107 司法特考三等 檢察事務官電子資訊組 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗四端點金氧半場效電晶體（MOSFET）之高頻小訊號混合 $\pi$（Hybrid-$\pi$）等效電路模型，核心觀念包含以下三項：

1. 基板效應（Body Effect / Back-Gate Effect）與基板跨導 $g_{mb}$： 當源極（S）與基板（B）未短路時，基板偏壓與源極偏壓不相等（即 $v_{bs} \neq 0$）。基板扮演「第二閘極」（Back-gate）角色，基板-源極小訊號電壓 $v_{bs}$ 會調變通道反轉層電荷與臨界電壓 $V_t$，進而在汲極端產生受控電流： $g_{mb} \equiv \left. \frac{\partial i_D}{\partial v_{BS}} \right|_Q = \chi g_m$ 其中 $\chi \approx 0.1 \sim 0.3$，其控制的電流方向與主跨導電流源 $g_m v_{gs}$ 相同，皆由汲極（D）流向源極（S）。

2. 通道長度調變效應（Channel-Length Modulation）與輸出電阻 $r_o$： 汲極與源極間存在有限的小訊號輸出電阻 $r_o$： $r_o \equiv \left( \left. \frac{\partial i_D}{\partial v_{DS}} \right|_Q \right)^{-1} = \frac{V_A + V_{DS}}{I_D} \approx \frac{V_A}{I_D} = \frac{1}{\lambda I_D}$

3. 高頻寄生電容網路（High-Frequency Parasitic Capacitances）： 在高頻操作下，各端點間的電容效應不可忽略，共包含 5 個電容：

• 閘極氧化層相關電容：閘-源電容 $C_{gs}$、閘-汲電容 $C_{gd}$、閘-基板電容 $C_{gb}$。
• 反向偏壓 $pn$ 接面空乏電容：源-基板電容 $C_{sb}$、汲-基板電容 $C_{db}$。

解題方法

1. 小訊號汲極電流推導

在飽和區（主動區）操作下，小訊號總汲極電流 $i_d$ 為三端控制電壓的多元泰勒展開線性化結果： $i_d = g_m v_{gs} + g_{mb} v_{bs} + \frac{v_{ds}}{r_o}$ 其中：

• $v_{gs} = v_g - v_s$（閘-源小訊號電壓）
• $v_{bs} = v_b - v_s$（基板-源小訊號電壓）
• $v_{ds} = v_d - v_s$（汲-源小訊號電壓）

2. 各端點間之電路元件配置

• 閘極（G）：
• 與源極（S）之間：跨接電容 $C_{gs}$，跨壓為 $v_{gs}$（上正下負）。
• 與汲極（D）之間：跨接電容 $C_{gd}$（米勒效應主要來源）。
• 與基板（B）之間：跨接電容 $C_{gb}$。
• 汲極（D）與源極（S）之間：
• 主跨導電壓受控電流源：大小為 $g_m v_{gs}$，方向由 D 流向 S。
• 基板跨導電壓受控電流源：大小為 $g_{mb} v_{bs}$，方向由 D 流向 S。
• 輸出電阻：$r_o$ 並聯於 D 與 S 之間。
• 基板（B）與其他端點之間：
• 與源極（S）之間：跨接源極接面電容 $C_{sb}$，跨壓為 $v_{bs}$（B 端為正、S 端為負）。
• 與汲極（D）之間：跨接汲極接面電容 $C_{db}$。

3. 完整高頻小訊號混合 $\pi$ 等效電路圖

 +----------------- Cgd -----------------+
 | |
 (G) o--------+--------+ +--------+--------o (D)
 閘極 | | | | 汲極
 --- --- | |
 Cgb --- Cgs --- | |
 | | + | |
 | | vgs | |
 | | - V V
 | | gm*vgs gmb*vbs [ro]
 | | | | |
 (S) o-------+--------+----------------------+--------+------+
 源極 | | |
 | --- ---
 | Csb --- Cdb ---
 | | |
 (B) o-------+--------+----------------------+
 基板

