107 地方特考三等 電力工程 電子學 考古題詳解

核心觀念

本題考核運算放大器（Op-Amp）經典應用電路——差動放大器（Difference Amplifier / Subtractor）​之電路分析與參數推導，核心觀念包含：

1. 理想運算放大器（Ideal Op-Amp）特性：

• 輸入阻抗無窮大，輸入端不取電流：$i^+ = i^- = 0$。
• 開迴路增益無窮大，在負回授（Negative Feedback）作用下形成虛短路（Virtual Short）：$v^+ = v^-$。

2. 節點分析法（KCL）與重疊定理（Superposition Theorem）：

• 同相端（$+$）為無載分壓電路。
• 反相端（$-$）依克希荷夫電流定律列式，建立輸入與輸出之線性關係。

3. 共模增益（Common-Mode Gain, $A_{cm}$）定義：

• 當兩輸入端施加相同共模電壓 $v_{i1} = v_{i2} = v_{icm}$ 時，輸出響應與輸入共模訊號之比值：$A_{cm} = \left.\frac{v_o}{v_{icm}}\right|_{v_{i1}=v_{i2}=v_{icm}}$。

4. 共模拒斥比（Common-Mode Rejection Ratio, CMRR）定義：

• 差模增益與共模增益之比值：$\text{CMRR} = \left|\frac{A_d}{A_{cm}}\right|$。當 $A_{cm} = 0$ 時，$\text{CMRR} \to \infty$。

解題方法

依考卷圖一之標準差動放大器配置：

• 反相輸入端（$-$）：由輸入電壓 $v_{i1}$ 經電阻 $R_a$ 接至運算放大器反相端，並經回授電阻 $R_b$ 接至輸出端 $v_o$。
• 同相輸入端（$+$）：由輸入電壓 $v_{i2}$ 經電阻 $R_c$ 接至運算放大器同相端，並經電阻 $R_d$ 接地。

（一）推導輸出電壓 $v_o$

步驟 1：求同相端電壓 $v^+$ 因理想運算放大器輸入端不吸入電流（$i^+ = 0$），同相端電阻 $R_c$ 與 $R_d$ 形成分壓電路： $v^+ = v_{i2} \cdot \frac{R_d}{R_c + R_d}$

步驟 2：利用虛短路求反相端電壓 $v^-$ 電路具備負回授路徑，運算放大器工作於線性區，滿足虛短路條件： $v^- = v^+ = v_{i2} \cdot \frac{R_d}{R_c + R_d}$

步驟 3：對反相端節點列寫 KCL 求解 $v_o$ 因 $i^- = 0$，自 $v_{i1}$ 流經 $R_a$ 之電流完全流向 $R_b$ 至輸出端： $\frac{v_{i1} - v^-}{R_a} = \frac{v^- - v_o}{R_b}$

整理移項求 $v_o$： $\frac{v_o}{R_b} = v^- \left(\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}\right) - \frac{v_{i1}}{R_a}$ $v_o = \left(1 + \frac{R_b}{R_a}\right) v^- - \frac{R_b}{R_a} v_{i1}$

將步驟 2 之 $v^-$ 代入： $v_o = -\frac{R_b}{R_a} v_{i1} + \left(1 + \frac{R_b}{R_a}\right)\left(\frac{R_d}{R_c + R_d}\right) v_{i2}$

亦可通分化簡為： $v_o = -\frac{R_b}{R_a} v_{i1} + \left(\frac{R_a + R_b}{R_a}\right)\left(\frac{R_d}{R_c + R_d}\right) v_{i2}$

（二）推導共模增益 $A_{cm}$

方法：純共模訊號輸入分析法 定義共模輸入訊號為兩輸入端施加相同電壓，即令 $v_{i1} = v_{i2} = v_{icm}$。此時輸出電壓即為共模輸出 $v_{ocm}$： $v_{ocm} = \left[-\frac{R_b}{R_a} + \left(1 + \frac{R_b}{R_a}\right)\left(\frac{R_d}{R_c + R_d}\right)\right] v_{icm}$

共模增益定義為 $A_{cm} = \frac{v_{ocm}}{v_{icm}}$： $A_{cm} = -\frac{R_b}{R_a} + \left(\frac{R_a + R_b}{R_a}\right)\left(\frac{R_d}{R_c + R_d}\right)$

