107 地方特考三等 電子工程 計算機概論 考古題詳解

核心觀念

本題評量程式設計與演算法的兩大基本計算模型——迭代（Iteration）​與遞迴（Recursion），核心考點包含：

1. 迴圈狀態追蹤（Trace）：評估 while 迴圈之終止條件判定時機與狀態變數的最終數值。
2. 迭代法（Iterative Solution）的本質：利用重複執行結構（迴圈）與變數狀態更新來逐步累計結果。
3. 遞迴法（Recursive Solution）的結構：透過函式呼叫自身（Self-calling），依循「基本情況（Base Case）」與「遞迴步驟（Recursive Step）」化簡問題。
4. 系統呼叫堆疊（Call Stack）與空間複雜度：遞迴執行時每層函式呼叫所需的堆疊框架（Stack Frame）佔用與記憶體深度分析。

解題方法

(一) 計算呼叫 $Factorial(6)$ 時，執行至「return F」時 $F$ 的值

追蹤變數 $F$ 與計數器 $i$ 在迴圈中的變化流程（Trace Table）：

• 初始狀態：$F \leftarrow 1$，$i \leftarrow 1$。
• 第 1 次迴圈：判斷 $1 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 1 \times 1 = 1$，$i \leftarrow 2$。
• 第 2 次迴圈：判斷 $2 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 1 \times 2 = 2$，$i \leftarrow 3$。
• 第 3 次迴圈：判斷 $3 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 2 \times 3 = 6$，$i \leftarrow 4$。
• 第 4 次迴圈：判斷 $4 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 6 \times 4 = 24$，$i \leftarrow 5$。
• 第 5 次迴圈：判斷 $5 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 24 \times 5 = 120$，$i \leftarrow 6$。
• 第 6 次迴圈：判斷 $6 \leq 6$（成立），$F \leftarrow 120 \times 6 = 720$，$i \leftarrow 7$。
• 迴圈終止判定：判斷 $7 \leq 6$（不成立，False），跳出 while 迴圈。

執行至 return F 時，$F$ 的值為 $720$（即 $6! = 720$）。

(二) 承上題，執行至「return F」時 $i$ 的值

while (i <= n) 迴圈必須等到條件判斷為「偽（False）」時才會終止。 由 (一) 之追蹤過程可知，當 $i$ 遞增至 $7$ 時，條件 $7 \leq 6$ 為 False，程式隨即跳出迴圈並前進至 return F。 因此，執行到 return F 這一行時，$i$ 的值等於 $7$。

(三) 何謂「iteration solution」

迭代解法（Iteration Solution）​是指利用迴圈控制結構（如 for、while、do-while）重複執行某一段特定的程式碼區塊，藉由在每次執行過程中持續更新一組或多組狀態變數（State Variables），逐步逼近或直接累計求得問題解答的方法。

核心觀念

1. 小數進位制轉換（連乘基數取整數法，Successive Multiplication Method）： 十進位小數轉換為 $R$ 進位小數時，將小數部分連續乘以基數 $R$。每次相乘後，取出整數部分作為該位數的數碼（由最高有效位 MSB 向最低有效位 LSB 依序排列），再取剩餘的小數部分重複此步驟，直到小數部分為 $0$ 或達到所需精度為止。
2. 有限小數與循環小數的數學條件： 十進位既約分數 $\frac{P}{Q}$ 在 $R$ 進位下能表示為有限小數的充要條件為：分母 $Q$ 的所有質因數皆為基數 $R$ 質因數的子集。若分母含有無法被 $R$ 整除的質因數，轉換後必為「無限循環小數」。
3. IEEE-754 浮點數表示法的精度極限： 計算機硬體內部使用有限長度的位元儲存浮點數（如單精度 32 位元之尾數佔 23 位元，雙精度 64 位元之尾數佔 52 位元）。無法以有限二進位位元完全表示的無限循環小數，必會因捨入（Rounding）或截斷（Truncation）而產生表示誤差（Representation Error）。
4. 數值演算法終止條件設計： 單一判定「小數部分等於 $0$」在面對無限循環小數時會導致無窮迴圈（Infinite Loop），必須引入「最大精度位數」或「循環偵測」等複合終止機制。

