107 地方特考三等 電力工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題評量直流電路分析之核心技術——節點分析法（Nodal Analysis）​與超節點（Supernode）​觀念。涉及之關鍵定理與定義包含：

1. 克希荷夫電流定律（KCL）：電路中任一封閉曲面（或節點、超節點）流出之電流代數和為零，即 $\sum I_{\text{out}} = 0$。
2. 歐姆定律（Ohm's Law）：流經電阻之電流為端電壓差除以電阻值，即 $I = \frac{\Delta V}{R}$。
3. 超節點定義與約束方程式：當兩個非參考節點之間跨接一個獨立或相依電壓源時，因無法預知流經該電壓源之電流，故將此兩節點連同該電壓源包圍視為一個「超節點」，對其邊界列寫 KCL 方程式，並搭配電壓源之輔助約束方程式求解。
4. 相依電壓源（VCVS）：控制電壓源端電壓受指定支路電壓控制，在此由 $2\ \Omega$ 電阻之端電壓 $v_0$ 線性決定。

解題方法

依命題卷圖（一）之電路拓撲與元件配置建立定案模型：

• 選取參考節點（接地點，電位為 $0\ \mathrm{V}$）：設於電路底部公共導線。
• 節點 1（左上節點）：$30\ \mathrm{V}$ 獨立電壓源負極接地、正極接於此，故節點 1 電位固定為 $v_1 = 30\ \mathrm{V}$。$4\ \Omega$ 電阻並聯於 $30\ \mathrm{V}$ 電壓源兩端（接於節點 1 與接地之間）。
• 節點 2（中間節點）：經 $1\ \Omega$ 電阻與節點 1 連接；與接地之間跨接 $2\ \Omega$ 電阻，該電阻兩端電壓為 $v_0$（上正下負），因此節點 2 電位為： $v_2 = v_0$
• 節點 3（右上節點）：節點 2 與節點 3 之間跨接控制電壓源 $2v_0$（左負右正）；節點 3 經 $16\ \Omega$ 電阻接地，並並聯一方向向下（流向接地）之 $3\ \mathrm{A}$ 獨立電流源。

第一步：建立超節點電壓約束方程式

因控制電壓源 $2v_0$ 跨接於非參考節點 2 與節點 3 之間，此二節點合構成一超節點（Supernode 2-3）。 根據其極性關係（右正左負）： $v_3 - v_2 = 2v_0$ 將 $v_2 = v_0$ 代入上式，可得節點 3 電位以 $v_0$ 表達為： $v_3 = v_2 + 2v_0 = v_0 + 2v_0 = 3v_0$

第二步：對超節點列寫克希荷夫電流定律（KCL）方程式

令流出超節點（節點 2 與節點 3 共同邊界）之電流總和為零：

1. 由節點 2 經 $1\ \Omega$ 電阻流向節點 1 之電流： $I_{21} = \frac{v_2 - v_1}{1} = \frac{v_0 - 30}{1}$
2. 由節點 2 經 $2\ \Omega$ 電阻流向接地之電流： $I_{20} = \frac{v_2 - 0}{2} = \frac{v_0}{2}$
3. 由節點 3 經 $16\ \Omega$ 電阻流向接地之電流： $I_{30} = \frac{v_3 - 0}{16} = \frac{3v_0}{16}$

核心觀念

1. 諾頓等效電路（Norton's Equivalent Circuit）定理： 任何由線性電阻、獨立電源及受控電源所組成的雙端點（$a$-$b$ 端）線性電路，對外均可等效化簡為一個「諾頓電流源 $I_N$」與一個「諾頓電阻 $R_N$」相互並聯的等效電路。
2. 含受控電源之等效電阻求法（外加測試電源法）： 電路內部含有受控電源時，計算等效電阻不可將受控源熄滅，亦無法直接用電阻串並聯公式化簡。必須：

