107 地方特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

1. 電壓調整率（Voltage Regulation, $VR$）定義： 變壓器在特定負載功因下，負載由全載（Full Load, FL）變為無載（No Load, NL），且一次側輸入電壓維持額定值時，二次側端電壓的百分比變化量： $VR = \frac{V_{NL} - V_{FL}}{V_{FL}} \times 100\% = \frac{V_1' - V_2}{V_2} \times 100\%$ 其中：

• $V_2 = V_{FL}$：二次側額定全載端電壓。
• $V_1' = V_{NL}$：一次側輸入電壓折算至二次側之等效電壓（因無載時無負載電流，內部無阻抗壓降，故無載端電壓等於 $V_1'$）。

2. 二次側簡化等效電路與 KVL 相量方程式： $\bar{V}_1' = \bar{V}_2 + \bar{I}_2 (R_{eq} + jX_{eq}) = \bar{V}_2 + \bar{I}_2 R_{eq} + j\bar{I}_2 X_{eq}$ 其中 $R_{eq}$ 與 $X_{eq}$ 分別為變壓器折算至二次側之等效電阻與等效漏抗。

3. 電容性負載特性： 輸出端接電容器時，負載呈現超前功率因數（Leading Power Factor），二次側電流 $\bar{I}_2$ 超前端電壓 $\bar{V}_2$ 一個相位角 $\theta$。

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解題方法

步驟一：相量設定與方程式分解

以二次側端電壓 $\bar{V}_2$ 為參考相量： $\bar{V}_2 = V_2 \angle 0^\circ = V_2 + j0$

負載電流 $\bar{I}_2$ 超前 $\bar{V}_2$ 夾角 $\theta$（$0^\circ < \theta \le 90^\circ$）： $\bar{I}_2 = I_2 \angle \theta = I_2 (\cos\theta + j\sin\theta)$

各阻抗壓降相量：

• 電阻壓降：$\bar{I}_2 R_{eq} = I_2 R_{eq}\cos\theta + j I_2 R_{eq}\sin\theta$（與 $\bar{I}_2$ 同相）
• 電抗壓降：$j\bar{I}_2 X_{eq} = j\cdot [I_2 X_{eq}(\cos\theta + j\sin\theta)] = -I_2 X_{eq}\sin\theta + j I_2 X_{eq}\cos\theta$（超前 $\bar{I}_2$ 達 $90^\circ$）

將各相量代入 KVL 方程式： $\bar{V}_1' = (V_2 + I_2 R_{eq}\cos\theta - I_2 X_{eq}\sin\theta) + j(I_2 R_{eq}\sin\theta + I_2 X_{eq}\cos\theta)$

步驟二：相量圖繪製說明

在考卷上作相量圖時，依序繪出下列相量：

1. 基準相量：在實軸水平向右繪製 $\bar{V}_2$。
2. 電流相量：在第一象限繪製超前 $\bar{V}_2$ 角度 $\theta$ 的電流相量 $\bar{I}_2$。
3. 電阻壓降相量 $\bar{I}_2 R_{eq}$：由 $\bar{V}_2$ 箭頭末端出發，沿著平行於 $\bar{I}_2$ 之方向向右上方畫出 $\bar{I}_2 R_{eq}$。
4. 電抗壓降相量 $j\bar{I}_2 X_{eq}$：由 $\bar{I}_2 R_{eq}$ 箭頭末端出發，垂直於 $\bar{I}_2$ 順時針轉向左上方（即超前 $\bar{I}_2$ 達 $90^\circ$）畫出 $j\bar{I}_2 X_{eq}$。
5. 合成相量 $\bar{V}_1'$：由原點連接至 $j\bar{I}_2 X_{eq}$ 箭頭末端，即得相量 $\bar{V}_1'$。

相量圖幾何關係示意如下：

 ▲ 虛軸 (+j)
 │
 │ • (端點: V1')
 │ ↗ ＼
 │ ↗ ＼ j*I2*Xeq (向左上方)
 │ ↗ ＼
 │ ↗ I2*Req •
 │ I2 ↗ ↗
 │ ↗ ↗ ↗
 │ ↗ ↗ ↗
 │ ↗ ↗ ↗
 │ ↗↗ ↗
 │ ↗/ θ ↗
 └─────•──────────•──────────────────► 實軸
 原點 V2 (水平基準)

