107 地方特考三等 電子工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查電路學中直流電路分析的核心技巧——節點電壓分析法（Nodal Analysis），重點涵蓋以下觀念與定律：

1. 參考節點（Reference Node）：在電路中選定共用基準點（通常設為電位 $0\ \mathrm{V}$ 的接地端），簡化各非參考節點電位的定義。
2. 克希荷夫電流定律（KCL）：電路中任一封閉面或節點，流出電流之和必等於流入電流之和（$\sum i_{\text{out}} = \sum i_{\text{in}}$）。
3. 超節點（Supernode）技巧：當兩個非參考節點之間直接連接理想電壓源（本題為相依電壓源 $2v_0$）時，因理想電壓源兩端電流無法直接由歐姆定律表示，故將該電壓源及其所連接之兩節點視為一個整體封閉面（超節點）列寫 KCL。
4. 拘束方程式（Constraint Equation）：利用跨接於超節點內部之相依電壓源標稱電壓，建立兩端節點電位之代數關係式。

解題方法

步驟一：定義節點電位與電路拓撲

原題圖（一）依命題慣例之連接拓撲與節點定義如下：

• 選定電路最下方之共用導線為參考節點（地端），電位為 $0\ \mathrm{V}$。
• 節點 1：位於左側，$30\ \mathrm{V}$ 獨立電壓源接於節點 1 與地端之間（正端朝上），因此節點 1 電位固定為： $v_1 = 30\ \mathrm{V}$
• 節點 2：位於中間，$1\ \Omega$ 電阻接於節點 1 與節點 2 之間；$2\ \Omega$ 電阻接於節點 2 與地端之間。已知 $v_0$ 為 $2\ \Omega$ 電阻兩端電壓（上正下負），故節點 2 電位即為： $v_2 = v_0$
• 節點 3：位於右側，控制電壓源 $2v_0$ 跨接於節點 2 與節點 3 之間（標示為右正左負）；$4\ \Omega$ 電阻跨接於節點 1 與節點 3 之間；$16\ \Omega$ 電阻接於節點 3 與地端之間；$3\ \mathrm{A}$ 獨立電流源接於節點 3 與地端之間（方向向上流入節點 3）。

步驟二：建立超節點之拘束方程式

由於相依電壓源 $2v_0$ 跨接於節點 2 與節點 3 之間（正端在節點 3，負端在節點 2），兩者構成一個超節點，其電位拘束方程式為： $v_3 - v_2 = 2v_0$ 將 $v_2 = v_0$ 代入上式，可得節點 3 電位與 $v_0$ 之關係式： $v_3 = v_0 + 2v_0 = 3v_0$

步驟三：對超節點列寫克希荷夫電流定律（KCL）

以超節點（包覆節點 2、節點 3 及兩者之間的 $2v_0$ 電壓源）為封閉面，流出超節點之各支路電流總和必須等於流入電流：

• 由節點 2 經 $1\ \Omega$ 電阻流向節點 1 之電流： $\frac{v_2 - v_1}{1} = \frac{v_0 - 30}{1}$
• 由節點 2 經 $2\ \Omega$ 電阻流向地端之電流： $\frac{v_2 - 0}{2} = \frac{v_0}{2}$
• 由節點 3 經 $4\ \Omega$ 電阻流向節點 1 之電流： $\frac{v_3 - v_1}{4} = \frac{v_3 - 30}{4}$
• 由節點 3 經 $16\ \Omega$ 電阻流向地端之電流： $\frac{v_3 - 0}{16} = \frac{v_3}{16}$
• 流入節點 3 之獨立電流源：$3\ \mathrm{A}$

