107 地方特考三等 電子工程 半導體工程 考古題詳解

核心觀念

1. 半導體晶體結構（Crystal Structures）：

• 單晶矽（Si）：屬於第 IV 族元素半導體，結晶為鑽石結構（Diamond structure）。以面心立方（FCC）晶格為骨幹，基底（basis）包含 2 個相同的矽原子，各原子藉由 $sp^3$ 混成軌域與相鄰 4 個原子形成正四面體共價鍵，配位數為 4，每單位晶胞內含 8 個矽原子。
• 砷化鎵（GaAs）：屬於 III-V 族化合物半導體，結晶為閃鋅礦結構（Zincblende structure）。幾何架構與鑽石結構相同，但由兩種異種原子構成兩個相互穿插的 FCC 子晶格（Ga 子晶格與 As 子晶格沿體對角線平移 $\frac{1}{4}$ 對角線長度），每單位晶胞含 4 個 Ga 原子與 4 個 As 原子。
• 氮化鎵（GaN）：屬於 III-V 族寬能隙半導體，常溫常壓熱力學穩定相為六方纖鋅礦結構（Wurtzite structure）。由 Ga 與 N 構成兩個相互穿插的六方密堆積（HCP）子晶格，沿 $c$ 軸位移約 $\frac{3}{8}c$，每個原子呈四面體配位，具強烈極化效應。

2. 砷化鎵電子傳輸與負微分移動率（Negative Differential Mobility, NDM）：

• GaAs 的導電帶具有多能谷結構（Multi-valley structure）：中央低能谷為 $\Gamma$ 谷（有效質量小、移動率高）；上方衛星能谷為 $L$ 谷（能量高出約 $\Delta E \approx 0.31\text{ eV}$，態密度大、有效質量大、移動率低）。
• 轉移電子效應（Transferred-Electron Effect / Ridley-Watkins-Hilsum 機制）：在低電場下，電子處於 $\Gamma$ 谷，漂移速度隨電場增加而線性上升（$v = \mu \mathcal{E}$）；當電場超過臨界電場 $\mathcal{E}_c$ 時，電子獲得足夠能量轉移至高能、大有效質量、低移動率的 $L$ 谷，造成平均漂移速度隨電場增加反而下降，形成負微分移動率，最終於高電場下趨於飽和速度 $v_{sat}$。

解題方法

1. 第（一）小題：

• 從「布拉菲晶格（Bravais lattice）」、「基底原子座標（Basis coordinates）」、「配位數與單位晶胞原子數」三維度分別解析 Si、GaAs、GaN。
• 繪製結構圖時，Si 與 GaAs 以 FCC 立方晶胞配合內部四面體間隙原子呈現；GaN 以六方晶胞堆疊與四面體配位呈現。

2. 第（二）小題：

• 依據題目附圖（GaAs 之電子漂移速度 $v_d$ 對電場 $\mathcal{E}$ 關係圖），分三階段（低電場歐姆區、負微分移動率區、高電場飽和區）闡明傳輸機制的轉變。
• 引用二能谷模型（Two-valley Model）之能帶結構參數（$\Gamma$ 谷與 $L$ 谷之能量差 $\Delta E$、有效質量 $m^*$、移動率 $\mu$），推導並說明電子群體平均漂移速度之物理成因。

解題技巧

1. 晶體繪圖竅門：

• 鑽石／閃鋅礦結構：畫一個立方體並將其均分為 8 個八分之一小立方體。先畫 FCC 的 8 個頂點與 6 個面心，接著在交錯的 4 個小立方體中心填入內部原子。
• 若為 Si：全部原子皆標示為 Si。
• 若為 GaAs：頂點與面心標示為 Ga，4 個小立方體內部標示為 As（反之亦可）。
• 纖鋅礦結構：強調六角稜柱（Hexagonal prism）或雙六方密堆疊層，明確標出 $c$ 軸方向 Ga-N 雙原子層的沿軸位移。

2. 傳輸特性陷阱：

• 負微分移動率（NDM）並非因游離碰撞（Impact ionization）或速度飽和所致，其先決條件是「上能谷與下能谷的能量差 $\Delta E$ 必須小於能隙 $E_g$（GaAs 中 $\Delta E \approx 0.31\text{ eV} < E_g \approx 1.42\text{ eV}$）」，電子才能在發生突崩潰前順利完成能谷間轉移（Intervalley transfer）。

詳解與繪圖說明

（一）單晶矽晶圓、砷化鎵和氮化鎵之晶體結構說明與圖示

1. 單晶矽晶圓（Silicon, Si）

• 晶體結構：鑽石結構（Diamond Structure）。
• 結構特徵：
• 由兩個相同的面心立方（FCC）子晶格沿體對角線平移 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)a$ 相互穿插而成（$a$ 為晶格常數）。
• 基底（Basis）：每個晶格點帶有 2 個矽原子，分別位於 $(0,0,0)$ 與 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$。
• 配位數（Coordination Number）：4。每個 Si 原子以四面體配位與 4 個相鄰 Si 原子形成共價鍵（$sp^3$ 混成）。
• 單位晶胞原子數：8 個矽原子（頂點 $8 \times \frac{1}{8} = 1$、面心 $6 \times \frac{1}{2} = 3$、內部四面體間隙 4 個全部計入，合計 $1 + 3 + 4 = 8$）。
• 晶體結構示意圖：

