107 地方特考三等 電力工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量電力系統中「雙匯流排系統之潮流分析（Power Flow Analysis）」與「無效功率補償（Reactive Power Compensation）」之核心計算能力，主要涵蓋以下觀念與公式：

1. 交流輸電線路功率傳輸方程式（Power-Angle Equation）： 對於兩端電壓為 $V_1=|V_1|\angle\delta_1$ 與 $V_2=|V_2|\angle\delta_2$，且中間連接純電抗線路 $Z=jX$ 之系統：

• 自匯流排 1 送出至線路之複數功率 $S_{12} = P_{12} + jQ_{12}$： $P_{12} = \frac{|V_1||V_2|}{X}\sin(\delta_1 - \delta_2)$ $Q_{12} = \frac{|V_1|^2}{X} - \frac{|V_1||V_2|}{X}\cos(\delta_1 - \delta_2)$
• 線路注入匯流排 2 之複數功率 $S_{\text{line}\to 2} = -S_{21} = P_{\text{line}\to 2} + jQ_{\text{line}\to 2}$： $P_{\text{line}\to 2} = \frac{|V_1||V_2|}{X}\sin(\delta_1 - \delta_2)$ $Q_{\text{line}\to 2} = \frac{|V_1||V_2|}{X}\cos(\delta_1 - \delta_2) - \frac{|V_2|^2}{X}$

2. 匯流排功率平衡方程式（KCL / Complex Power Balance）： 每個匯流排注入系統之發電功率減去負載功率，必須等於流向線路之傳輸功率：

• 匯流排 1：$S_{G1} = S_{D1} + S_{12}$
• 匯流排 2：$S_{G2} = S_{D2} + S_{21} \iff S_{\text{line}\to 2} + S_{G2} = S_{D2}$

3. 電壓穩定極限與 $P-V$ 曲線（Nose Point）： 在純電抗無補償線路傳輸純有效功率時，存在最大實功傳輸極限 $P_{\max} = \frac{|V_1|^2}{2X}$。當傳輸實功等於此極限時，電壓判別式為零，工作點剛好位於臨界穩定點。

解題方法

(一) 電容無法提供無效功率（$Q_{G2}=0$）時計算 $V_2$

步驟 1：建立匯流排 2 之功率平衡條件 已知匯流排 1 為參考匯流排，$V_1 = 1\angle 0^\circ\ \mathrm{p.u.}$；傳輸線阻抗 $Z = jX = j0.5\ \mathrm{p.u.}$。 匯流排 2 負載為 $S_{D2} = 1\ \mathrm{p.u.} = 1 + j0\ \mathrm{p.u.}$，電容未投入即 $S_{G2} = 0$。 因此，自線路流入匯流排 2 之功率完全供給負載需求： $S_{\text{line}\to 2} = P_{\text{line}\to 2} + jQ_{\text{line}\to 2} = S_{D2} = 1 + j0\ \mathrm{p.u.}$ 即： $P_{\text{line}\to 2} = 1\ \mathrm{p.u.},\quad Q_{\text{line}\to 2} = 0\ \mathrm{p.u.}$

步驟 2：以直角座標求解匯流排 2 電壓 令 $V_2 = V_{2r} + jV_{2i}$，自匯流排 1 流至匯流排 2 之線路電流為： $I_{12} = \frac{V_1 - V_2}{Z} = \frac{1 - V_2}{j0.5} = -j2(1 - V_2)$ 流入匯流排 2 之複數功率為： $S_{\text{line}\to 2} = V_2 I_{12}^* = V_2 \left[-j2(1 - V_2)\right]^* = V_2 \left[j2(1 - V_2^*)\right] = j2V_2 - j2|V_2|^2$ 依功率平衡，令其等於 $1 + j0$： $j2V_2 - j2|V_2|^2 = 1$ 兩邊同除以 $j2$： $V_2 - |V_2|^2 = \frac{1}{j2} = -j0.5 \implies V_2 = |V_2|^2 - j0.5$ 將 $V_2 = V_{2r} + jV_{2i}$ 代入上式，分離實部與虛部：

