P=3.3(310-2\times130.88)$$ $$P=3.3(48.24) =159.19\text{ tf}$$

3. 彎矩 $M$

下翼板一次矩仍為：

$$Q_f=2355.2\text{ cm}^3$$

腹板部分一次矩：

$$Q_w =1.6\left(\frac{16.8^2-15^2}{2}\right) =45.792\text{ cm}^3$$

因此：

$$Q_b=2355.2+45.792 =2400.992\text{ cm}^3$$ $$M=2(3.3)(2400.992) =15846.55\text{ tf}\cdot\text{cm}$$

核心觀念

本題考查地震力作用下，具韌性設計要求之構架構材與結構牆邊界構件，為何限制主筋實測降伏強度不得顯著高於規定降伏強度 $f_y$。

以命題當年（民國110年）之《混凝土結構設計規範》及相關耐震設計規定為準。SD 420 與 SD 280 鋼筋雖可作為主筋使用，但其實測降伏強度與規定值之差不得達 $1,200\ \text{kgf/cm}^2$。

此限制的核心，在於確保結構實際發生降伏的位置、順序及強度，符合設計時所採用的耐震機制。

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解題方法

耐震設計並非只要求構材「足夠強」，更要求地震時能形成預期的塑性機制，使結構透過鋼筋降伏及塑性變形消散能量。

設計計算通常以鋼筋規定降伏強度 $f_y$ 推估構材的彎矩強度，例如受彎構材之名義彎矩強度可概念表示為

$$M_n \approx A_s f_y \left(d-\frac{a}{2}\right)$$

其中：

• $A_s$：受拉鋼筋面積；
• $d$：有效深度；
• $a$：等值壓力塊深度；
• $f_y$：鋼筋規定降伏強度。

若鋼筋實際降伏強度為 $f_{y,\mathrm{actual}}$，且

$$f_{y,\mathrm{actual}} > f_y$$

則實際塑性彎矩將高於設計預估值，實際上可表示為

$$M_{y,\mathrm{actual}} \approx A_s f_{y,\mathrm{actual}} \left(d-\frac{a}{2}\right)$$