• 將所有「獨立電源」關閉（獨立電壓源視為短路 $0\ \mathrm{V}$、獨立電流源視為開路 $0\ \mathrm{A}$）。
• 保留所有「受控電源」。
• 於待求端點 $a$-$b$ 外接一測試電壓源 $V_{test}$（或測試電流源 $I_{test}$），計算流入端點之電流 $I_{test}$，由歐姆定律求得： $R_N = R_{th} = \frac{V_{test}}{I_{test}}$

3. 諾頓電流之定義： 將待求端點 $a$-$b$ 短路（$V_{ab} = 0\ \mathrm{V}$），流經該外接短路導線的電流即為短路電流 $I_{sc}$。依電路學慣例，諾頓等效電路若標示電流源箭號「朝上（由 $b$ 指向 $a$）」，則 $I_N = -I_{sc(a \to b)} = I_{sc(b \to a)}$。

解題方法

（一）求諾頓電阻 $R_N$（10 分）

1. 關閉獨立電源： 將電路左側之獨立電壓源 $2\ \mathrm{V}$ 短路（設為 $0\ \mathrm{V}$），電路中各受控電源維持不變。

2. 於 $a$-$b$ 端外加測試電壓源 $V_{test}$： 設外加電壓源跨接於 $a$-$b$ 端，使 $V_{ab} = V_{test}$，並設自 $a$ 端流入電路之測試電流為 $I_{test}$。

3. 分析左側迴路（求解受控變數 $I$）： 在左側迴路依克希荷夫電壓定律（KVL）繞行： $0 - 8\ \mathrm{k}\Omega \cdot I - 0.001 V_{ab} = 0$ 代入 $V_{ab} = V_{test}$： $8000 I = - 0.001 V_{test} \implies I = - \frac{10^{-3}}{8000} V_{test} = - \frac{1}{8 \times 10^6} V_{test}$

4. 分析右側節點 $a$（求解測試電流 $I_{test}$）： 對端點 $a$ 應用克希荷夫電流定律（KCL），流入節點 $a$ 的外部電流 $I_{test}$ 等於經內部兩並聯支路向下流出的電流總和：

• 通過 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻向下流動之電流： $I_{50k} = \frac{V_{test}}{50\ \mathrm{k}\Omega} = \frac{V_{test}}{50000} = 2 \times 10^{-5} V_{test}$
• 通過受控電流源 $80I$ 向下流動之電流： $80I = 80 \times \left( - \frac{1}{8 \times 10^6} V_{test} \right) = - 10^{-5} V_{test}$

因此，流入節點 $a$ 之總電流為： $I_{test} = I_{50k} + 80I = 2 \times 10^{-5} V_{test} + \left( - 10^{-5} V_{test} \right) = 10^{-5} V_{test}$

5. 計算諾頓電阻： $R_N = \frac{V_{test}}{I_{test}} = \frac{V_{test}}{10^{-5} V_{test}} = 10^5\ \Omega = 100\ \mathrm{k}\Omega$

（二）求諾頓電流 $I_N$（15 分）

1. 將端點 $a$-$b$ 外部短路： 以理想短路導線連接 $a$ 與 $b$ 兩端，此時 $a$-$b$ 兩端電壓被強制箝制為： $V_{ab} = 0\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題考查三相不平衡電路（Unbalanced Three-Phase Circuits）​之交流穩態分析與功率計算，涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 三相電源電壓關係： 對稱正相序（$a-b-c$ 相序）之線電壓相量關係為： $V_{ab} = V_L \angle 0^\circ$ $V_{bc} = V_L \angle -120^\circ$ $V_{ca} = V_L \angle 120^\circ$ 三者大小相等且相位各差 $120^\circ$。

2. $\Delta$ 型負載之相電流（Phase Currents）： 各相負載直接承受對應之線電壓，依歐姆定律相量式： $I_{ab} = \frac{V_{ab}}{Z_{ab}},\quad I_{bc} = \frac{V_{bc}}{Z_{bc}},\quad I_{ca} = \frac{V_{ca}}{Z_{ca}}$