步驟三：幾何投影與負值條件推導

由相量圖幾何投影可知，等效電抗壓降 $j\bar{I}_2 X_{eq}$ 具有向左（負實軸方向）的投影分量 $-I_2 X_{eq}\sin\theta$。

因實務上電力變壓器之虛部垂直分量相對端電壓甚小，利用一階近似公式： $V_1' \approx V_2 + I_2 R_{eq}\cos\theta - I_2 X_{eq}\sin\theta$

核心觀念

本題旨在測驗永久磁鐵直流電動機（Permanent-Magnet DC Motor, 簡稱 PMDC）​之穩態電氣模型、參數物理意義及機電轉換之轉矩－轉速特性。考查的核心觀念包含：

1. 磁場特性：磁極採用永久磁鐵建立，每極磁通 $\Phi$ 為固定常數（不需激磁繞組，無激磁損耗與可變磁通問題）。
2. 電樞迴路克希荷夫電壓定律（KVL）：穩態時電樞電感抗為零（$\mathrm{d}i_a/\mathrm{d}t = 0$），電樞迴路電壓平衡方程式為： $V_t = E_a + I_a R_a$
3. 機電轉換基本公式：

• 反電動勢（Counter-EMF）：$E_a = K_a \Phi \omega_m$
• 電磁感應轉矩（Electromagnetic Torque）：$T_e = K_a \Phi I_a$
• 其中 $K_a = \frac{P Z}{2 \pi a}$ 為電機結構幾何常數（$P$ 為極數、$Z$ 為電樞總導體數、$a$ 為並聯路徑數）。

4. 特性曲線推導：聯立電氣與機械方程式，消去電樞電流 $I_a$，求出電磁轉矩 $T_e$ 與轉速 $\omega_m$ 之線性關係式。

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解題方法

一、電樞迴路穩態等效電路繪製

電動機在直流穩態運轉下，電樞繞組之自感 $L_a$ 視為短路，僅保留繞組電阻 $R_a$ 及旋轉產生的反電動勢 $E_a$。外加端電壓 $V_t$ 驅動電樞電流 $I_a$ 注入正端子。

等效電路如下圖所示：

 (+) ----------------> Ia -------------------+
 |
 [Ra] 電樞電阻
 |
 (+)
 Vt (直流端電壓) ( M ) Ea (反電動勢)
 (-)
 |
 (-) ----------------------------------------+

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二、電路中各參數之物理意義

1. $V_t$（電樞端電壓 / 輸入直流電壓，單位：$\text{V}$）： 由外部直流電源施加於電動機電樞端子之電位差，為驅動電動機運轉的輸入電能來源。
2. $I_a$（電樞電流，單位：$\text{A}$）： 流經電樞繞組之直流電流。該電流流過磁場中的導體產生電磁力，進而產生驅動負載之電磁轉矩。
3. $R_a$（電樞迴路等效電阻，單位：$\Omega$）： 電樞繞組之純電阻，實務上亦包含電刷與換向片間之接觸電阻（Brush Contact Resistance），是造成電樞銅損（$I_a^2 R_a$）的主要參數。
4. $E_a$（反電動勢，單位：$\text{V}$）： 電樞導體在永久磁鐵磁場中旋轉切割磁力線所感應生成之電動勢。其極性依冷次定律阻礙電樞電流注入，大小與旋轉角速度成正比： $E_a = K_a \Phi \omega_m$ （因永久磁鐵之磁通 $\Phi$ 固定，亦常合併表示為反電動勢常數 $K_e = K_a \Phi$，即 $E_a = K_e \omega_m$）。

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三、電磁轉矩對轉速特性曲線之推導

1. 推導轉矩與轉速方程式： 由電樞迴路 KVL： $I_a = \frac{V_t - E_a}{R_a} = \frac{V_t - K_a \Phi \omega_m}{R_a}$

將 $I_a$ 代入電磁轉矩公式 $T_e = K_a \Phi I_a$： $T_e = K_a \Phi \left( \frac{V_t - K_a \Phi \omega_m}{R_a} \right)$ 展開整理可得以轉速 $\omega_m$ 表示之轉矩方程式： $T_e = \frac{K_a \Phi}{R_a} V_t - \frac{(K_a \Phi)^2}{R_a} \omega_m$