核心觀念

本題考查雙極性接面電晶體（BJT）之直流偏壓分析（DC Bias Analysis）與工作區間判別。主要涉及以下核心觀念與公式：

1. BJT 工作模式判定準則：

• 主動區（Active Region）：基極-射極（B-E）接面順向偏壓（$V_{BE} = 0.7\ \mathrm{V}$），基極-集極（B-C）接面逆向偏壓（$V_{CE} \ge V_{CE,\mathrm{sat}} = 0.2\ \mathrm{V}$）。集極電流滿足： $I_C = \beta I_B$
• 飽和區（Saturation Region）：B-E 接面順向偏壓，B-C 接面亦轉為順向偏壓。集-射極端電壓被箝位在飽和電壓： $V_{CE} = V_{CE,\mathrm{sat}} = 0.2\ \mathrm{V}$ 此時 $I_C = \beta I_B$ 關係式失效，集極電流由外部電路負載決定，滿足強制電流增益條件： $\beta_{\mathrm{forced}} = \frac{I_C}{I_B} < \beta$

2. 迴路分析法則：

• 輸入端基極迴路克希荷夫電壓定律（KVL）。
• 輸出端集極迴路克希荷夫電壓定律（KVL）與歐姆定律。

解題方法

本題原卷掃描圖未隨題文嵌入（缺附圖中之電源電壓 $V_{CC}$、基極偏壓源 $V_{BB}$、基極電阻 $R_B$ 及集極電阻 $R_C$ 等元件數值），依國家考試電子學此類經典試題之標準電路架構（共射極放大/開關電路，取典型參數 $V_{CC}=5\ \mathrm{V}$、$V_{BB}=5\ \mathrm{V}$、$R_B=10\ \mathrm{k}\Omega$、$R_C=1\ \mathrm{k}\Omega$ 且射極接地）進行完整解析與計算。

步驟一：建立通用分析模式（先假設主動區）

設射極接地（$V_E = 0\ \mathrm{V}$），基極經由電阻 $R_B$ 連接至偏壓源 $V_{BB}$，集極經由電阻 $R_C$ 連接至電源 $V_{CC}$。

1. 由輸入基極迴路列 KVL 方程式： $V_{BB} - I_B R_B - V_{BE} = 0$ 求得基極電流： $I_B = \frac{V_{BB} - V_{BE}}{R_B}$

2. 假設電晶體工作於主動區，則集極電流為： $I_C = \beta I_B = \beta \left(\frac{V_{BB} - V_{BE}}{R_B}\right)$

3. 由輸出集極迴路列 KVL 求集極電壓 $V_C$： $V_C = V_{CC} - I_C R_C = V_{CC} - \beta \left(\frac{V_{BB} - V_{BE}}{R_B}\right) R_C$ 因射極接地，$V_{CE} = V_C - V_E = V_C$。

步驟二：檢驗工作區間與矛盾判定

• 檢驗條件：檢查計算所得之 $V_{CE}$ 是否滿足 $V_{CE} \ge V_{CE,\mathrm{sat}} = 0.2\ \mathrm{V}$。
• 代入典型電路參數數值： $I_B = \frac{5\ \mathrm{V} - 0.7\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{k}\Omega} = \frac{4.3\ \mathrm{V}}{10\ \mathrm{k}\Omega} = 0.43\ \mathrm{mA}$ 主動區試算之集極電流： $I_{C,\mathrm{active}} = 50 \times 0.43\ \mathrm{mA} = 21.5\ \mathrm{mA}$ 試算之集極電位： $V_C = 5\ \mathrm{V} - (21.5\ \mathrm{mA} \times 1\ \mathrm{k}\Omega) = 5\ \mathrm{V} - 21.5\ \mathrm{V} = -16.5\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題考查運算放大器電路的頻域分析與主動濾波器合成，核心觀念包含：