解題方法

(一) 將十進位小數 $0.6875$ 轉換為二進位小數之過程

計算推導步驟：

1. $0.6875 \times 2 = 1.375$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$（十分位 $2^{-1}$，MSB），剩餘小數部分為 $0.375$。
2. $0.375 \times 2 = 0.75$ $\rightarrow$ 整數部分為 $0$（百分位 $2^{-2}$），剩餘小數部分為 $0.75$。
3. $0.75 \times 2 = 1.5$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$（千分位 $2^{-3}$），剩餘小數部分為 $0.5$。
4. $0.5 \times 2 = 1.0$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$（萬分位 $2^{-4}$，LSB），剩餘小數部分為 $0.0$。
5. 小數部分已為 $0$，符合結束條件，停止計算。

過程示意圖：

 [ 0.6875 ]
 × 2
 --------
 = 1.375 ──── 取整數部分 ───> 1 (第 1 位小數，2⁻¹，MSB)
 │ (取小數 0.375)
 ▼
 [ 0.375 ]
 × 2
 --------
 = 0.75 ──── 取整數部分 ───> 0 (第 2 位小數，2⁻²)
 │ (取小數 0.75)
 ▼
 [ 0.75 ]
 × 2
 --------
 = 1.5 ──── 取整數部分 ───> 1 (第 3 位小數，2⁻³)
 │ (取小數 0.5)
 ▼
 [ 0.5 ]
 × 2
 --------
 = 1.0 ──── 取整數部分 ───> 1 (第 4 位小數，2⁻⁴，LSB)
 │
 └──────> 小數部分為 0 ───> [ 結束 ]

由上往下讀取整數部分，轉換結果為：0.1011₂

(二) 將十進位小數 $0.3$ 轉換為二進位小數之過程與困難

計算推導步驟：

1. $0.3 \times 2 = 0.6$ $\rightarrow$ 整數部分為 $0$，剩餘小數部分為 $0.6$。
2. $0.6 \times 2 = 1.2$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$，剩餘小數部分為 $0.2$。
3. $0.2 \times 2 = 0.4$ $\rightarrow$ 整數部分為 $0$，剩餘小數部分為 $0.4$。
4. $0.4 \times 2 = 0.8$ $\rightarrow$ 整數部分為 $0$，剩餘小數部分為 $0.8$。
5. $0.8 \times 2 = 1.6$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$，剩餘小數部分為 $0.6$（小數部分 $0.6$ 重複出現，進入循環）。
6. $0.6 \times 2 = 1.2$ $\rightarrow$ 整數部分為 $1$，剩餘小數部分為 $0.2$。

過程示意圖：

 [ 0.3 ]
 × 2
 -------
 = 0.6 ──── 取整數部分 ───> 0
 │
 ▼
 [ 0.6 ] ◄─────────────────────────┐
 × 2 │
 ------- │
 = 1.2 ──── 取整數部分 ───> 1 │
 │ │
 ▼ │
 [ 0.2 ] │
 × 2 │
 ------- │ (小數部分 0.6 重複出現)
 = 0.4 ──── 取整數部分 ───> 0 │ (產生週期為 4 的循環節)
 │ │
 ▼ │
 [ 0.4 ] │
 × 2 │
 ------- │
 = 0.8 ──── 取整數部分 ───> 0 │
 │ │
 ▼ │
 [ 0.8 ] │
 × 2 │
 ------- │
 = 1.6 ──── 取整數部分 ───> 1 │
 │ (取小數 0.6) │
 └───────────────────────────────┘

產生循環序列：0.0100110011001...₂ = 0.01001₂ (循環節為 1001)

發生的困難：

1. 陷入無窮迴圈（無法滿足終止條件）： 十進位小數 $0.3 = \frac{3}{10}$，其分母含有質因數 $5$（非 $2$ 的冪次），在二進位下為無限循環小數（循環節為 $1001_2$）。
2. 其乘積的小數部分永遠不可能等於 $0$。若演算法僅以「乘上 2 後小數部分等於 0」作為結束條件，程式將陷入無窮迴圈（Infinite Loop）​而無法終止。

(三) 使用 IEEE-754 實數表示法是否會有誤差及其原因

結論：會產生誤差。

原因剖析：

1. 二進位循環小數無法以有限長度精確表達： 十進位數值 $0.3$ 轉換為二進位科學記號為： $0.3_{10} = 1.00110011001100110011001\dots_2 \times 2^{-2}$ 其尾數（Mantissa / Fraction）為無窮循環序列。
2. 硬體儲存位元數受限（有限精確度）： IEEE-754 標準中，浮點數的有效位數是固定的：