將 $V_{2i} = -0.5$ 代入實部方程式： $V_{2r} = V_{2r}^2 + (-0.5)^2 = V_{2r}^2 + 0.25$ 整理得一元二次方程式： $V_{2r}^2 - V_{2r} + 0.25 = 0 \implies (V_{2r} - 0.5)^2 = 0$ 解得唯一重根： $V_{2r} = 0.5\ \mathrm{p.u.}$

步驟 3：轉換為極座標表示式 匯流排 2 電壓相量為： $V_2 = 0.5 - j0.5\ \mathrm{p.u.}$ 其大小與相角分別為： $|V_2| = \sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\ \mathrm{p.u.}$ $\angle V_2 = \tan^{-1}\left(\frac{-0.5}{0.5}\right) = -45^\circ$ 故： $V_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}\angle -45^\circ\ \mathrm{p.u.} \approx 0.7071\angle -45^\circ\ \mathrm{p.u.}$

(二) 維持 $|V_2|=1\ \mathrm{p.u.}$ 時計算 $Q_{G2}$、$\angle V_2$ 與 $SG_1$ 提供之無效功率

步驟 1：計算此時 $V_2$ 之相角 $\angle V_2$ 已知 $|V_1| = 1\ \mathrm{p.u.}$，控制目標為 $|V_2| = 1\ \mathrm{p.u.}$。 因電容器僅提供無效功率（$P_{G2} = 0$），匯流排 2 之有效功率仍全由輸電線路提供：

核心觀念

本題評量電力系統中「不計傳輸損失之經濟調度（Economic Dispatch, ED）」及「發電機出力不等式限制下的邊界條件（Kuhn-Tucker 最佳化條件）」。核心觀念與公式如下：

1. 微增燃料成本（Incremental Fuel Cost, $\mathrm{IC}$ 或 $\lambda$）： 發電機之燃料成本對出力之一階導數，代表機組每增加單位發電量所需增加的成本： $\lambda_i = \frac{dF_i(P_{Gi})}{dP_{Gi}}$

2. 等微增燃料成本準則（Equal Incremental Cost Criterion）： 在不考慮傳輸損失且機組未達出力限制之理想狀況下，系統達到最低運轉成本之充要條件為各運轉機組之微增燃料成本相等： $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = \lambda$ 同時滿足功率平衡方程式： $\sum_{i=1}^n P_{Gi} = P_D$

3. 不等式限制下的庫恩－塔克條件（Kuhn-Tucker Conditions）： 當考慮機組出力上下限限制（$P_{Gi,\min} \le P_{Gi} \le P_{Gi,\max}$）時，最優調度準則修正為：

• 若 $P_{Gi} = P_{Gi,\max}$，則 $\lambda_i \le \lambda$（機組已達發電上限，即使微增成本較便宜亦無法再增加）
• 若 $P_{Gi,\min} < P_{Gi} < P_{Gi,\max}$，則 $\lambda_i = \lambda$（機組處於可調區間，維持等微增成本）
• 若 $P_{Gi} = P_{Gi,\min}$，則 $\lambda_i \ge \lambda$（機組已達發電下限，即使微增成本較昂貴亦無法再降低）

解題方法

子題 (一)

1. 求取各機組之微增燃料成本函數 對各機組燃料成本方程式進行微分： $\lambda_1 = \frac{dF_1}{dP_{G1}} = 40 + 0.02 P_{G1}$ $\lambda_2 = \frac{dF_2}{dP_{G2}} = 20 + 0.002 P_{G2}$

2. 檢驗等微增燃料成本準則之可行性 若強制令 $\lambda_1 = \lambda_2$： $40 + 0.02 P_{G1} = 20 + 0.002 P_{G2} \implies 0.02 P_{G1} - 0.002 P_{G2} = -20$ 同乘以 $500$ 得： $10 P_{G1} - P_{G2} = -10000 \implies P_{G2} = 10 P_{G1} + 10000$ 將功率平衡式 $P_{G1} + P_{G2} = 750$ 代入： $P_{G1} + (10 P_{G1} + 10000) = 750 \implies 11 P_{G1} = -9250 \implies P_{G1} \approx -840.91\ \mathrm{MW}$ 此解小於 $0$，直接違反題目「$P_{G1}, P_{G2} \ge 0$」的物理與數學約束。