 Si 鑽石結構單位晶胞（Diamond Lattice）
 (0,1,1) ●───────●───────● (1,1,1)
 /│ /│ /│
 / │ ○ / │ / │
 ●───────●───────● │
 /│ │ /│ │ /│ │
 / │ ● / │ ● / │ ●
 ●───────●───────● │ /│
 │ │/ │ │/ │ │/ │
 │ ●───│───●───│──● │ ○：內部四面體位置 Si 原子
 │ / │ / │ / │ 位於 (1/4, 1/4, 1/4) 等 4 處
 │/ │/ │/ │ ●：FCC 頂點與面心 Si 原子
 ●───────●───────● │
 (0,0,0) (1,0,0)

2. 砷化鎵（Gallium Arsenide, GaAs）

• 晶體結構：閃鋅礦結構（Zincblende Structure）。
• 結構特徵：
• 空間幾何排列與鑽石結構完全相同，但由兩種不同的元素構成。
• 基底（Basis）：Ga 原子佔據一組 FCC 子晶格（如頂點與面心），As 原子佔據另一組沿體對角線平移 $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)a$ 的 FCC 子晶格（即位於 4 個內部八分之一小立方體的中心位置）。
• 配位數：4。每個 Ga 原子周圍有 4 個 As 原子包圍成正四面體；每個 As 原子周圍亦有 4 個 Ga 原子包圍成正四面體。
• 單位晶胞原子數：4 個 Ga 原子與 4 個 As 原子（總計 8 個原子）。
• 晶體結構示意圖：

 GaAs 閃鋅礦結構單位晶胞（Zincblende Lattice）
 ●───────●───────●
 /│ /│ /│
 / │ ▲ / │ / │
 ●───────●───────● │
 /│ │ /│ │ /│ │
 / │ ● / │ ● / │ ●
 ●───────●───────● │ /│
 │ │/ │ │/ │ │/ │
 │ ●───│───●───│──● │ ▲：砷原子（As，位於內部四面體間隙）
 │ / │ / │ / │ ●：鎵原子（Ga，位於 FCC 頂點與面心）
 │/ │/ │/ │
 ●───────●───────● │

核心觀念

本題評量半導體物理中雜質摻雜（Doping）、熱平衡載子濃度（Thermal Equilibrium Carrier Concentrations）​與費米能階（Fermi Level）​的關聯性，主要涵蓋以下公式與定義：

1. 受質完全游離（Complete Ionization）： 硼（$\mathrm{B}$）為週期表第 $\mathrm{III}$ 族元素，摻入矽（$\mathrm{Si}$）中作為受質（Acceptor），受質濃度以 $N_a$ 表示。在室溫（$300\ \mathrm{K}$）熱平衡下，外加受質雜質全數游離產生電洞，多數載子濃度滿足： $p \approx N_a$
2. 質量作用定律（Mass-Action Law）： 在熱平衡非簡併（Non-degenerate）半導體中，電子濃度 $n$ 與電洞濃度 $p$ 之積恆為本質載子濃度平方： $n \cdot p = n_i^2 \implies n = \frac{n_i^2}{p}$
3. 費米能階相對於本質費米能階（中間能隙）之關係式： 未特別強調傳導帶與價帶有效狀態密度差異時，本質費米能階 $E_i$ 即視為中間能隙（Midgap Energy, $E_{midgap} \approx E_i$）。電洞濃度與費米能階的關係式為： $p = n_i \exp\left(\frac{E_i - E_F}{kT}\right)$ 移項可得費米能階相對於中間能隙的能量差： $E_i - E_F = kT \ln\left(\frac{p}{n_i}\right) \approx kT \ln\left(\frac{N_a}{n_i}\right)$ 其中 $k$ 為波茲曼常數，$T = 300\ \mathrm{K}$ 時熱能 $kT \approx 0.0259\ \mathrm{eV}$。

解題方法

步驟一：判定半導體型態與多數載子濃度

矽晶圓摻入硼原子濃度 $N_a = 10^{17}\ \mathrm{cm}^{-3}$，由於 $N_a \gg n_i$（$10^{17} \gg 9.65 \times 10^9\ \mathrm{cm}^{-3}$），此晶圓為 $\mathrm{p}$ 型半導體。 在室溫 $300\ \mathrm{K}$ 下，受質全數游離，電洞濃度（多數載子）為： $p \approx N_a = 10^{17}\ \mathrm{cm}^{-3}$

步驟二：計算少數載子濃度

根據質量作用定律，代入題目給定的本質載子濃度 $n_i = 9.65 \times 10^9\ \mathrm{cm}^{-3}$： $n = \frac{n_i^2}{p} = \frac{(9.65 \times 10^9)^2}{10^{17}} = \frac{93.1225 \times 10^{18}}{10^{17}} \approx 9.31 \times 10^2\ \mathrm{cm}^{-3} \quad (\text{或 } 931.2\ \mathrm{cm}^{-3})$

步驟三：計算費米能階相對於中間能隙的位置

取室溫 $T = 300\ \mathrm{K}$ 之熱電壓能量值 $kT \approx 0.0259\ \mathrm{eV}$： $E_i - E_F = kT \ln\left(\frac{N_a}{n_i}\right)$ 計算對數項之比值：