3. 克希荷夫電流定律（KCL）求線電流（Line Currents）： 在負載端節點處列寫 KCL，流入節點之線電流等於流出該節點之兩相電流差： $I_a = I_{ab} - I_{ca}$ $I_b = I_{bc} - I_{ab}$ $I_c = I_{ca} - I_{bc}$ 三線式系統無中性線時，恆滿足 $I_a + I_b + I_c = 0$。

4. 負載實功率（Real Power, $P$）： 交流電路中，純電感與純電容之平均實功率恆為零（僅有虛功率交換），只有電阻元件消耗實功率： $P = \sum P_k = |I_R|^2 R = \frac{V_R^2}{R}$

解題方法

依題圖（三）電路配置，電源為對稱正相序三相電壓： $V_{ab} = 220\angle 0^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$ $V_{bc} = 220\angle -120^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$ $V_{ca} = 220\angle 120^\circ\ \mathrm{V_{rms}}$

三相負載為不平衡 $\Delta$ 接，各相阻抗分別為： $Z_{ab} = -j5\ \Omega = 5\angle -90^\circ\ \Omega$ $Z_{bc} = 10\ \Omega = 10\angle 0^\circ\ \Omega$ $Z_{ca} = j10\ \Omega = 10\angle 90^\circ\ \Omega$

（一）計算線電流 $I_a$

1. 計算相電流 $I_{ab}$ 與 $I_{ca}$： $I_{ab} = \frac{V_{ab}}{Z_{ab}} = \frac{220\angle 0^\circ}{5\angle -90^\circ} = 44\angle 90^\circ\ \mathrm{A} = j44\ \mathrm{A}$ $I_{ca} = \frac{V_{ca}}{Z_{ca}} = \frac{220\angle 120^\circ}{10\angle 90^\circ} = 22\angle 30^\circ\ \mathrm{A} = 22\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}\right) = 11\sqrt{3} + j11\ \mathrm{A}$

2. 由節點 $a$ 之 KCL 求 $I_a$： $I_a = I_{ab} - I_{ca} = j44 - (11\sqrt{3} + j11) = -11\sqrt{3} + j33\ \mathrm{A}$

3. 化為極座標形式： $|I_a| = \sqrt{(-11\sqrt{3})^2 + 33^2} = \sqrt{363 + 1089} = \sqrt{1452} = 22\sqrt{3} \approx 38.11\ \mathrm{A}$ $\theta_a = 180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{33}{11\sqrt{3}}\right) = 180^\circ - \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ $I_a = 22\sqrt{3}\angle 120^\circ\ \mathrm{A} \approx 38.11\angle 120^\circ\ \mathrm{A}$

（二）計算線電流 $I_b$

1. 計算相電流 $I_{bc}$： $I_{bc} = \frac{V_{bc}}{Z_{bc}} = \frac{220\angle -120^\circ}{10\angle 0^\circ} = 22\angle -120^\circ\ \mathrm{A} = 22\left(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -11 - j11\sqrt{3}\ \mathrm{A}$

2. 由節點 $b$ 之 KCL 求 $I_b$：

核心觀念

本題考查二階主動運算放大器電路（Second-Order Active Op-Amp Circuit）​在步階輸入下的暫態響應分析。涉及的核心觀念與電路定理如下：

1. 理想運算放大器特性（Ideal Op-Amp Characteristics）：

• 虛擬短路（Virtual Short）與虛擬接地（Virtual Ground）：在負回授工作區下，反相輸入端電位等於非反相輸入端電位，即 $v^- = v^+ = 0\ \mathrm{V}$。
• 輸入阻抗無限大：流入運算放大器輸入端子之電流為零，即 $i^- = i^+ = 0\ \mathrm{A}$。

2. 克希荷夫電流定律（KCL）與節點分析法（Node Analysis）：在中間節點與反相輸入端建立電流守恆方程式。
3. 電容之時域與頻域特性：

• 時域電流電壓關係：$i_C(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}$。
• $s$ 域（拉普拉斯變換）阻抗：$Z_C(s) = \frac{1}{sC}$。