1. $s$ 域（拉普拉斯域，Laplace Domain）阻抗模型：在零初始條件下，電阻阻抗為 $Z_R(s) = R$，電容阻抗為 $Z_C(s) = \dfrac{1}{sC}$，時域訊號 $v(t)$ 轉換為頻域相量／複數頻率變數 $V(s)$。
2. 理想運算放大器特性（負回授線性工作區）：

• 虛擬短路（Virtual Short）：$V_+(s) = V_-(s)$。
• 虛擬斷路（Virtual Open）：$I_+(s) = I_-(s) = 0$。

3. 電路分析技巧：利用分壓定理求解非反相端電壓，配合節點電壓法（KCL）或重疊定理（Superposition Theorem）求解輸出端電壓與轉移函數 $H(s) = \dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}$。
4. 全通濾波器（All-Pass Filter, APF）之頻率響應：

• 令 $s = j\omega$，計算振幅響應 $|H(j\omega)|$ 與相位響應 $\theta(\omega) = \angle H(j\omega)$。
• 全通特性：振幅增益對所有頻率恆為常數（單位增益 $1$ 或 $0\text{ dB}$），主要功能在於提供可控的相位延遲（Phase Shift / Delay Equalization）。

解題方法

（一）畫出電路的 $s$ 域等效電路

將原電路轉換至 $s$ 域之步驟如下：

1. 輸入與輸出電壓訊號分別轉換為 $V_i(s)$ 與 $V_o(s)$。
2. 電阻阻抗保持為純阻抗：$Z_{R1} = R_1$、$Z_{R2} = R_2$、$Z_R = R$（標準對稱設計通常取 $R_1 = R_2 = R$）。
3. 電容轉換為複數阻抗：$Z_C(s) = \dfrac{1}{sC}$。
4. 運算放大器維持理想運算放大器模型，輸入端滿足 $V_+(s) = V_-(s)$ 且 $I_+(s) = I_-(s) = 0$。

$s$ 域等效電路架構如下圖所示：

 R2
 +-------/\/\/\-------+
 | |
 | R1 |
 Vi(s) ------+------/\/\/\--------o----(-) \
 | \
 | R | >---- Vo(s)
 +------/\/\/\--------o----(+) /
 |
 ---
 --- 1/(sC)
 |
 GND

（二）求轉移函數 $H(s) = \dfrac{V_o(s)}{V_i(s)}$

步驟一：求非反相輸入端電壓 $V_+(s)$ 由於流入運算放大器非反相端的電流 $I_+(s) = 0$，由 $V_i(s)$ 經電阻 $R$ 與電容阻抗 $\dfrac{1}{sC}$ 到地構成單純的分壓電路： $V_+(s) = V_i(s) \cdot \frac{\dfrac{1}{sC}}{R + \dfrac{1}{sC}} = V_i(s) \cdot \frac{1}{1 + sRC}$

步驟二：由虛擬短路確定反相輸入端電壓 $V_-(s)$ 運算放大器工作於負回授線性區，滿足： $V_-(s) = V_+(s) = \frac{1}{1 + sRC} V_i(s)$

步驟三：於反相輸入端節點列寫節點電壓方程式（KCL） 流入反相端的電流為零（$I_-(s) = 0$），依據 KCL： $\frac{V_i(s) - V_-(s)}{R_1} = \frac{V_-(s) - V_o(s)}{R_2}$

移項整理輸出電壓 $V_o(s)$： $V_o(s) = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_-(s) - \frac{R_2}{R_1}V_i(s)$

步驟四：將 $V_-(s)$ 代入並化簡求得 $H(s)$ $V_o(s) = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)\left(\frac{1}{1 + sRC}\right)V_i(s) - \frac{R_2}{R_1}V_i(s)$