核心觀念

1. 諾頓等效電路（Norton's Equivalent Circuit）：任何包含獨立電源、受控電源與線性電阻之單埠（one-port）線性電路，對外可等效為一個諾頓電流源 $I_N$（即端點短路電流 $I_{sc}$）並聯一個諾頓電阻 $R_N$。
2. 含受控源電路的等效電阻求法（外加測試源法）： 電路內部含有受控源時，不能直接以電阻串並聯化簡求等效電阻。必須將內部所有獨立電源關閉（獨立電壓源短路、獨立電流源開路），保留受控源，在待求端點 $a$-$b$ 外加一測試電壓源 $v_t$（或測試電流源 $i_t$），求出流入該端點的測試電流 $i_t$（或測試電壓 $v_t$），則諾頓電阻為： $R_N = R_{Th} = \frac{v_t}{i_t}$
3. 諾頓電流之定義（端點短路電流法）： 將待求端點 $a$-$b$ 外部直接短路，求解流經短路線之短路電流 $I_{sc}$，即為諾頓電流 $I_N$。
4. 基爾霍夫定律：克希荷夫電壓定律（KVL）與克希荷夫電流定律（KCL）。

解題方法

依電晶體 $h$ 參數小訊號模型之命題慣例與題目描述，電路各元件與參考方向如下：

• 左側迴路：包含 $2\ \mathrm{V}$ 獨立直流電壓源（上正下負）、$8\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻（電流 $I$ 方向向右）及受控電壓源 $0.001V_{ab}$（極性為上正下負）。
• 右側端點：包含受控電流源 $80I$（方向向下，自 $a$ 端指向 $b$ 端）與 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻並聯於 $a$-$b$ 兩端，端點電壓 $V_{ab}$ 為 $a$ 端對 $b$ 端之電位差。

（一）求諾頓電阻 $R_N$（10 分）

1. 關閉獨立電源： 將左側 $2\ \mathrm{V}$ 獨立電壓源短路（令其電壓為 $0\ \mathrm{V}$），電路中各受控源予以保留。
2. 外加測試電源： 在端點 $a$-$b$ 加接一測試電壓源 $v_t$（$a$ 端為正、$b$ 端為負），故 $V_{ab} = v_t$。設測試源流入 $a$ 端之電流為 $i_t$。
3. 左側迴路分析（KVL）： 順時針繞行左側迴路列寫 KVL： $0 - 8000 \cdot I - 0.001 v_t = 0$ 解得控制電流 $I$ 與測試電壓 $v_t$ 之關係式： $I = -\frac{0.001}{8000} v_t = -1.25 \times 10^{-7} v_t$
4. 右側節點 $a$ 分析（KCL）： 在節點 $a$ 列寫 KCL（流入節點之電流等於流出節點之電流）： $i_t = 80I + \frac{v_t}{50\ \mathrm{k}\Omega}$ 將 $I = -1.25 \times 10^{-7} v_t$ 代入受控電流源項： $80I = 80 \times \left(-1.25 \times 10^{-7} v_t\right) = -1.0 \times 10^{-5} v_t$ 電阻之導納為： $\frac{1}{50\ \mathrm{k}\Omega} = \frac{1}{50000\ \Omega} = 2.0 \times 10^{-5}\ \text{S}$ 因此節點方程式為： $i_t = -1.0 \times 10^{-5} v_t + 2.0 \times 10^{-5} v_t = 1.0 \times 10^{-5} v_t$
5. 計算諾頓電阻： $R_N = \frac{v_t}{i_t} = \frac{1}{1.0 \times 10^{-5}\ \text{S}} = 100\ \mathrm{k}\Omega$

（二）求諾頓電流 $I_N$（15 分）

1. 將端點 $a$-$b$ 外部短路： 在 $a$ 端與 $b$ 端外接一條理想導線，此時 $a$ 端對 $b$ 端之電壓被強制為零： $V_{ab} = 0\ \mathrm{V}$
2. 分析受控電壓源： 因 $V_{ab} = 0\ \mathrm{V}$，左側受控電壓源之值變為： $0.001 V_{ab} = 0.001 \times 0 = 0\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題旨在評量三相不平衡電路（Unbalanced Three-Phase Circuits）之交流穩態分析與功率計算能力，核心要點包含：