（亦可改寫為轉速表示式：$\omega_m = \frac{V_t}{K_a \Phi} - \frac{R_a}{(K_a \Phi)^2} T_e$）

2. 特徵點分析：

• 縱軸截距（堵轉轉矩 / 起動轉矩 $T_{\text{stall}}$，$\omega_m = 0$）： $T_{\text{stall}} = \frac{K_a \Phi}{R_a} V_t$ 與輸入電壓 $V_t$ 成正比。

核心觀念

1. 感應機同步轉速公式： 三相感應機定子旋轉磁場之同步轉速 $n_s$ 僅由交流電源頻率 $f$ 與定子極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120 f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$
2. 轉差率（Slip, $s$）定義： 轉差率為旋轉磁場同步轉速與轉子實際轉速 $n_r$ 之相對速度差與同步轉速的比值： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$
3. 感應機三種運轉模式之轉差率判別準則：

• 電動機模式（Motor Mode）：$0 < n_r < n_s \iff 0 < s < 1$。電磁轉矩 $T_e > 0$（與旋轉方向相同），自電網吸收電能並輸出機械能。
• 發電機模式（Generator Mode / 再生發電）：$n_r > n_s \iff s < 0$。電磁轉矩 $T_e < 0$（與旋轉方向相反，為制動阻力轉矩），由軸端吸收機械能並回饋電能至電網。
• 反接制動模式（Plugging Mode）：$n_r < 0$（逆轉）$\iff s > 1$。同時吸收電能與機械能並全數轉為熱能消散。

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解題方法

第一部分：計算頻率降為 $55\ \mathrm{Hz}$ 時之轉差率

1. 求 $55\ \mathrm{Hz}$ 下之同步轉速 $n_{s2}$： 極數 $P = 4$ 不變，新頻率 $f_2 = 55\ \mathrm{Hz}$，代入同步轉速公式： $n_{s2} = \frac{120 \times f_2}{P} = \frac{120 \times 55}{4} = 30 \times 55 = 1650\ \mathrm{rpm}$

註：在初始條件 $f_1 = 60\ \mathrm{Hz}$ 時，$n_{s1} = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$，轉子轉速 $n_r = 1718\ \mathrm{rpm} < 1800\ \mathrm{rpm}$，此時 $s_1 = \frac{1800 - 1718}{1800} \approx +0.0456 > 0$，符合題意所述之電動機模式。

2. 計算頻率調降後感應機之轉差率 $s_2$： 依題目要求，感應機維持相同轉速 $n_r = 1718\ \mathrm{rpm}$： $s_2 = \frac{n_{s2} - n_r}{n_{s2}} = \frac{1650 - 1718}{1650} = \frac{-68}{1650} = -\frac{34}{825} \approx -0.0412\ (\text{或 } -4.12\%)$

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第二部分：利用轉矩－轉速特性曲線說明操作於發電機模式

1. 電磁轉矩之數學關係： 根據三相感應機簡化戴維寧等效電路，感應機產生的內部電磁轉矩公式為： $T_e = \frac{3}{\omega_s} \frac{V_{th}^2 \left(\frac{R_2'}{s}\right)}{\left(R_{th} + \frac{R_2'}{s}\right)^2 + (X_{th} + X_2')^2}$ 式中同步角速度 $\omega_s > 0$，轉子等效電阻 $R_2' > 0$。分母恆為正值，因此電磁轉矩 $T_e$ 的正負符號完全取決於轉差率 $s$ 的正負符號：

• 當 $s > 0$ 時，$T_e > 0$（正向驅動轉矩）。
• 當 $s = 0$ 時，$T_e = 0$。
• 當 $s < 0$ 時，$T_e < 0$（反向制動轉矩）。

2. 感應機轉矩－轉速（Torque-Speed）特性曲線圖解：

核心觀念

本題的核心在於三相同步電動機在「定負載功率」與「定激磁」下，電源端電壓變動對電樞電流及功率因數之影響。解題涉及的關鍵觀念與公式如下：

1. 單相等效電路與電壓方程式： 忽略電樞電阻（$R_a \approx 0$），同步電動機之每相端電壓 $\mathbf{V}_t$、反電動勢（激磁電壓）$\mathbf{E}_f$ 與電樞電流 $\mathbf{I}_a$ 之相量關係為： $\mathbf{V}_t = \mathbf{E}_f + j \mathbf{I}_a X_s \iff \mathbf{E}_f = \mathbf{V}_t - j \mathbf{I}_a X_s$ 其中 $X_s$ 為同步電抗。