通分整理： $H(s) = \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{\left(1 + \dfrac{R_2}{R_1}\right) - \dfrac{R_2}{R_1}(1 + sRC)}{1 + sRC} = \frac{1 - sRC\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)}{1 + sRC}$

在標準全通濾波器設計中，反相路徑電阻取對稱值 $R_1 = R_2 = R$，代入得定案轉移函數： $H(s) = \frac{1 - sRC}{1 + sRC} = -\frac{s - \dfrac{1}{RC}}{s + \dfrac{1}{RC}}$

備註：若原圖中非反相端之電阻與電容位置互換（即電容 $C$ 串聯於 $V_i$ 與非反相端之間、電阻 $R$ 連接非反相端與地），則 $V_+(s) = V_i(s) \cdot \dfrac{sRC}{1 + sRC}$，對應之轉移函數為： $H(s) = \frac{sRC - 1}{sRC + 1} = \frac{s - \dfrac{1}{RC}}{s + \dfrac{1}{RC}}$

（三）分析說明此電路的功能

將轉移函數轉換至頻域，令 $s = j\omega$： $H(j\omega) = \frac{1 - j\omega RC}{1 + j\omega RC}$

1. 電路定名： 此電路為「一階主動全通濾波器」（First-Order Active All-Pass Filter），又稱「相位移位器」（Phase Shifter）或「延遲等化器」（Delay Equalizer）。

2. 振幅響應分析（Magnitude Response）：

依原卷試題圖形，電路結構為弦波電壓源 $v_g$ 與兩組並聯支路相接：

1. 電壓源：弦波電壓源 $v_g$，輸出端流出之總電流標示為 $i_o$。
2. 並聯支路一（電容支路）：由單一電容器 $C = 10\ \mu\mathrm{F}$ 組成。
3. 並聯支路二（電感與電阻串聯支路）：由電阻 $R = 10\ \Omega$ 與電感 $L = 5\ \mathrm{mH}$ 串聯組成。

核心觀念

1. 同相（In Phase）與諧振條件： 交流電路中，電源總電流 $i_o(t)$ 與電源電壓 $v_g(t)$ 同相，代表電壓源所看入的等效輸入阻抗 $Z_{\mathrm{in}}$（或等效輸入導納 $Y_{\mathrm{in}}$）之相位角為 $0^\circ$，即等效導納（或阻抗）之虛部為零： $\operatorname{Im}\{Y_{\mathrm{in}}\} = 0 \quad \text{或} \quad \operatorname{Im}\{Z_{\mathrm{in}}\} = 0$ 此狀態即為並聯電路的諧振（Resonance）狀態。
2. 導納法（Admittance Method）： 處理並聯電路時，採用導納相加比阻抗並聯運算更為簡捷。總導納 $Y_{\mathrm{in}} = Y_C + Y_{RL}$，透過有理化分開實部與虛部，即可求出諧振角頻率 $\omega$ 及頻率 $f$。
3. 時域與相量（Phasor）轉換： 正弦穩態下，已知電壓相量 $\mathbf{V}_g = V_m \angle 0^\circ$ 與同相時的純實數等效阻抗 $R_{\mathrm{eq}}$，電流相量為 $\mathbf{I}_o = \frac{\mathbf{V}_g}{R_{\mathrm{eq}}} = I_m \angle 0^\circ$，再轉回時域餘弦函數表示式。

解題方法

（一）求使 $i_o$ 與 $v_g$ 同相之頻率 $f$

1. 建立各支路之相量導納：

• 電容支路導納： $Y_C = j\omega C$
• $R$-$L$ 串聯支路阻抗與導納： $Z_{RL} = R + j\omega L$ $Y_{RL} = \frac{1}{R + j\omega L} = \frac{R - j\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2}$

2. 計算總輸入導納 $Y_{\mathrm{in}}$： $Y_{\mathrm{in}} = Y_{RL} + Y_C = \frac{R}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \left( \omega C - \frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)$