當鋼筋強度過高時，會產生下列耐震問題。

一、破壞機制可能偏離設計預期

耐震設計通常希望構架形成「梁端塑鉸、柱保持較強」的整體機制，或使牆之邊界構件具有足夠韌性並配合牆體形成穩定塑性行為。

若梁筋實際強度過高，梁端需承受更大的彎矩才會降伏，可能導致：

• 塑鉸無法在預定位置形成；
• 柱先行降伏；
• 結構牆其他部位先發生破壞；
• 塑性機制不完整，降低整體變形能力。

如此將不利於「強柱弱梁」及整體延性設計。

二、可能發生剪力脆性破壞

耐震構材的剪力設計，必須考慮構材達到實際塑性彎矩時所引致的剪力需求。概念上，構材端部剪力可表示為

$$V_u \approx \frac{M_{pr,1}+M_{pr,2}}{L} +V_g$$

其中：

• $M_{pr,1}$、$M_{pr,2}$：兩端預期塑性彎矩；
• $L$：構材跨度；
• $V_g$：重力荷載所造成的剪力。

鋼筋實際降伏強度越高，$M_{pr}$ 越大，因而所需剪力強度也越大。若設計時未能反映此額外強度，可能形成「彎曲尚未降伏，剪力已先破壞」的情形。

剪力破壞具有突發性且延性很差，與耐震設計所要求的「先彎曲降伏、後以延性消能」原則相違。

三、柱及牆邊界構件的軸力可能增加

梁端塑性彎矩提高後，梁柱接頭及柱構材所承受的內力也會增加；對結構牆而言，邊界構件的拉力與壓力亦可能提高。

因此可能造成：

核心觀念

本題考查懸臂梁固定端最大負彎矩之計算，以及依混凝土結構設計規範之強度設計法配置撓曲鋼筋。

重點如下：

• 懸臂梁固定端為最大彎矩處。
• 向下均布載重使固定端產生負彎矩，因此主拉力鋼筋配置於梁頂部。
• 強度設計採用載重組合

$$w_u=1.2w_d+1.6w_l$$

• 矩形單筋梁之名義彎矩強度為

$$M_n=A_s f_y\left(d-\frac{a}{2}\right)$$

其中

$$a=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b}$$

• 彎曲構材之強度折減係數取

$$\phi=0.90$$

設計條件為

$$\phi M_n\geq M_u$$

以下均以命題當年（民國 110 年）法規為準。

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解題方法

一、計算設計均布載重

已知：

$$w_d=720\ \text{kgf/m}$$ $$w_l=800\ \text{kgf/m}$$

故設計載重為

$$w_u=1.2(720)+1.6(800)$$ $$w_u=864+1280=2144\ \text{kgf/m}$$

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二、計算固定端設計彎矩

懸臂梁受全跨均布載重時，固定端彎矩為

$$M_u=\frac{w_uL^2}{2}$$

代入 $L=6\text{ m}$：

$$M_u=\frac{2144(6)^2}{2} =2144(18) =38592\ \text{kgf}\cdot\text{m}$$

換算為 $\text{kgf}\cdot\text{cm}$：

$$M_u=38592(100) =3,859,200\ \text{kgf}\cdot\text{cm}$$

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三、計算所需名義彎矩強度

設計條件為

$$\phi M_n\geq M_u$$

因此所需名義彎矩為

$$M_n\geq \frac{M_u}{\phi} =\frac{3,859,200}{0.9} =4,288,000\ \text{kgf}\cdot\text{cm}$$

梁斷面資料為：

$$b=40\text{ cm},\qquad d=65\text{ cm}$$

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四、求所需鋼筋面積

採用公式

$$M_n=A_sf_y\left(d-\frac{a}{2}\right)$$

且

$$a=\frac{A_sf_y}{0.85f'_cb}$$

代入材料強度：

$$f'_c=350\ \text{kgf/cm}^2,\qquad f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2$$

因此

$$a=\frac{A_s(4200)} {0.85(350)(40)}$$ $$a=0.35294A_s$$

代入名義彎矩公式：

$$4,288,000 =A_s(4200)\left(65-\frac{0.35294A_s}{2}\right)$$

整理得

$$4,288,000 =4200A_s(65-0.17647A_s)$$

解得所需拉力鋼筋面積約為

$$A_s=17.0\ \text{cm}^2$$

另一根數學解會導致不合理之過大壓力塊，故不採用。

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五、檢核最小鋼筋量

核心觀念

本題考查雙筋混凝土構材在「平衡應變狀態」下的軸力與彎矩強度：

• 混凝土壓碎應變取 $\varepsilon_{cu}=0.003$。
• 拉力鋼筋恰達降伏：$\varepsilon_t=\varepsilon_y=f_y/E_s$。
• 採等效矩形壓力塊： $C_c=0.85f'_cba,\qquad a=\beta_1c$
• $f'_c=280\text{ kgf/cm}^2$ 時，取 $\beta_1=0.85$。
• 假設為箍筋柱，平衡狀態之強度折減係數取 $\phi=0.65$。

以命題當年（民國110年）混凝土結構設計規範為準。

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一、求平衡中性軸深度

鋼筋降伏應變為

$$\varepsilon_y=\frac{f_y}{E_s} =\frac{4200}{2040000} =0.0020588$$

由相似三角形，

$$\frac{0.003}{c_b} = \frac{0.003+\varepsilon_y}{d}$$

因此

$$c_b = \frac{0.003d}{0.003+\varepsilon_y} = \frac{0.003(52.5)}{0.003+0.0020588} =31.13\text{ cm}$$

等效壓力塊深度：

$$a_b=\beta_1c_b =0.85(31.13) =26.46\text{ cm}$$

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二、判斷壓力鋼筋是否降伏

壓力鋼筋應變為

$$\varepsilon'_s = 0.003\frac{c_b-d'}{c_b} = 0.003\frac{31.13-7.5}{31.13} =0.00228$$

因為

$$\varepsilon'_s=0.00228>\varepsilon_y=0.00206$$

所以壓力鋼筋已降伏，故

$$f'_s=f_y=4200\text{ kgf/cm}^2$$

拉力鋼筋亦恰達降伏：

$$f_s=f_y=4200\text{ kgf/cm}^2$$

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三、計算各內力

混凝土壓力：

$$C_c = 0.85f'_cba_b = 0.85(280)(70)(26.46)$$ $$C_c=440,885\text{ kgf}$$

壓力鋼筋力：

$$C'_s=A'_sf'_s =(25.8)(4200) =108,360\text{ kgf}$$

拉力鋼筋力：

$$T_s=A_sf_s =(25.8)(4200) =108,360\text{ kgf}$$

因為 $A_s=A'_s$ 且兩者皆降伏，鋼筋軸力互相抵消，因此標稱軸力為

$$P_n=C_c+C'_s-T_s=C_c$$ $$\boxed{P_n=440,885\text{ kgf}}$$

即

$$P_n\approx440.9\text{ tf}$$

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四、計算平衡狀態之彎矩

以斷面形心為取矩點。斷面形心距上下緣各為

$$\frac{h}{2}=30\text{ cm}$$

混凝土壓力合力作用於壓力塊中央，其力臂為