核心觀念

本題評量半導體物理中的「載子統計與能帶理論」以及半導體製造核心技術「離子佈植與熱退火」。

1. 簡併半導體（Degenerate Semiconductor）的物理定義與統計條件：

• 典型非簡併半導體滿足麥克斯威-波茲曼近似（Maxwell-Boltzmann Approximation），即載子濃度遠小於導帶或價帶的有效態密度（Effective Density of States, $N_c$ 或 $N_v$），費米能階 $E_F$ 位於能隙內且距離能帶邊界至少 $3 k_B T$。
• 當摻雜濃度極高時，波茲曼近似失效，必須回歸費米-狄拉克分佈（Fermi-Dirac Distribution），費米能階逼近甚至進入導帶（n 型）或價帶（p 型），此狀態即稱為「簡併半導體」。

2. 重摻雜下的能隙變窄效應（Bandgap Narrowing, BGN）：

• 高濃度雜質使雜質能階展寬並與能帶邊界重疊，伴隨高密度載子間的交互作用（多體效應，Many-body effects），導致物理禁帶寬度（Energy Bandgap, $E_g$）有效縮小。

3. 離子佈植（Ion Implantation）與熱處理（Annealing）機制：

• 離子佈植屬於高能非平衡物理轟擊製程，雜質離子植入靶材晶圓時會撞擊矽晶格原子，引發連鎖碰撞位移，產生晶格損傷（Lattice Damage）乃至非晶化（Amorphization）。
• 植入之雜質多數停留在無電氣活性的晶格間隙（Interstitial sites），無法提供自由載子，必須藉由熱能促成晶格重組與晶格取代。

解題方法

• 第（一）小題前半：從「摻雜濃度條件」與「能帶/能階位置」雙重角度切入。說明摻雜濃度 $N_D$（或 $N_A$）與有效態密度 $N_c$（或 $N_v$）的相對大小關係，並指出費米能階 $E_F$ 相對於傳導帶底 $E_c$ 或價電帶頂 $E_v$ 的位移情形，以及統計方法由波茲曼轉為費米-狄拉克的邊界。
• 第（一）小題後半：從物理機制說明高摻雜對能帶結構的修正，點出「能隙變窄（Bandgap Narrowing, BGN）」效應及其微觀原因（雜質能帶展寬、波函數重疊、載子多體交換效應）。
• 第（二）小題：依序鎖定離子佈植後的兩大物理缺陷：(1) 晶格被高能離子破壞；(2) 雜質離子未處於正確晶格點。據此明確列出熱處理的兩大核心目的——「修復晶格缺陷（再結晶）」與「電性活化（雜質進入取代位置）」。

【答案】

（一）

1. 形成簡併半導體的條件（3 分）： 當半導體受到重度摻雜（Heavy Doping）​時，載子濃度與摻雜濃度大幅提高至接近或超越有效態密度（即 n 型半導體之 $N_D \ge N_c$；p 型半導體之 $N_A \ge N_v$，通常雜質濃度大於 $10^{19} \sim 10^{20}\text{ cm}^{-3}$）。 此時載子統計無法再使用麥克斯威-波茲曼近似，必須使用費米-狄拉克分佈。其能帶特徵為：

• n 型半導體：費米能階 $E_F$ 上移至距離傳導帶邊緣 $E_c$ 小於約 $3 k_B T$ 範圍內，甚至進入傳導帶內部（$E_F \ge E_c$）。
• p 型半導體：費米能階 $E_F$ 下移至距離價電帶邊緣 $E_v$ 小於約 $3 k_B T$ 範圍內，甚至進入價電帶內部（$E_F \le E_v$）。 在此狀態下，半導體的導電行為與電阻溫度係數將趨近於金屬導體。

核心觀念

本題評量半導體元件物理中最基礎且關鍵的「載子傳輸與守恆原理（Carrier Transport and Conservation）」。

1. 連續方程式（Continuity Equation）本質：建立在「粒子守恆定律（Conservation of Particles）」上。在任意微小半導體體積內，載子濃度隨時間的淨變化率，等於「空間傳輸流入流出之淨通量（漂移與擴散）」加上「內部產生率（Generation rate）」並扣除「內部複合率（Recombination rate）」。
2. $n$ 型半導體的著眼點：在 $n$ 型半導體中，多數載子為電子（$n_n \approx N_d$），少數載子為電洞（$p_n$）。在低微擾注入（Low-Level Injection, LLI）條件下，多數載子濃度的相對變化極微，元件行為（如 $pn$ 接面二極體、BJT 等）主要由少數載子（電洞 $p_n$）的連續方程式所主導。因此作答時，須完整列出一般通式，並重點聚焦於少數載子（電洞）之連續方程式及其展開型態。

解題方法

從一維微小體積區間 $[x, x + \Delta x]$ 進行載子出入平衡推導：

1. 基本物理守恆式（向量通式）

對電洞（帶正電 $+q$）與電子（帶負電 $-q$）： $\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q} \nabla \cdot \vec{J}_p + (G_p - R_p)$ $\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot \vec{J}_n + (G_n - R_n)$

2. $n$ 型半導體中少數載子（電洞 $p_n$）之一維展開

在一維空間下，電洞電流密度 $\vec{J}_p$ 由漂移（Drift）與擴散（Diffusion）兩成分組成： $J_p = q \mu_p p_n \mathcal{E} - q D_p \frac{\partial p_n}{\partial x}$