4. 拉普拉斯轉換（Laplace Transform）與部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）：將時域微分方程式轉換至 $s$ 域代數方程式求解，求得轉移函數 $H(s) = \frac{V_o(s)}{V_s(s)}$，再對重根極點展開並取反拉氏轉換（$\mathcal{L}^{-1}$）求得時域響應 $v_o(t)$。

解題方法

1. 電路架構與元件標定

題目未給定初始條件，依國考命題慣例，假設電路在 $t=0^-$ 時處於零初始狀態（電容未儲能，即初始電壓均為零）。 電路結構如下：

• 輸入電源 $v_s(t)$ 經由電阻 $R_1 = 10\ \mathrm{k}\Omega$ 連接至內部節點 $A$（設其節點電壓為 $v_A$）。
• 節點 $A$ 經由電阻 $R_2 = 10\ \mathrm{k}\Omega$ 連接至運算放大器反相輸入端 $v^-$。
• 節點 $A$ 經由電容 $C_1 = 100\ \mu\mathrm{F}$ 連接至輸出端 $v_o$。
• 反相輸入端 $v^-$ 經由電容 $C_2 = 100\ \mu\mathrm{F}$ 連接至輸出端 $v_o$。
• 非反相輸入端接地，故 $v^+ = 0\ \mathrm{V}$。

2. 建立節點方程式

由理想運算放大器虛擬接地特性： $v^- = v^+ = 0\ \mathrm{V}$

（1）在反相輸入端 $v^-$ 節點列 KCL： 流入 $v^-$ 端子的電流為 0，自節點 $A$ 流入的電流等於流經電容 $C_2$ 至輸出端的電流： $\frac{v_A - 0}{R_2} + C_2 \frac{d(0 - v_o)}{dt} = 0$ $\frac{v_A}{R_2} = C_2 \frac{dv_o}{dt} \implies v_A(t) = R_2 C_2 \frac{dv_o(t)}{dt}$ 在 $s$ 域中（假設零初始狀態），表示為： $V_A(s) = -s R_2 C_2 V_o(s)$

（2）在中間節點 $A$ 列 KCL： 各支路流出電流總和為零： $\frac{v_A - v_s}{R_1} + \frac{v_A - 0}{R_2} + C_1 \frac{d(v_A - v_o)}{dt} = 0$ 轉換至 $s$ 域： $\frac{V_A(s) - V_s(s)}{R_1} + \frac{V_A(s)}{R_2} + sC_1 \left[V_A(s) - V_o(s)\right] = 0$ 整理可得： $\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + sC_1\right) V_A(s) - sC_1 V_o(s) = \frac{V_s(s)}{R_1}$

3. 求解轉移函數 $H(s)$

將 $V_A(s) = -s R_2 C_2 V_o(s)$ 代入節點 $A$ 方程式： $\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + sC_1\right) \left(-s R_2 C_2 V_o(s)\right) - sC_1 V_o(s) = \frac{V_s(s)}{R_1}$ 提取 $-s V_o(s)$ 公因式： $-s V_o(s) \left[ R_2 C_2 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + sC_1\right) + C_1 \right] = \frac{V_s(s)}{R_1}$

代入元件數值：

• $R_1 = 10\ \mathrm{k}\Omega = 10^4\ \Omega$
• $R_2 = 10\ \mathrm{k}\Omega = 10^4\ \Omega$
• $C_1 = 100\ \mu\mathrm{F} = 10^{-4}\ \mathrm{F}$
• $C_2 = 100\ \mu\mathrm{F} = 10^{-4}\ \mathrm{F}$

計算各係數項： $R_2 C_2 = 10^4 \times 10^{-4} = 1\ \mathrm{s}$ $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 10^{-4} + 10^{-4} = 2 \times 10^{-4}\ \Omega^{-1}$ $sC_1 = 10^{-4}s$

代入括號內： $R_2 C_2 \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + sC_1\right) + C_1 = 1 \times \left(2 \times 10^{-4} + 10^{-4}s\right) + 10^{-4} = 10^{-4}(s + 3)$ 等號右式： $\frac{V_s(s)}{R_1} = \frac{V_s(s)}{10^4} = 10^{-4} V_s(s)$