核心觀念

本題評量多媒體系統中經典靜態影像壓縮標準 JPEG（Joint Photographic Experts Group） 的核心運作機制與壓縮管線（Compression Pipeline）。主要涵蓋以下核心觀念與定義：

1. 空間分塊（Image Blocking）：JPEG 標準基準模式（Baseline JPEG）以 $8 \times 8$ 的像素矩陣作為基本處理單元（Data Unit）。
2. 離散餘弦轉換（Discrete Cosine Transform, DCT）：將空間域（Spatial Domain）的像素強度轉換至頻域（Frequency Domain），分離出直流成分（DC Coefficient，代表區塊平均亮度）與交流成分（AC Coefficients，代表不同頻率之紋理與細節），達到能量集中（Energy Compaction）效果。
3. 失真／無失真壓縮（Lossy vs. Lossless Compression）：

• 無失真（Lossless）：資料壓縮還原後與原始輸入完全相同，無任何資訊損失（消除統計冗餘）。
• 破壞性／失真（Lossy）：捨棄人類視覺系統（HVS）不敏感的資訊，解壓縮後無法百分之百還原原始數值（消除心理視覺冗餘）。

4. 量化（Quantization）與壓縮比控制：量化為 JPEG 演算法中唯一的失真來源。利用人類視覺對低頻敏感、對高頻遲鈍的生理特性，透過量化矩陣進行除法與四捨五入截斷，將大量高頻係數歸零，並藉由調整量化矩陣步階（品質因子 Quality Factor）來動態調整壓縮比。

解題方法

本題為標準的觀念問答題，各小題之解題論述脈絡如下：

1. 第 (一) 小題（分塊大小計算）： 依據 JPEG 規範，影像各通道（如 Y、Cb、Cr）在輸入轉換前會被切分為 $8 \times 8$ 的像素區塊，像素總數即為面積相乘： $8 \times 8 = 64 \text{ 像素（Pixels）}$

2. 第 (二) 小題（DCT 英文全名）： 寫出標準專有名詞 Discrete Cosine Transform，注意拼字與大小寫慣例。

3. 第 (三) 小題（Lossless 意涵）： 從資訊理論與編碼角度切入，明確定義「還原資料與原始資料完全一致（Bit-for-bit identical）」，並指出 JPEG 流程中的無失真步驟主要為熵編碼（如 Run-Length Encoding 與 Huffman Coding）。

4. 第 (四) 小題（壓縮比率可變之理由）： 聚焦於「量化（Quantization）」步驟中量化表（Quantization Table）與品質係數（Quality Factor）的縮放機制。量化矩陣的數值越大（粗量化），被截斷為 $0$ 的高頻交流係數越多，遊程長度越長，使熵編碼的壓縮比大幅提高，但畫質隨之降低；反之量化矩陣數值越小（細量化），保留細節越多，壓縮比降低但畫質提升。

5. 第 (五) 小題（量化之計算內容）： 寫出量化運算的數學公式。對於 DCT 轉換後的頻率係數矩陣 $F(u, v)$ 與對應的量化矩陣 $Q(u, v)$，其計算本質為「逐元素相除並取四捨五入整數」： $F_q(u, v) = \text{round}\left( \frac{F(u, v)}{Q(u, v)} \right)$ 說明其目的在於抑制高頻成分並產生大量連零，為不可逆的失真運算。

選項分析

本題為非選擇題（申論問答題），無選項可供拆解。各小題的評分要點與答題關鍵剖析如下：

• 第 (一) 小題： 若僅回答「$8 \times 8$」可能被扣除計算結果分數，必須明確寫出算式及總數「$8 \times 8 = 64$ 個像素」。
• 第 (二) 小題： 必須完整寫出「Discrete Cosine Transform」，若單字拼錯（如 Cosine 誤拼為 Cosin 或 Transform 拼錯）將依評分標準斟酌扣分。

核心觀念

本題評量作業系統（Operating System, OS）的基礎架構與核心模組運作機制，出自經典作業系統階層式模型（Layered Architecture）：