進行通分化簡： $A_{cm} = \frac{-R_b(R_c + R_d) + (R_a + R_b)R_d}{R_a(R_c + R_d)}$

展開分子各項： $-R_b R_c - R_b R_d + R_a R_d + R_b R_d = R_a R_d - R_b R_c$

得共模增益精簡式： $A_{cm} = \frac{R_a R_d - R_b R_c}{R_a(R_c + R_d)}$

（三）推導共模拒斥比（CMRR）為無限大的條件

核心觀念

本題評量重點為「負回授放大器（Negative Feedback Amplifier）」的分析架構與基本參數計算：

1. 回授組態判定：圖二為標準的非反相放大器，屬於電壓串聯負回授（Voltage-Series Feedback / Series-Shunt Feedback）。輸入端進行電壓相減（串聯混合），輸出端取樣輸出電壓（分流取樣）。
2. 回授係數（$\beta$）之定義：回授網路之傳遞函數定義為回授電壓 $v_f$ 與輸出端取樣電壓 $v_o$ 之比值： $\beta \equiv \frac{v_f}{v_o}$ 當運算放大器輸入阻抗為無限大（$R_{in} = \infty$）、輸出電阻為零（$R_o = 0$）時，無電流流入反相輸入端，回授網路為由 $R_a$ 與 $R_b$ 構成的無負載分壓器。
3. 閉迴路電壓增益（$A_f$）公式：負回授系統的基本增益關係式為： $A_f = \frac{A}{1 + A\beta}$ 其中 $A$ 為開迴路電壓增益（Open-loop Gain），$A\beta$ 為迴路增益（Loop Gain，$T$），$1 + A\beta$ 為回授量（Amount of Feedback）。

解題方法

（一）推導回授係數 $\beta$

1. 電路節點與回授電壓分析：

• 輸入訊號 $v_s$ 加於運算放大器之非反相輸入端（$+$）。
• 輸出電壓 $v_o$ 經由電阻 $R_a$、$R_b$ 串聯分壓網路回授至反相輸入端（$-$），此端電壓即為回授訊號 $v_f$。
• 題圖二標準非反相放大器之配置中，$R_a$ 為反相端對地電阻，$R_b$ 為連接於輸出端與反相端之間的回授電阻。

2. 利用理想條件建立分壓關係：

• 運算放大器之輸入電阻為無限大，故流入反相輸入端的電流為零（$i_- = 0$）。
• 由輸出端經 $R_b$ 與 $R_a$ 到地的路徑形成單純的電阻分壓，反相端電壓 $v_f$ 為： $v_f = v_o \left( \frac{R_a}{R_a + R_b} \right)$

3. 推導回授係數 $\beta$：

• 依據回授係數定義 $\beta = \frac{v_f}{v_o}$，兩邊同除以 $v_o$： $\beta = \frac{R_a}{R_a + R_b}$

核心觀念

1. 741 運算放大器輸入級之電路結構：

• 741 運算放大器第一級為特殊的「共集極－共基極」（CC-CB）差動對架構：
• 電晶體 $Q_1$、$Q_2$ 為 NPN 型，接成共集極（CC，射極隨耦器），其基極接輸入信號 $v_{in1}$、$v_{in2}$，集極接正電源 $+V_{CC}$（小信號交流接地）。
• 電晶體 $Q_3$、$Q_4$ 為橫向 PNP 型，接成共基極（CB），兩者基極共接並由偏壓電路提供固定直流偏壓（小信號交流接地或差模虛接地）。
• $Q_1$ 射極直接連接 $Q_3$ 射極，$Q_2$ 射極直接連接 $Q_4$ 射極；$Q_3$ 與 $Q_4$ 的集極為第一級之差動輸出端，連接至主動負載（$Q_5$、$Q_6$ 電流鏡）。
• 採用此 CC-CB 串接的主要目的為：提高差模輸入電阻、提供極高的射基極逆向崩潰電壓保護（橫向 PNP 之 $BV_{EBO}$ 較大）、實現向下電位移轉（Level Shift），並消除米勒效應（Miller Effect）以增進高頻響應。

2. BJT 小信號參數定義與公式：

• 射極小信號動態電阻： $r_e = \frac{V_T}{I_E} = \frac{\alpha V_T}{I_C} = \frac{\beta}{\beta + 1} \frac{V_T}{I_C}$
• 基極看入之小信號電阻： $r_\pi = \frac{\beta V_T}{I_C} = (\beta + 1) r_e$

3. 差模輸入電阻 $R_{id}$ 之定義：

• 差模輸入電阻定義為兩輸入端之間所見之微小信號電阻： $R_{id} \equiv \frac{v_{id}}{i_{id}} = \frac{v_{in1} - v_{in2}}{i_b}$
• 應用阻抗反射法則（Resistance Reflection Rule），由基極看入射極迴路阻抗需放大 $(\beta + 1)$ 倍。

解題方法

（一）第一級小信號等效電路繪製

1. 交流接地與信號路徑分析：

• 直流電壓源 $+V_{CC}$ 與 $-V_{EE}$ 在小信號分析時均視為交流接地（AC Ground）。
• $Q_1$、$Q_2$ 的集極直接接在 $+V_{CC}$，故其集極端直接交流接地。
• $Q_3$、$Q_4$ 的基極共接點由偏壓電路提供直流偏壓，直流電流源在小信號時視為開路，且差模輸入時該節點電位固定，為小信號交流接地（虛接地）。
• $Q_1$ 與 $Q_3$ 之射極相接，$Q_2$ 與 $Q_4$ 之射極相接。

2. 等效電路模型選用：

• 雙載子電晶體（BJT）可採用混合 $\pi$ 模型（Hybrid-$\pi$ Model）或 $T$ 模型（T-Model）。針對射極直接串接的電路，採用含受控源之小信號模型繪製如下：