將 $J_p$ 對空間微分代入守恆式： $\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\frac{1}{q} \frac{\partial}{\partial x} \left[ q \mu_p p_n \mathcal{E} - q D_p \frac{\partial p_n}{\partial x} \right] + G_p - R_p$

若假設材料均勻（擴散係數 $D_p$ 與遷移率 $\mu_p$ 為常數），且外加均勻電場（$\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial x} = 0$）： $\frac{\partial p_n}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 p_n}{\partial x^2} - \mu_p \mathcal{E} \frac{\partial p_n}{\partial x} + G_p - R_p$

在低微擾注入條件下，淨複合項可簡化為過剩載子濃度與少數載子生命期之比值：$R_p - G_{p0} = \frac{p_n - p_{n0}}{\tau_p}$，因此方程式可表示為： $\frac{\partial p_n}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 p_n}{\partial x^2} - \mu_p \mathcal{E} \frac{\partial p_n}{\partial x} + G_{pL} - \frac{p_n - p_{n0}}{\tau_p}$

選項分析

本題為非選擇題（申論推導題）。針對一維少數載子連續方程式中之五大項次，逐項進行物理意義與影響因素之深度剖析：

1. 時間變化率項 $\frac{\partial p_n}{\partial t}$

• 物理意義：單位時間內、單位體積中少數載子（電洞）濃度的淨累積或淨流失率。
• 影響因素：系統處於暫態（Transient）或穩態（Steady-state）。若系統達穩態，則 $\frac{\partial p_n}{\partial t} = 0$。

2. 擴散項 $D_p \frac{\partial^2 p_n}{\partial x^2}$

• 物理意義：因載子濃度在空間中分佈不均勻，藉由擴散作用造成的淨載子通量流入率。
• 影響因素：
• 電洞擴散係數 $D_p$：由愛因斯坦關係式（Einstein Relation）$D_p = \mu_p \left( \frac{kT}{q} \right)$ 決定，直接受絕對溫度 $T$ 與載子遷移率 $\mu_p$ 影響。
• 濃度分佈的二階空間導數 $\frac{\partial^2 p_n}{\partial x^2}$：濃度隨空間變化的曲率（Curvature）。若曲率大於零（呈現向下凹），表示兩端濃度高於中心，淨擴散流入使該點濃度增加。

3. 漂移項 $-\mu_p \mathcal{E} \frac{\partial p_n}{\partial x}$

• 物理意義：在外加電場作用下，電洞定向移動（漂移電流梯度）所導致的淨載子通量變化。
• 影響因素：

核心觀念

1. 間接能隙半導體的產生與復合機制（SRH 理論）： 間接能隙半導體（如矽 $\text{Si}$、鍺 $\text{Ge}$）的導帶最低點與價帶最高點在 $k$ 空間中具有不同的晶格動量（$\Delta k \neq 0$）。因此，帶對帶（band-to-band）的直接輻射躍遷機率極低，非平衡載子的產生與復合主要透過禁帶中的深能階缺陷或雜質中心（Trap / Recombination Center，能量為 $E_t$）輔助進行，此即 Shockley-Read-Hall（SRH）模型。該模型包含四個基本微觀過程：

• 電子捕捉（Electron Capture）
• 電子放射（Electron Emission）
• 電洞捕捉（Hole Capture）
• 電洞放射（Hole Emission）

2. Haynes-Shockley 實驗原理： 該實驗用於獨立量測半導體中少數載子（minority carriers）的三大關鍵傳輸參數：

• 漂移遷移率（Drift Mobility, $\mu$）
• 擴散係數（Diffusion Coefficient, $D$）
• 載子復合生命週期（Lifetime, $\tau$）

少數載子的一維時間－空間分佈遵循連續方程式： $\frac{\partial (\Delta p)}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 (\Delta p)}{\partial x^2} - \mu_p \mathcal{E} \frac{\partial (\Delta p)}{\partial x} - \frac{\Delta p}{\tau_p}$ 其點脈衝注入的解為隨時間演變的高斯分佈： $\Delta p(x,t) = \frac{N}{\sqrt{4\pi D_p t}} \exp\left[ -\frac{(x - \mu_p \mathcal{E} t)^2}{4 D_p t} \right] \exp\left( -\frac{t}{\tau_p} \right)$

解題方法

1. 第（一）小題：SRH 四大微觀過程之圖解與定義

• 繪製能帶圖，標記導帶底 $E_c$、陷阱能階 $E_t$、價帶頂 $E_v$。
• 統一以「電子的物理躍遷」作為基準來描述所有過程：
• 電子從 $E_c \to E_t$ 為電子捕捉。
• 電子從 $E_t \to E_c$ 為電子放射。
• 電子從 $E_t \to E_v$（填補價帶電洞）為電洞捕捉。
• 電子從 $E_v \to E_t$（在價帶留下電洞）為電洞放射。

2. 第（二）小題：實驗架構圖與載子空間分佈對比

• 實驗裝置圖：包含 $n$ 型半導體樣品棒、提供縱向電場 $\mathcal{E}$ 的直流電源、脈衝光或電極注入端（少數載子電洞注入源）、收集端（肖特基接點或探針）與示波器信號量測迴路。
• 載子空間分佈：
• 無外加電場（$\mathcal{E} = 0$）：純擴散與復合，高斯分佈中心固定於注入點 $x = 0$ 不移動；隨時間增加，半高寬因擴散而展寬，峰值因復合與擴散而對稱衰減。
• 有外加電場（$\mathcal{E} > 0$）：漂移、擴散與復合共存。因樣品為 $n$ 型，少數載子為帶正電之電洞，電洞沿電場方向漂移，波包中心位置隨時間右移（$x_c = v_d t = \mu_p \mathcal{E} t$），波包同時展寬且峰值衰減。