1. 三相對稱電源特性：正相序（$abc$ 相序）線電壓大小相等，相位彼此互差 $120^\circ$： $V_{ab} = 220\angle 0^\circ\ \mathrm{V_{rms}},\quad V_{bc} = 220\angle -120^\circ\ \mathrm{V_{rms}},\quad V_{ca} = 220\angle 120^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$
2. $\Delta$ 接不平衡負載之相電流：相電壓直接施加於對應相之負載阻抗，各相電流由歐姆定律獨立決定： $I_{ab} = \frac{V_{ab}}{Z_{ab}},\quad I_{bc} = \frac{V_{bc}}{Z_{bc}},\quad I_{ca} = \frac{V_{ca}}{Z_{ca}}$
3. 克希荷夫電流定律（KCL）求線電流：在三相三線制 $\Delta$ 接負載之各頂點列寫 KCL，線電流為相鄰兩相電流之向量差： $I_a = I_{ab} - I_{ca},\quad I_b = I_{bc} - I_{ab},\quad I_c = I_{ca} - I_{bc}$ 且無中性線時必滿足 $\sum I_{\text{line}} = I_a + I_b + I_c = 0$。
4. 交流實功率（平均功率）計算： $P = |I|^2 R = \frac{|V_R|^2}{R} = |V||I|\cos\theta$ 理想純電感（$jX_L$）與純電容（$-jX_C$）不消耗實功率（$P_L = 0$、$P_C = 0$），系統總實功率完全由電阻成分吸收。

解題方法

圖（三）電路為對稱三相電源供電至 $\Delta$ 接不平衡負載，依題意標示參數如下：

• 電源線電壓：$V_{ab} = 220\angle 0^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$、$V_{bc} = 220\angle -120^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$、$V_{ca} = 220\angle 120^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$
• 負載各相阻抗：$Z_{ab} = 10\ \Omega$、$Z_{bc} = j10\ \Omega$、$Z_{ca} = -j5\ \Omega$

第一步：計算負載各相電流（相電流）

1. $ab$ 相電流 $I_{ab}$： $I_{ab} = \frac{V_{ab}}{Z_{ab}} = \frac{220\angle 0^\circ}{10} = 22\angle 0^\circ\ \mathrm{A} = 22 + j0\ \mathrm{A}$

2. $bc$ 相電流 $I_{bc}$： $I_{bc} = \frac{V_{bc}}{Z_{bc}} = \frac{220\angle -120^\circ}{j10} = \frac{220\angle -120^\circ}{10\angle 90^\circ} = 22\angle -210^\circ\ \mathrm{A} = 22\angle 150^\circ\ \mathrm{A}$ 化為直角座標： $I_{bc} = 22\left(\cos 150^\circ + j\sin 150^\circ\right) = 22\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}\right) = -11\sqrt{3} + j11\ \mathrm{A} \approx -19.053 + j11\ \mathrm{A}$

3. $ca$ 相電流 $I_{ca}$： $I_{ca} = \frac{V_{ca}}{Z_{ca}} = \frac{220\angle 120^\circ}{-j5} = \frac{220\angle 120^\circ}{5\angle -90^\circ} = 44\angle 210^\circ\ \mathrm{A} = 44\angle -150^\circ\ \mathrm{A}$ 化為直角座標： $I_{ca} = 44\left(\cos(-150^\circ) + j\sin(-150^\circ)\right) = 44\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - j\frac{1}{2}\right) = -22\sqrt{3} - j22\ \mathrm{A} \approx -38.105 - j22\ \mathrm{A}$

第二步：計算各線電流

（一）計算線電流 $I_a$

由負載端節點 $a$ 之 KCL： $I_a = I_{ab} - I_{ca} = (22 + j0) - (-22\sqrt{3} - j22) = (22 + 22\sqrt{3}) + j22\ \mathrm{A}$