3. 邊界最佳化求解（Kuhn-Tucker 條件） 將系統總負載平衡約束 $P_{G2} = 750 - P_{G1}$ 代入總燃料成本函數 $F_T = F_1(P_{G1}) + F_2(P_{G2})$，對 $P_{G1}$ 求一階導數： $\frac{dF_T}{dP_{G1}} = \frac{dF_1}{dP_{G1}} - \frac{dF_2}{dP_{G2}} = \lambda_1 - \lambda_2$ $= (40 + 0.02 P_{G1}) - [20 + 0.002(750 - P_{G1})]$ $= 40 + 0.02 P_{G1} - 20 - 1.5 + 0.002 P_{G1} = 18.5 + 0.022 P_{G1}$

在可行解區間 $0 \le P_{G1} \le 750$ 內，$\frac{dF_T}{dP_{G1}} \ge 18.5 > 0$ 恆成立。 此表示總成本 $F_T$ 隨著 $P_{G1}$ 增加而嚴格單調遞增，故極小值必發生於邊界下限 $P_{G1} = 0\ \mathrm{MW}$。

• 機組 1 出力：$P_{G1} = 0\ \mathrm{MW}$
• 機組 2 出力：$P_{G2} = 750 - 0 = 750\ \mathrm{MW}$

此時兩機組之微增成本分別為： $\lambda_1 = 40 + 0.02(0) = 40$ $\lambda_2 = 20 + 0.002(750) = 21.5$ 符合 $\lambda_1 > \lambda_2$ 且 $P_{G1} = 0$ 之 Kuhn-Tucker 邊界最優條件。

4. 計算總燃料成本 $F_1(0) = 800 + 40(0) + 0.01(0)^2 = 800$ $F_2(750) = 1000 + 20(750) + 0.001(750)^2 = 1000 + 15000 + 0.001(562500) = 16562.5$ $F_T = F_1(0) + F_2(750) = 800 + 16562.5 = 17362.5$

子題 (二)

1. 最佳調度落點分析 當負載增加至 $P_D = 751\ \mathrm{MW}$ 時，同樣檢視成本導數： $\frac{dF_T}{dP_{G1}} = (40 + 0.02 P_{G1}) - [20 + 0.002(751 - P_{G1})] = 18.498 + 0.022 P_{G1} > 0$ 因導數恆正，最優調度依然落在邊界 $P_{G1} = 0\ \mathrm{MW}$，全部增加的 $1\ \mathrm{MW}$ 負載全由機組 2 承擔，即：

• $P_{G1} = 0\ \mathrm{MW}$
• $P_{G2} = 751\ \mathrm{MW}$

2. 增加之總燃料成本計算 機組 1 成本不變（$\Delta F_1 = 0$），總燃料成本增量即為機組 2 之成本增量： $F_2(751) = 1000 + 20(751) + 0.001(751)^2$ $= 1000 + 15020 + 0.001(564001) = 1000 + 15020 + 564.001 = 16584.001$ 成本增量為：

核心觀念

本題旨在評量高壓交流輸電線路之分佈參數特性、無損線路波傳播常數、突波阻抗負載（SIL）以及雙埠傳輸網路矩陣（ABCD 矩陣）的推導與計算。涉及之核心理論與公式如下：

1. 傳播常數與相移常數（Propagation Constant & Phase Constant）：

• 輸電線之傳播常數為 $\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{z y} = \sqrt{(r + j\omega L)(g + j\omega C)}$。
• 當線路為無損（Lossless Line，$r = 0, g = 0$）時，衰減常數 $\alpha = 0$，傳播常數純為虛數： $\gamma = j\beta = j\omega\sqrt{LC}$ 其中 $\beta = \omega\sqrt{LC}$ 為單位長度之相移常數（$\mathrm{rad/km}$），全線之電氣長度為 $\theta = \beta l$（$\mathrm{rad}$ 或度）。