選項分析

本題為問答申論與圖形繪製題，無選擇選項。閱卷重點著重於：

1. 能階圖中箭頭方向及載子性質定義是否正確。
2. 實驗電路偏壓極性、少數載子種類判定是否精確。
3. 載子分佈波形隨時間變化的三項物理特徵（位移、展寬、振幅衰減）是否完整標示。

解題技巧與常見陷阱

1. 電洞捕捉與放射的箭頭方向常被畫反：

• 記法訣竅：「半導體物理中的所有躍遷箭頭，本質上都是電子的移動軌跡」。
• 電子往能量低處掉（$E_t \to E_v$），代表電子填滿了價帶空缺，即消除一個電洞 $\to$ 電洞捕捉。
• 電子由價帶跳至陷阱（$E_v \to E_t$），代表價帶產生一個未配對的空缺，即產生一個電洞 $\to$ 電洞放射。

2. Haynes-Shockley 實驗測量的是「少數載子」：

• 題目指定「以 $n$ 型半導體為例」，少數載子為電洞（hole），帶正電荷。
• 若外加電場 $\mathcal{E}$ 指向右方，則電洞之漂移速度 $v_d = \mu_p \mathcal{E}$ 亦向右漂移。切勿誤當成多數載子（電子）而往反方向畫，此處為國考最常見致命失分點。

3. 載子分佈圖的時間序列性：

• 作圖時必須畫出至少三個時間點（$t_1 < t_2 < t_3$）的曲線重疊或對比，並清楚表現出「面積縮小（復合）」、「峰值下降」、「寬度變寬（擴散）」的動態物理過程。

【答案】

（一）間接能隙半導體材料中四種電子與電洞產生與復合過程

在間接能隙半導體中，產生與復合過程由位於禁帶中的重組中心能階 $E_t$ 主導，四大微觀機制圖解如下：

核心觀念

本題旨在評量對半導體材料接觸前後的能帶理論、熱平衡條件及 $pn$ 接面形成物理機制的掌握度。核心觀念包含：

1. 費米能階與載子型態：

• $n$ 型半導體中多數載子為電子，其費米能階 $E_{Fn}$ 靠近導帶底 $E_c$。
• $p$ 型半導體中多數載子為電洞，其費米能階 $E_{Fp}$ 靠近價帶頂 $E_v$。

2. 功函數（Work Function, $\Phi$）與電子親和力（Electron Affinity, $\chi$）：

• 功函數定義為電子由費米能階脫離至真空能階 $E_0$ 所需之最小能量，即 $\Phi = E_0 - E_F$。
• 電子親和力 $\chi = E_0 - E_c$ 在同一均質半導體中為定值。因 $E_{Fn} > E_{Fp}$，可知兩者功函數滿足 $\Phi_p > \Phi_n$。

3. 熱平衡（Thermal Equilibrium）準則：

• 當 $p$ 型與 $n$ 型半導體緊密接觸達熱平衡且無外加偏壓時，系統內無淨電流流動，全系統的費米能階必須維持為一連續且水平的常數線（$\frac{dE_F}{dx} = 0$）。

4. 內建電位（Built-in Potential, $V_{bi}$）與能帶彎曲（Band Bending）：

• 電子由 $n$ 側向 $p$ 側擴散、電洞由 $p$ 側向 $n$ 側擴散，於交界面附近留下未補償的游離施體正離子（$N_D^+$）與游離受體負離子（$N_A^-$），形成空間電荷區（空乏區）。
• 空間電荷區建立由 $n$ 指向 $p$ 的內建電場 $\mathcal{E}$，電位在 $n$ 側較高、在 $p$ 側較低。
• 因電子帶負電（$-q$），電子位能 $E = -qV$，故能帶在 $p$ 側向上彎曲（能量較高）、在 $n$ 側相對向下，總彎曲能量即為 $qV_{bi} = E_{Fn} - E_{Fp} = \Phi_p - \Phi_n$。

解題方法

本題為申論繪圖題，作圖切入點依序分為「形成接面前（隔離狀態）」與「形成接面後（熱平衡狀態）」兩階段。

一、形成接面前之能階圖（隔離狀態）

1. 基準設定：兩塊半導體尚未接觸且彼此隔離，以共同的「真空能階（$E_0$）」為水平基準線。
2. 能帶位置：

• $p$ 型半導體：功函數較大（$\Phi_p$），費米能階 $E_{Fp}$ 位於本徵費米能階 $E_i$ 與價帶頂 $E_v$ 之間，靠近 $E_v$。
• $n$ 型半導體：功函數較小（$\Phi_n$），費米能階 $E_{Fn}$ 位於本徵費米能階 $E_i$ 與導帶底 $E_c$ 之間，靠近 $E_c$。
• 同一材料的能隙 $E_g = E_c - E_v$ 與電子親和力 $\chi = E_0 - E_c$ 在兩側均保持相同。