1. 雙重模式運作（Dual-Mode Operation）與核心（Kernel）：作業系統區分為核心模式（Kernel Mode / Supervisor Mode）與使用者模式（User Mode）。Kernel 為最底層且常駐記憶體的核心程式，具備特權指令執行權限。
2. 命令解譯器（Shell）與使用者介面（User Interface）：Shell 屬於使用者層級（User Space）的介面程式，負責接收並解析使用者指令，透過系統呼叫（System Call）向 Kernel 請求服務。
3. 處理元管理（Process Management）：區分「外存靜態工作（Job）」與「記憶體中動態執行單元（Process）」的生命週期、控制區塊（PCB）與排程階層（長程 vs. 短程排程）。
4. 虛擬記憶體與隨選分頁（Demand Paging）：分頁系統中利用分頁表（Page Table）之有效／無效位元（Valid/Invalid Bit）實作虛擬記憶體，當存取未載入實體記憶體的分頁時觸發分頁缺失中斷（Page Fault Interrupt）。

解題方法

本題為典型之申論問答題，解題切入點如下：

1. (一) 與 (二) 核心與外殼之對比：從「記憶體常駐性」、「執行模式（特權級別）」及「主要職責」精確定義 Kernel 與 Shell，並強調 Shell 運作於使用者空間，並非 Kernel 本身。
2. (三) 名詞全稱與概念：精確拼寫 GUI 之英文全名，並補述其人機互動本質（圖形元素與直覺操作）。
3. (四) 比較題型切入法：建立多維度比較指標（抽象層次、存在媒體、資源配置、管理排程器），剖析 Job 與 Process 的本質差異。
4. (五) 中斷機制與流程推導：先給出 Page Fault 的精確觸發定義（硬體 MMU 檢查無效位元產生之 Trap/Exception），再依序條列作業系統 Page Fault Handler 的標準處理步驟，展現扎實的系統觀念。

各小題深入解析

本題為申論問答題，無選擇題選項，各小題逐一深入分析如下：

• 第 (一) 小題：作業系統的 Kernel Kernel（核心）是作業系統的心臟與最基礎軟體模組。電腦開機完成引導（Bootstrap）後即常駐於主記憶體中，運作於 CPU 的特權模式（Kernel Mode）。其核心職責為抽象化底層硬體，統一管理與調度系統實體資源（CPU、主記憶體、I/O 裝置、儲存系統），並透過系統呼叫（System Calls）提供應用程式安全、受控的硬體存取服務。

• 第 (二) 小題：作業系統的 Shell Shell（命令解譯器／命令直譯器）是包覆於 Kernel 外部的使用者介面程式，運作於使用者模式（User Mode）。其功能在於提供人機互動介面，讀取使用者輸入的字元指令或腳本，解析語法後，轉換為相對應的系統呼叫或呼叫外部執行檔傳遞給 Kernel 執行，最後將執行結果呈現給使用者。常見實作如 Unix/Linux 環境下的 Bash、Zsh，以及 Windows 環境下的 Command Prompt 與 PowerShell。

• 第 (三) 小題：GUI 的英文全名 GUI 的英文全名為 Graphical User Interface（圖形使用者介面）。相較於傳統命令列介面（CLI），GUI 透過視窗（Windows）、圖示（Icons）、選單（Menus）與指標（Pointers）等視覺化圖形元素（WIMP 架構），讓使用者能以滑鼠或觸控等直覺動作與系統溝通。

• 第 (四) 小題：Process 與 Job 的差別

• Job（工作／作業）：屬於較高層次、使用者導向（User-oriented）的靜態概念。源自批次處理系統，指使用者提交給系統等待執行的整套任務，通常包含程式、資料與控制命令（如 JCL）。Job 尚未載入主記憶體前存放於次級儲存體（磁碟）的佇列中，由長程排程器（Job Scheduler）調配進入系統的資格。

• Process（行程／進程）：屬於較低層次、系統導向（OS-oriented）的動態概念。定義為「正在執行中的程式實體（a program in execution）」。當 Job 被選取載入主記憶體、分配專屬的記憶體空間（包含 Text、Data、Heap、Stack）並由作業系統建立行程控制區塊（PCB）後，即成為 Process，由 CPU 排程器（短程排程器）直接調派 CPU 執行。