2. 突波阻抗與突波阻抗負載（Surge Impedance & SIL）：

• 無損輸電線之特性阻抗（又稱突波阻抗）為純實數： $Z_c = \sqrt{\frac{z}{y}} = \sqrt{\frac{L}{C}}\ (\Omega)$
• 突波阻抗負載（Surge Impedance Loading, SIL）定義為在額定線電壓 $V_L$ 下，負載端接上等於突波阻抗 $Z_c$ 之純電阻負載時，三相線路所輸送之總實功率： $\mathrm{SIL} = \frac{V_L^2}{Z_c}\ (\mathrm{MW})$ 此時線路電感所消耗的虛功率與線路對地電容所產生的虛功率完全抵消（$Q_L = Q_C$），電壓沿線大小保持平坦（Flat Voltage Profile），線路功率因數為 $1.0$。

3. 雙埠傳輸矩陣（ABCD 矩陣）：

• 雙埠網路關係式定義為： $\begin{bmatrix} V_S \\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R \\ I_R \end{bmatrix}$
• 長線分佈參數（嚴密等效 $\pi$ 模型）在無損條件下之參數為： $A = D = \cosh(\gamma l) = \cos(\beta l)$ $B = Z_c \sinh(\gamma l) = j Z_c \sin(\beta l)$ $C = \frac{1}{Z_c} \sinh(\gamma l) = j \frac{\sin(\beta l)}{Z_c}$
• 對稱被動網路恆滿足互易定理（Reciprocity Theorem）：$AD - BC = 1$ 且對稱線路 $A = D$。

解題方法

(一) 求輸電線路之相移常數 $\beta$

1. 角頻率計算： $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 376.991\ \mathrm{rad/s}$

2. 單位長度參數轉換： $L = 2\ \mathrm{mH/km} = 2 \times 10^{-3}\ \mathrm{H/km}$ $C = 0.01\ \mu\mathrm{F/km} = 10^{-8}\ \mathrm{F/km}$

3. 相移常數計算： $\beta = \omega\sqrt{LC} = (120\pi) \times \sqrt{(2 \times 10^{-3}) \times 10^{-8}} = 120\pi \times \sqrt{2 \times 10^{-11}}$ $\beta = 120\pi \times (4.4721 \times 10^{-6}) \approx 1.686 \times 10^{-3}\ \mathrm{rad/km}$ 化為角度單位： $\beta = 1.6859 \times 10^{-3} \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 0.0966^\circ/\mathrm{km}$

4. 全線長度 $l = 100\ \mathrm{km}$ 之總相移量（電氣長度 $\theta$）： $\beta l = (1.6859 \times 10^{-3}\ \mathrm{rad/km}) \times 100\ \mathrm{km} = 0.1686\ \mathrm{rad} \approx 9.66^\circ$

(二) 求輸電線路之突波阻抗負載（SIL）

1. 計算突波阻抗 $Z_c$： $Z_c = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{-3}\ \mathrm{H/km}}{10^{-8}\ \mathrm{F/km}}} = \sqrt{2 \times 10^5} = 100\sqrt{20} = 200\sqrt{5} \approx 447.21\ \Omega$

2. 計算三相總突波阻抗負載 $\mathrm{SIL}$： 題目給定額定線電壓 $V_L = 345\ \mathrm{kV}$： $\mathrm{SIL} = \frac{V_L^2}{Z_c} = \frac{(345\ \mathrm{kV})^2}{447.21\ \Omega} = \frac{119025}{447.21} \approx 266.15\ \mathrm{MW}$

(三) 求單相等效 $\pi$ 型電路之傳輸線矩陣（ABCD 矩陣）參數值

本題長度 $l = 100\ \mathrm{km}$，考量題目明示「等效 $\pi$ 型電路」，應以分佈參數精確推導（長線嚴密解），同時補充中距離線路之標稱 $\pi$ 模型近似解，以求周全。

【解法一：分佈參數長線嚴密解（等效 $\pi$ 模型）】

因線路無損，$\gamma l = j\beta l = j 0.1686\ \mathrm{rad} = j 9.66^\circ$。

• 計算三角函數值：

核心觀念

本題為電力系統分析中最經典且高頻出現的「電力潮流（Power Flow / Load Flow）」題型，考驗考生對於系統建模、非線性方程式建構、匯流排屬性分類及數值分析特性的綜合理解：