【接面前能階圖（以真空能階 E0 為水平基準）】

真空能階 E0 ─────────────────────────────────── ───── ───────────────────────────────────
 │ │ │ │
 │ qχ │ qΦp │ qχ │ qΦn
 ▼ ▼ ▼ ▼
導帶底 Ec ───────────────────── ─────────────────────
 ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ 費米能階 EFn
本徵能階 Ei - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
 ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ 費米能階 EFp
價帶頂 Ev ───────────────────── ─────────────────────

 【 p 型半導體】 【 n 型半導體】

二、形成接面後之能階圖（熱平衡狀態）

1. 基準設定：接觸達熱平衡後，全系統的「費米能階（$E_F$）」必為一條平直水平線。
2. 能帶分布與彎曲：

• 中性區（Quasi-neutral regions）：
• 在 $x < -x_p$（$p$ 側中性區）與 $x > x_n$（$n$ 側中性區），能帶維持平直，且 $E_F$ 與 $E_c$、$E_v$ 的相對間距與接觸前相同。
• 空乏區（Depletion region, $-x_p \le x \le x_n$）：
• 因空間電荷與內建電位差 $V_{bi}$，能帶發生連續平滑的彎曲。
• 總能帶彎曲高度為： $qV_{bi} = E_{Fn} - E_{Fp} = k T \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right)$
• 彎曲處 $E_c$、$E_i$、$E_v$ 隨位置 $x$ 完全平行，任一位置的能隙 $E_g = E_c(x) - E_v(x)$ 恆為常數。

核心觀念

本題評量 $pn$ 接面二極體在順向偏壓（Forward Bias）下的微觀載子傳輸機制與電流連續性，核心涵蓋三大物理概念：

1. 蕭克萊邊界條件（Shockley Boundary Conditions）： 施加順向偏壓 $V_a > 0$ 時，空乏區內建位能障由 $V_{bi}$ 降為 $V_{bi} - V_a$。多數載子越過位能障注入對側，使空乏區邊界之少數載子濃度大幅提升，滿足指數關係式： $p_n(x_n) = p_{n0} \exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right)$ $n_p(-x_p) = n_{p0} \exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right)$ 其中 $p_{n0} = n_i^2 / N_D$ 與 $n_{p0} = n_i^2 / N_A$ 分別為 $n$ 區與 $p$ 區之熱平衡少數載子濃度。

2. 準中性區少數載子擴散與復合： 注入準中性區的過剩少數載子（Excess minority carriers）藉由擴散（Diffusion）​向深處移動，並隨行進距離增加與多數載子發生復合（Recombination），濃度依特徵擴散長度（$L_n, L_p$）呈指數衰減。

3. 各區電流分量與電流連續性：

• 少數載子電流：在準中性區主要由少數載子擴散所貢獻，大小與濃度梯度成正比。
• 多數載子電流：為維持電中性並補充復合消耗的載子，由歐姆接觸端注入多數載子形成漂移電流（Drift current）。
• 空乏區電流：在理想二極體（無產生／復合）假設下，電子電流與電洞電流橫跨空乏區保持常數，總電流 $J_{total} = J_n(x) + J_p(x)$ 在二極體內任意截面皆為定值。

解題方法

假設冶金接面（Metallurgical Junction）位於 $x = 0$，空乏區範圍為 $-x_p \le x \le x_n$（長二極體 Long-base diode 條件）：

1. 少數載子濃度分布推導與電壓關係式

在低階注入（Low-level injection）條件下，準中性區的過剩少數載子滿足定態擴散方程式：

• $n$ 型區（$x > x_n$）：$\frac{d^2 \Delta p_n(x)}{dx^2} = \frac{\Delta p_n(x)}{L_p^2}$，解得： $p_n(x) = p_{n0} + \Delta p_n(x_n) \exp\left(-\frac{x - x_n}{L_p}\right)$ 其中少數載子與電壓之關係式為： $\Delta p_n(x_n) = p_n(x_n) - p_{n0} = p_{n0} \left[\exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right) - 1\right]$

• $p$ 型區（$x < -x_p$）：$\frac{d^2 \Delta n_p(x)}{dx^2} = \frac{\Delta n_p(x)}{L_n^2}$，解得： $n_p(x) = n_{p0} + \Delta n_p(-x_p) \exp\left(\frac{x + x_p}{L_n}\right)$ 其中少數載子與電壓之關係式為： $\Delta n_p(-x_p) = n_p(-x_p) - n_{p0} = n_{p0} \left[\exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right) - 1\right]$

2. 電子與電洞電流密度分布推導

• 中性 $n$ 區（$x > x_n$）：

• 電洞擴散電流密度： $J_p(x) = -q D_p \frac{dp_n(x)}{dx} = \frac{q D_p p_{n0}}{L_p}\left[\exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right) - 1\right]\exp\left(-\frac{x - x_n}{L_p}\right)$

• 電子電流密度（漂移為主，維持總電流固定）： $J_n(x) = J_{total} - J_p(x)$

• 中性 $p$ 區（$x < -x_p$）：

• 電子擴散電流密度： $J_n(x) = q D_n \frac{dn_p(x)}{dx} = \frac{q D_n n_{p0}}{L_n}\left[\exp\left(\frac{qV_a}{kT}\right) - 1\right]\exp\left(\frac{x + x_p}{L_n}\right)$