3. 令虛部為零（同相條件）： $\operatorname{Im}\{Y_{\mathrm{in}}\} = \omega C - \frac{\omega L}{R^2 + \omega^2 L^2} = 0$ 因電源頻率 $\omega \neq 0$，同除以 $\omega$： $C = \frac{L}{R^2 + \omega^2 L^2} \implies R^2 + \omega^2 L^2 = \frac{L}{C}$ 移項解出角頻率 $\omega$： $\omega^2 L^2 = \frac{L}{C} - R^2 \implies \omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{L}\right)^2}$

4. 代入數值求解：

• $R = 10\ \Omega$
• $L = 5\ \mathrm{mH} = 5 \times 10^{-3}\ \mathrm{H}$
• $C = 10\ \mu\mathrm{F} = 10 \times 10^{-6}\ \mathrm{F} = 10^{-5}\ \mathrm{F}$

計算各項數值： $\frac{1}{LC} = \frac{1}{(5 \times 10^{-3})(10^{-5})} = \frac{1}{5 \times 10^{-8}} = 20 \times 10^6\ \mathrm{rad^2/s^2}$ $\frac{R}{L} = \frac{10}{5 \times 10^{-3}} = 2000\ \mathrm{rad/s} \implies \left(\frac{R}{L}\right)^2 = 4 \times 10^6\ \mathrm{rad^2/s^2}$

代入得角頻率 $\omega$： $\omega^2 = 20 \times 10^6 - 4 \times 10^6 = 16 \times 10^6\ \mathrm{rad^2/s^2}$

核心觀念

本題考查戴文寧等效電路（Thévenin's Equivalent Circuit）​與實際直流電壓源模型的分析與計算：

1. 戴文寧等效電路模型： 任何由線性電阻與獨立電源構成的雙端網路，均可等效為一個理想獨立電壓源 $V_{th}$ 串聯一個戴文寧等效電阻（內阻）$R_{th}$。
2. 負載端電壓與歐姆定律： 當電池外接負載電阻 $R_L$ 時，電路流過之電流為： $I = \frac{V_L}{R_L}$ 依據克希荷夫電壓定律（KVL），電池開路電壓（戴文寧電壓 $V_{th}$）、負載端電壓 $V_L$ 與內阻壓降之關係為： $V_{th} = V_L + I \cdot R_{th}$

解題方法

藉由題目所給兩組負載條件，分別計算其電路電流並列出含 $V_{th}$ 與 $R_{th}$ 之聯立方程式求解。

步驟一：分析受音機負載狀態

• 負載電阻 $R_{L1} = 6.25\ \Omega$
• 端電壓 $V_{L1} = 12.5\ \mathrm{V}$
• 流經受音機之電流： $I_1 = \frac{V_{L1}}{R_{L1}} = \frac{12.5}{6.25} = 2\ \mathrm{A}$
• 由 KVL 建立關係式： $V_{th} = V_{L1} + I_1 \cdot R_{th} = 12.5 + 2 R_{th} \quad \cdots\cdots\text{(式 1)}$

步驟二：分析汽車頭燈負載狀態

• 負載電阻 $R_{L2} = 0.65\ \Omega$
• 端電壓 $V_{L2} = 11.7\ \mathrm{V}$
• 流經汽車頭燈之電流： $I_2 = \frac{V_{L2}}{R_{L2}} = \frac{11.7}{0.65} = 18\ \mathrm{A}$
• 由 KVL 建立關係式： $V_{th} = V_{L2} + I_2 \cdot R_{th} = 11.7 + 18 R_{th} \quad \cdots\cdots\text{(式 2)}$

步驟三：聯立求解 $R_{th}$ 與 $V_{th}$ 將 (式 1) 與 (式 2) 相等： $12.5 + 2 R_{th} = 11.7 + 18 R_{th}$ 移項整理得：