• 實部與虛部： $I_a \approx 60.105 + j22\ \mathrm{A}$
• 極座標形式： $|I_a| = \sqrt{(22 + 22\sqrt{3})^2 + 22^2} = 22\sqrt{5 + 2\sqrt{3}} \approx 64.01\ \mathrm{A}$ $\angle I_a = \tan^{-1}\left(\frac{22}{22 + 22\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 + \sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\right) \approx 20.10^\circ$ $I_a = (22 + 22\sqrt{3}) + j22\ \mathrm{A} \approx 64.01\angle 20.10^\circ\ \mathrm{A}$

核心觀念

本題考查二階運算放大器主動電路之步級響應（Step Response），命題核心包含以下觀念與定律：

1. 理想運算放大器特性：

• 虛短路（Virtual Short）與虛接地（Virtual Ground）：運算放大器工作於負回授線性區時，兩輸入端電位差為零。非反相輸入端接地（$v^+ = 0\ \mathrm{V}$），故反相輸入端亦維持虛接地（$v^- = 0\ \mathrm{V}$）。
• 輸入阻抗無限大：流入運算放大器輸入端之電流為零（$i^+ = i^- = 0$）。

2. $s$ 域阻抗分析法（$s$-Domain Impedance）：

• 電阻阻抗為 $Z_R = R$；電容阻抗為 $Z_C = \frac{1}{sC}$。
• 反相放大器之轉移函數通式為 $H(s) = \frac{V_o(s)}{V_s(s)} = -\frac{Z_f(s)}{Z_{in}(s)}$，其中 $Z_{in}(s)$ 為輸入級總阻抗，$Z_f(s)$ 為回授級總阻抗。

3. 拉氏反轉換與二階系統特性：

• 步級函數之拉氏轉換為 $\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$。
• 頻域重根形式之拉氏反轉換：$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+a)^2} \right\} = t e^{-at} u(t)$，對應時域之臨界阻尼（Critically Damped）​響應。

解題方法

步驟一：電路架構識別與參數轉換

依題意與圖形，電路為經典帶通架構二階反相放大器：

• 輸入路徑：電阻 $R_1 = 10\ \mathrm{k}\Omega$ 與電容 $C_1 = 100\ \mu\mathrm{F}$ 串聯連接於訊號源 $v_s$ 與反相輸入端 $v^-$ 之間。
• 回授路徑：電阻 $R_2 = 10\ \mathrm{k}\Omega$ 與電容 $C_2 = 100\ \mu\mathrm{F}$ 並聯連接於輸出端 $v_o$ 與反相輸入端 $v^-$ 之間。
• 非反相輸入端：$v^+$ 接地。

計算元件基本參數與時間常數：

• $R_1 = 10\ \mathrm{k}\Omega = 10^4\ \Omega$
• $R_2 = 10\ \mathrm{k}\Omega = 10^4\ \Omega$
• $C_1 = 100\ \mu\mathrm{F} = 10^{-4}\ \mathrm{F}$
• $C_2 = 100\ \mu\mathrm{F} = 10^{-4}\ \mathrm{F}$
• 時間常數 $\tau_1 = R_1 C_1 = 10^4 \times 10^{-4} = 1\ \mathrm{s}$
• 時間常數 $\tau_2 = R_2 C_2 = 10^4 \times 10^{-4} = 1\ \mathrm{s}$

步驟二：建立頻域阻抗與系統轉移函數 $H(s)$

1. 輸入阻抗 $Z_{in}(s)$ 為 $R_1$ 與 $C_1$ 串聯： $Z_{in}(s) = R_1 + \frac{1}{sC_1} = \frac{s R_1 C_1 + 1}{sC_1}$

2. 回授阻抗 $Z_f(s)$ 為 $R_2$ 與 $C_2$ 並聯：