• 電洞電流密度（漂移為主）： $J_p(x) = J_{total} - J_n(x)$

• 空乏區（$-x_p \le x \le x_n$）： 理想條件下忽略載子復合，各電流橫跨空乏區維持定值： $J_n(x) = J_n(-x_p), \quad J_p(x) = J_p(x_n)$

核心觀念

本題考查 金氧半（MOS）電容結構在強反轉（Strong Inversion）條件下的最大空乏區寬度（Maximum Depletion Width, $W_{\max}$ 或 $x_{dT}$）。

1. 強反轉臨界條件： 當閘極電壓增加使半導體表面電位（Surface Potential）$\psi_s$ 達到兩倍費米電位（$2\phi_F$）時，表面反轉層載子濃度等於基板主體摻雜濃度，此時定義為「強反轉臨界點」： $\psi_s(\text{inv}) = 2\phi_F$ 其中，p 型基板的費米電位定義為： $\phi_F = \frac{kT}{q} \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right) = V_t \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$ （$V_t$ 為熱電壓，$n_i$ 為矽本質載子濃度）。

2. 最大空乏區寬度： 當元件進入強反轉區後，表面產生高濃度的移動性反轉載子（電子），額外增加的閘極電壓感應電荷幾乎完全由反轉層電子提供，使表面電位被箝制在接近 $2\phi_F$，空乏區寬度不再顯著增加，達到最大值。由一維 Poisson 方程式結合空乏近似法（Depletion Approximation）可得： $W_{\max} = \sqrt{\frac{2\epsilon_s \psi_s(\text{inv})}{q N_A}} = \sqrt{\frac{4\epsilon_s \phi_F}{q N_A}}$ 其中 $\epsilon_s = \epsilon_r \epsilon_0$ 為矽半導體的介電常數。

解題方法

題目未指定溫度與本質載子濃度，依國家考試慣例，取室溫 $T = 300\ \mathrm{K}$，此時熱電壓 $V_t \approx 0.0259\ \mathrm{V}$，矽本質載子濃度 $n_i \approx 1.5 \times 10^{10}\ \mathrm{cm}^{-3}$。

步驟一：整理已知常數與參數

• 相對介電常數：$\epsilon_r = 11.9$
• 真空介電常數：$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-14}\ \mathrm{F/cm}$
• 矽介電常數： $\epsilon_s = \epsilon_r \epsilon_0 = 11.9 \times (8.85 \times 10^{-14}\ \mathrm{F/cm}) \approx 1.053 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/cm}$
• 受質摻雜濃度：$N_A = 10^{17}\ \mathrm{cm}^{-3}$
• 基本電荷：$q = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$

步驟二：計算費米電位 $\phi_F$ 與表面電位 $\psi_s(\text{inv})$

$\phi_F = V_t \ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right) = 0.0259 \times \ln\left(\frac{10^{17}}{1.5 \times 10^{10}}\right) \approx 0.0259 \times \ln(6.67 \times 10^6) \approx 0.0259 \times 15.712 \approx 0.407\ \mathrm{V}$ 強反轉臨界表面電位： $\psi_s(\text{inv}) = 2\phi_F = 2 \times 0.407\ \mathrm{V} \approx 0.814\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題為經典的半導體材料與薄膜製程問答題，涵蓋以下核心觀念：

1. 異質接面（Heterojunction）定義：由兩種「不同半導體材料」（具有不同能隙 $E_g$、電子親和力 $\chi$、介電常數 $\varepsilon$ 及晶格常數 $a$）所形成的冶金介面，與同種材料構成的「同質接面（Homojunction）」形成對比。
2. 磊晶（Epitaxy）定義：在單晶基板（Substrate）表面上，依據基板的結晶位向，有順序地沉積生長一層與基板具有相同或對應結晶結構之單晶薄膜的技術。
3. 高品質異質磊晶（Heteroepitaxy）的物理要素：

• 晶格常數匹配（Lattice matching）與臨界厚度（Critical thickness, $h_c$）理論。
• 熱膨脹係數匹配（Thermal expansion coefficient matching）。
• 晶體結構與化學對稱性相容（避免反向疇邊界 Antiphase Boundaries, APB）。
• 介面化學穩定性與互擴散控制（Interdiffusion / Autodoping control）。
• 基板表面潔淨度與原子級微結構（表面重構、Step-flow growth 模式）。

解題方法

本題由三個連續子題構成，作答切入點宜採「層次分明、條理列點、定義明確、機制佐證」的架構：

1. 第一部分（異質接面）：先給出嚴謹定義，強調材料本質相異（能隙與電子親和力不同導致介面能帶不連續，即 $\Delta E_c$ 與 $\Delta E_v$），並簡要列舉其分類（Type I、Type II、Type III）與主要元件應用（如 HBT、HEMT、半導體雷射）。
2. 第二部分（磊晶）：說明語源（希臘文 epi- 於其上 + taxis 規則排列）與單晶延續性本質，區分同質磊晶與異質磊晶，並簡述常見工業磊晶技術（MBE、MOCVD、LPE）。
3. 第三部分（高品質異質磊晶要素）：從「材料固有物理性質相容性」、「界面熱力學與動力學」、「基板製備與生長機制」三個構面系統化展開，指出缺陷（如錯位差排 Misfit Dislocation、熱裂紋 Thermal Cracks、反相界）形成之成因與抑制之道。