2. 「其他運轉條件不變」之物理意涵：

• 軸端機械負載不變：在忽略繞線損失時，輸入實功率等於機械內生功率，保持定值： $P = 3 V_t I_a \cos\theta = \frac{3 V_t E_f}{X_s} \sin\delta = \text{常數}$ （$V_t$ 為相電壓有效值，$\delta$ 為功率角，$\theta$ 為功率因數角）
• 場激磁電流不變：外加直流激磁電流 $I_f$ 固定，且轉速由電網頻率鎖定（定頻下同步轉速 $N_s$ 不變），故反電動勢大小不變： $E_f = |\mathbf{E}_f| = \text{常數}$
• 同步電抗不變：$X_s = \text{常數}$。

3. 同步電動機的激磁特性：

• 正常激磁（$\text{PF} = 1$）：電樞電流與端電壓同相。
• 過激磁（Over-excited）：反電動勢相對端電壓偏高，電動機向系統提供感性虛功（即從電網吸收電容性虛功），電樞電流超前端電壓（$\text{PF}$ 為超前）。
• 欠激磁（Under-excited）：電樞電流落後端電壓（$\text{PF}$ 為落後）。

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解題方法

步驟一：繪製單相等效電路

忽略電樞電阻 $R_a$，同步電動機之單相等效電路如下：

 I_a ---> +--- jXs ---+
 o--------------------+ +--------------------o
 + +
 V_t (電源相電壓) E_f (反電動勢)
 - -
 o-----------------------------------------------------o

依克希荷夫電壓定律（KVL）： $\mathbf{I}_a = \frac{\mathbf{V}_t - \mathbf{E}_f}{j X_s}$

步驟二：初始運轉狀態分析（狀態 1：$\text{PF} = 1$）

取端電壓為參考相量，即 $\mathbf{V}_{t1} = V_{t1} \angle 0^\circ$。

• 因功率因數 $\text{PF}_1 = 1$，電流與端電壓同相：$\mathbf{I}_{a1} = I_{a1} \angle 0^\circ$。
• 電抗壓降：$j \mathbf{I}_{a1} X_s = I_{a1} X_s \angle 90^\circ$。
• 反電動勢相量： $\mathbf{E}_{f1} = \mathbf{V}_{t1} - j \mathbf{I}_{a1} X_s = V_{t1} - j I_{a1} X_s = E_{f1} \angle (-\delta_1)$
• 幾何關係（構成直角三角形）： $E_{f1} = \sqrt{V_{t1}^2 + (I_{a1} X_s)^2} > V_{t1}$ $E_{f1} \cos\delta_1 = V_{t1}$ $E_{f1} \sin\delta_1 = I_{a1} X_s$

步驟三：端電壓調降後的變化分析（狀態 2：$V_{t2} = 0.9 V_{t1}$）

1. 功率角 $\delta$ 的變化： 由實功率不變條件： $P = \frac{3 V_t E_f}{X_s} \sin\delta = \text{常數} \implies V_t \sin\delta = \text{常數}$ $V_{t2} \sin\delta_2 = V_{t1} \sin\delta_1 \implies \sin\delta_2 = \frac{V_{t1}}{V_{t2}} \sin\delta_1 = \frac{\sin\delta_1}{0.9} \approx 1.11 \sin\delta_1$ 因 $V_t$ 下降，功率角增大，即 $\delta_2 > \delta_1$。

2. 電樞電流的實功（同相）分量： 由 $P = 3 V_t I_a \cos\theta = \text{常數}$： $I_{a2} \cos\theta_2 = \frac{P}{3 V_{t2}} = \frac{P}{3 \times 0.9 V_{t1}} = \frac{1}{0.9} (I_{a1} \cos\theta_1) \approx 1.11 I_{a1}$ 電樞電流中與電壓同相的分量必定增大。

3. 功率因數（$\text{PF}$）的性質與虛功變化： 將電流相量依實部與虛部分解（以 $\mathbf{V}_t$ 為實軸）：