1. 節點導納矩陣（Bus Admittance Matrix, $Y_{\text{bus}}$）：依據克希荷夫電流定律（KCL）檢視相連支路導納，對角項（自導納）為連接於該匯流排之所有支路導納總和，非對角項（互導納）為相鄰匯流排間支路導納之負值。
2. 匯流排分類與功率方程式：

• 根據給定條件區分匯流排類型：參考匯流排（Slack Bus）、負載匯流排（PQ Bus）、發電機匯流排（PV Bus）。
• 注入複功率方程式：$S_i = P_i + jQ_i = V_i I_i^* = V_i \sum_{k=1}^N Y_{ik}^* V_k^*$。

3. 牛頓-拉福森法（Newton-Raphson Method）：利用多元泰勒展開式一階線性化近似，透過功率不平衡量（Mismatch）與雅可比矩陣（Jacobian Matrix）修正未知變數向量。
4. 數值收斂性比較：牛頓法具備二次收斂性（Quadratic Convergence），高斯／高斯-賽德爾法（Gauss-Seidel Method）為一階線性收斂（Linear Convergence）。

解題方法

(一) 求出該系統之導納矩陣 $Y$

本系統共有 3 個匯流排，線路並無對地並聯電納（Shunt Admittance），各線路串聯導納已知：

• 匯流排 1 與 2 之間：$y_{12} = g_{12} + jb_{12}$
• 匯流排 2 與 3 之間：$y_{23} = g_{23} + jb_{23}$
• 匯流排 1 與 3 之間無直接相連線路：$y_{13} = 0$

導納矩陣 $Y$ 各元素依定義求取如下：

1. 對角項（自導納 $Y_{ii}$）：

• $Y_{11} = y_{12} = g_{12} + jb_{12}$
• $Y_{22} = y_{12} + y_{23} = (g_{12} + g_{23}) + j(b_{12} + b_{23})$
• $Y_{33} = y_{23} = g_{23} + jb_{23}$

2. 非對角項（互導納 $Y_{ik} = Y_{ki} = -y_{ik}$）：

• $Y_{12} = Y_{21} = -y_{12} = -g_{12} - jb_{12}$
• $Y_{23} = Y_{32} = -y_{23} = -g_{23} - jb_{23}$
• $Y_{13} = Y_{31} = 0$

將上述元素組成 $3 \times 3$ 導納矩陣：

(二) 列出以牛頓法求解之電力潮流方程式

1. 定義匯流排淨注入功率與各匯流排型態：

• 匯流排 1 有發電機，作為參考匯流排（Slack Bus），設定基準電壓相角 $\delta_1 = 0^\circ$，電壓大小 $|V_1|$ 已知。
• 匯流排 2 與 3 無發電機（$S_{G2}=S_{G3}=0$），僅連接負載，故均為負載匯流排（PQ Bus）。
• 各匯流排排程（指定）注入功率為： $P_2^{sch} = -P_{D2}, \quad Q_2^{sch} = -Q_{D2}$ $P_3^{sch} = -P_{D3}, \quad Q_3^{sch} = -Q_{D3}$

2. 電力潮流計算方程式： 令導納矩陣元素為 $Y_{ik} = G_{ik} + jB_{ik}$，電壓為 $V_i = |V_i|\angle \delta_i$。各匯流排計算之實功率 $P_i$ 與虛功率 $Q_i$ 為：

針對需計算功率不平衡量之匯流排 2 與 3，展開具體方程式（利用 $Y_{13}=0 \implies G_{13}=B_{13}=0$）：

3. 牛頓法迭代修正矩陣方程式： 在第 $m$ 次迭代時，定義功率不平衡量（Mismatch Vector）：

牛頓法線性化修正系統為：

其中 $\mathbf{J}$ 為 $4 \times 4$ 雅可比矩陣（Jacobian Matrix）。求解得到修向量後，更新下一次迭代之狀態變數：