選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。評分重點與配分比重拆解如下：

• 子題一：何謂異質接面（佔分約 25%）：能否準確點出「兩種不同半導體材料」形成接觸，並帶出能帶結構差異（能隙、電子親和力不連續性）為得分關鍵。
• 子題二：何謂磊晶（佔分約 25%）：能否精確定義「在單晶基板上依其晶向排列生長出單晶薄膜」為給分標準。
• 子題三：高品質異質磊晶要素（佔分約 50%）：晶格常數匹配與熱膨脹係數匹配為必答基本分；能進一步論述晶體結構對稱性、化學互擴散及表面成長模式（緩衝層技術）者可得滿分。

解題技巧

1. 記憶口訣「晶、熱、構、化、面」：

• 晶：晶格匹配（決定錯位差排密度）。
• 熱：熱膨脹係數匹配（決定降溫熱應力與破裂）。
• 構：晶體結構對稱性（決定反相界與堆疊缺陷）。
• 化：化學相容與互擴散抑制（決定接面陡峭度）。
• 面：表面潔淨與生長台階控制（決定成長模式為 2D 層狀生長）。

2. 答題加分關鍵詞：寫出公式晶格不匹配率 $f = \frac{a_e - a_s}{a_s}$，並提及「臨界厚度（Critical Thickness, $h_c$）」，能立即建立專業閱卷印象。
3. 常見失分陷阱：許多考生僅回答「晶格常數要相同」，漏掉高溫降至室溫過程中「熱膨脹係數不匹配」所引發的張應力/壓應力龜裂，亦忽略基板表面預處理與極性/非極性材料對稱性問題。

【答案】

一、異質接面（Heterojunction）之定義

1. 定義：指由兩種不同化學組成與能隙寬度（Bandgap, $E_g$）​的單晶半導體材料緊密接觸所形成的冶金接面（例如 $\text{AlGaAs/GaAs}$ 或 $\text{SiGe/Si}$）。
2. 物理特性：

• 由於兩種材料具有不同的能隙（$E_{g1} \neq E_{g2}$）及電子親和力（$\chi_1 \neq \chi_2$），在接面處導帶與價帶會形成不連續的能帶階躍（Band Offsets, $\Delta E_c$ 與 $\Delta E_v$）。
• 依能帶對齊方式可分為：跨越型（Type I, Straddling）、交錯型（Type II, Staggered）及斷裂型（Type III, Broken-gap）。
• 主要應用於異質接面雙極性電晶體（HBT）、高電子遷移率電晶體（HEMT）、量子井半導體雷射與高效率太陽能電池。

核心觀念

1. 熱氧化反應之化學計量關係 矽（$\mathrm{Si}$）在熱氧化過程中，無論是乾氧氧化（Dry Oxidation）或濕氧氧化（Wet Oxidation）：

• 乾氧氧化：$\mathrm{Si} + \mathrm{O_2} \rightarrow \mathrm{SiO_2}$
• 濕氧氧化：$\mathrm{Si} + 2\mathrm{H_2O} \rightarrow \mathrm{SiO_2} + 2\mathrm{H_2}$

兩者反應式均顯示：每生成 $1\ \mathrm{mol}$ 的二氧化矽（$\mathrm{SiO_2}$），恰好需要消耗 $1\ \mathrm{mol}$ 的矽（$\mathrm{Si}$）。

2. 莫耳密度與厚度轉換關係 設氧化反應均勻進行於面積為 $A$ 之晶圓表面，消耗的 $\mathrm{Si}$ 厚度為 $x_{\mathrm{Si}}$，生成的 $\mathrm{SiO_2}$ 厚度為 $x$。 物質的莫耳數公式為： $n = \frac{m}{M} = \frac{\rho \cdot V}{M} = \frac{\rho \cdot A \cdot d}{M}$ 其中 $m$ 為質量、$\rho$ 為密度、$V$ 為體積、$A$ 為面積、$d$ 為厚度、$M$ 為莫耳重。 由 $n_{\mathrm{Si}} = n_{\mathrm{SiO_2}}$ 即可導出兩者厚度之消耗比值。

解題方法

1. 建立等式關係 設晶圓截面積為 $A$，成長厚度為 $x$ 之 $\mathrm{SiO_2}$，轉換所消耗之 $\mathrm{Si}$ 厚度為 $x_{\mathrm{Si}}$。

• 生成之 $\mathrm{SiO_2}$ 莫耳數： $n_{\mathrm{SiO_2}} = \frac{\rho_{\mathrm{SiO_2}} \cdot (A \cdot x)}{M_{\mathrm{SiO_2}}}$
• 消耗之 $\mathrm{Si}$ 莫耳數： $n_{\mathrm{Si}} = \frac{\rho_{\mathrm{Si}} \cdot (A \cdot x_{\mathrm{Si}})}{M_{\mathrm{Si}}}$

2. 推導厚度關係式 依據化學計量守恆，$n_{\mathrm{Si}} = n_{\mathrm{SiO_2}}$： $\frac{\rho_{\mathrm{Si}} \cdot A \cdot x_{\mathrm{Si}}}{M_{\mathrm{Si}}} = \frac{\rho_{\mathrm{SiO_2}} \cdot A \cdot x}{M_{\mathrm{SiO_2}}}$

兩端消去截面積 $A$，整理求得消耗之矽厚度 $x_{\mathrm{Si}}$：