 [小信號全電路等效電路圖]

 +------------------------- (AC Ground) -------------------------+
 | |
 | Collector(Q1) Collector(Q2) |
 | |
 +-----o-----+ +-----o-----+
 | | | |
 | | / \ | |
 + | |/ gm1*v_pi1 gm2*v_pi2 \| | +
v_in1[ r_pi1 | | r_pi2 ]v_in2
 - | (Q1) |\ /| (Q2) | -
 | | \v v/| |
 | | | |
 +-----o-----+ +-----o-----+
 Base | Emitter(Q1) Emitter(Q2) | Base
 | |
 +=== Emitter(Q3) Emitter(Q4) ===+
 | |
 +-----o-----+ +-----o-----+
 | | | |
 | | /v v/| |
 - | |/ gm3*v_pi3 gm4*v_pi4 \| | -
v_pi3[ r_pi3 | | r_pi4 ]v_pi4
 + | (Q3) |\ /| (Q4) | +
 | | \ / | |
 | | | |
 +-----o-----+ +-----o-----+
 | Base(Q3) Base(Q4)|
 +------------------------- (AC Ground) --------------------+
 | |
 | Collector(Q3) Collector(Q4) |
 v i_out1 (至主動負載) v i_out2 (至主動負載)

亦可採用解析差動放大器時最常用的差模半電路（Differential Half-Circuit）等效模型：

 [差模半電路小信號等效模型（單邊輸入 v_id / 2）]

 (AC Ground, Collector Q1)
 |
 +--------o--------+
 | |
 + | | /
 v_id/2 [ r_pi1 |/ gm1 * v_pi1
 - | (Q1) |\
 | | \v
 +--------o--------+
 | Emitter Q1 = Emitter Q3
 +--------o--------+
 | |
 - | | /v
 v_pi3 [ r_pi3 |/ gm3 * v_pi3
 + | (Q3) |\
 | | \
 +--------o--------+
 |
 (Virtual Ground, Base Q3)
 |
 o Collector Q3 (輸出端至負載)

（二）第一級差動電路輸入電阻 $R_{id}$ 計算

核心觀念

本題考查數位電子學中基礎的二極體邏輯（Diode Logic, DL）​設計與布林代數真值表，核心觀念包含：

1. 正邏輯系統（Positive Logic）：

• 邏輯「$1$」（高電位，High）：以電壓 $V_H$（例如 $+5\text{ V}$）表示。
• 邏輯「$0$」（低電位，Low）：以電壓 $V_L$（例如 $0\text{ V}$ 或接地 GND）表示。

2. 理想二極體（Ideal Diode）特性：

• 順向偏壓導通時：等效為短路，導通跨壓 $V_D = 0\text{ V}$。
• 逆向偏壓截止時：等效為開路，逆向漏電流 $I_R = 0\text{ A}$。

3. 二極體或閘（Diode OR Gate）架構：

• 布林函數 $Y = A + B + C$ 代表三輸入的「或閘」（OR Gate）。
• 任一輸入為高電位時，對應之二極體順向導通，將輸出端鉗位在該高電位；僅當所有輸入皆為低電位時，所有二極體皆截止，輸出端藉由下拉電阻維持在低電位。

解題方法

（一）邏輯電路設計與電路圖

1. 電路拓撲與元件配置：

• 使用 3 個理想二極體 $D_A, D_B, D_C$。
• 輸入端：三個輸入信號 $A, B, C$ 分別連接至二極體 $D_A, D_B, D_C$ 的陽極（Anode, 標記為 $+$ 或三角形端）。
• 輸出端：三個二極體的陰極（Cathode, 標記為 $-$ 或直線端）​全部並聯接在一起，匯流為輸出節點 $Y$。
• 下拉電阻（Pull-down Resistor）：在輸出節點 $Y$ 與接地端（$0\text{ V}$）之間串接一枚下拉電阻 $R$。

2. 電路原理圖：

 A o----|>|----+
 DA |
 |
 B o----|>|----+----o Y (輸出)
 DB | |
 | [R] 下拉電阻
 C o----|>|----+ |
 DC ===
 GND (0 V)

3. 動作原理推導：

• 狀況一：$A=0, B=0, C=0$（所有輸入均接 $0\text{ V}$） 此時三個二極體陽極皆為 $0\text{ V}$。若二極體導通，電流無處流出；電阻 $R$ 無電流流過（$I_R = 0$），輸出電壓被電阻下拉至接地電位： $V_Y = 0\text{ V} \implies Y = 0$ 三個二極體兩端跨壓皆為 $0\text{ V}$，皆處於截止狀態。
• 狀況二：$A, B, C$ 中至少有一個為「$1$」（即電壓為 $V_H = 5\text{ V}$） 假設 $A=1$（$5\text{ V}$），則二極體 $D_A$ 陽極電壓高於陰極，形成順向導通。因二極體為理想元件，導通時跨壓為 $0\text{ V}$： $V_Y = V_A = 5\text{ V} \implies Y = 1$