108 地方特考三等 電力工程 電力系統 考古題詳解

108 年・地方特考・三等・電力工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

一條三相、三線、161 kV、60 Hz、80 km 之輸電線路，用於傳送額定 200 MVA 之電力至三相負載。該輸電線路之總損失不得超過該線路傳輸額定容量的 3%。

已知該輸電線路所採用的導體是由多股導電率為 61% 之硬抽鋁線所組成，該導體在溫度 20∘C20^\circ\mathrm{C} 時之電阻率（resistivity）為 2.8×10−8 Ω-m2.8\times10^{-8}\ \Omega\text{-m}。

試求該輸電線路每線導體的等效截面積（以 m2\mathrm{m}^2 為單位）與等效直徑（以 m\mathrm{m} 為單位）。

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核心觀念

本題利用三相輸電線路的銅（鋁）損失限制，反推每相導體所需的電阻，再由導體電阻率求出截面積及等效直徑。

三相平衡負載的總電阻損失為

Ploss=3I2RP_{\text{loss}}=3I^2R

其中 II 為線電流，RR 為每相導體的電阻。三相視在功率與線電流的關係為

S=3VLIS=\sqrt{3}V_LI

導體電阻則依電阻率定義計算：

R=ρℓAR=\rho\frac{\ell}{A}

題目所給電阻率 2.8×10−8 Ω-m2.8\times10^{-8}\ \Omega\text{-m} 已是該導體材料的電阻率，直接代入即可，無須再乘以導電率 61%61\%。

解題方法

損失不得超過額定容量的 3%3\%，故允許總損失為

Ploss,max=0.03(200×106)=6.0×106 WP_{\text{loss,max}}=0.03(200\times10^6) =6.0\times10^6\ \mathrm{W}

以額定三相容量 S=200 MVAS=200\ \mathrm{MVA} 及線電壓 VL=161 kVV_L=161\ \mathrm{kV} 求額定線電流：

I=S3VL=200×1063(161×103)≈716.9 AI=\frac{S}{\sqrt{3}V_L} =\frac{200\times10^6}{\sqrt{3}(161\times10^3)} \approx716.9\ \mathrm{A}

令每相導體電阻為 RR，由三相總損失公式求其上限：

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第 二 題20 分

一條額定三相、三線、765 kV、60 Hz 之長程輸電線路，在送電端（sending end）的電壓 VSV_S、電流 ISI_S 可用受電端（receiving end）之電壓 VRV_R、電流 IRI_R 表示如下：

[VSIS]=[cos⁡(βl)jZcsin⁡(βl)jsin⁡(βl)/Zccos⁡(βl)][VRIR]\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\beta l) & jZ_c\sin(\beta l)\\ j\sin(\beta l)/Z_c & \cos(\beta l) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}

其中已知特性阻抗（characteristic impedance）為 Zc=290.43 ΩZ_c=290.43\ \Omega，參數 βl=21.641∘\beta l=21.641^\circ。

（一）當送電端電壓大小為 765 kV，且受電端為開路條件下，試求受電端之相電壓大小與線電壓大小。

（二）為使送電端電壓與受電端電壓之大小與相位完全相等，試求連接在受電端之三相並聯電抗器（shunt reactor）的每相電抗值與三相總虛功值。

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核心觀念

本題考查長程輸電線路的無損線路模型。以受電端量表示送電端量的傳輸方程式為

[VSIS]=[cos⁡θjZcsin⁡θjsin⁡θ/Zccos⁡θ][VRIR],θ=βl\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & jZ_c\sin\theta\\ j\sin\theta/Z_c & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}, \qquad \theta=\beta l

其中 ZcZ_c 為特性阻抗，θ\theta 為電氣長度。此式的電壓、電流採每相值；題目給定的 765 kV765\ \mathrm{kV} 為線電壓。

受電端開路時 IR=0I_R=0，電壓關係由線路的 A=cos⁡θA=\cos\theta 決定。若受電端接並聯電抗器，則電抗器吸收感性無功，其電流須抵銷線路電容效應造成的超前電流，才能使兩端電壓同相且等幅。

（一）受電端開路電壓

開路時 IR=0I_R=0，傳輸方程式化為

VS=cos⁡θ VRV_S=\cos\theta\,V_R

因此

∣VR∣=∣VS∣cos⁡θ=765cos⁡21.641∘≈823.5 kV|V_R|=\frac{|V_S|}{\cos\theta} =\frac{765}{\cos 21.641^\circ} \approx 823.5\ \mathrm{kV}

這是受電端線電壓。受電端相電壓為

∣VR,ph∣=∣VR∣3=823.53≈475.4 kV|V_{R,\mathrm{ph}}| =\frac{|V_R|}{\sqrt{3}} =\frac{823.5}{\sqrt{3}} \approx 475.4\ \mathrm{kV}

開路時受電端電壓高於送電端，為長線路的開路電壓上升（Ferranti effect）。

（二）受電端並聯電抗器

令兩端電壓大小與相位完全相等，並以每相值表示，即

VS=VR=VV_S=V_R=V

設受電端每相電抗器阻抗為 jXRjX_R，其中 XR>0X_R>0 表示感性電抗。電抗器電流為

IR=VRjXR=−jVXRI_R=\frac{V_R}{jX_R}=-j\frac{V}{X_R}

將 VS=VR=VV_S=V_R=V 代入送電端電壓方程式：

V=Vcos⁡θ+jZcsin⁡θ IRV=V\cos\theta+jZ_c\sin\theta\,I_R

代入電抗器電流：

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第 三 題20 分

一部凸極式同步發電機之搖擺方程式（swing equation）可表示為：

(Hπf0)d2δdt2=Pm−Pe\left(\frac{H}{\pi f_0}\right)\frac{d^2\delta}{dt^2}=P_m-P_e

式中，同步發電機的電磁功率 PeP_e 可表示為：

Pe=Pmax⁡sin⁡(δ)+PKsin⁡(2δ)P_e=P_{\max}\sin(\delta)+P_K\sin(2\delta)

假設發電機之角度 δ\delta 自其穩態工作點 δ0\delta_0 發生偏移 Δδ\Delta\delta，即：

δ=δ0+Δδ\delta=\delta_0+\Delta\delta

（一）試求以 Δδ\Delta\delta 所表示之線性化（linearized）搖擺方程式。

（二）試求該電機之同步功率係數（synchronizing power coefficient）表示式。

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核心觀念

本題考查同步發電機在穩態工作點附近的小擾動分析。將功角寫成 δ=δ0+Δδ\delta=\delta_0+\Delta\delta，並對電磁功率 Pe(δ)P_e(\delta) 在 δ0\delta_0 附近作一階泰勒展開，即可得到線性化搖擺方程式。

同步功率係數定義為穩態工作點附近，電磁功率對功角的斜率：

Ks=dPedδ∣δ=δ0K_s=\left.\frac{dP_e}{d\delta}\right|_{\delta=\delta_0}

解題方法

題目給定：

(Hπf0)d2δdt2=Pm−Pe\left(\frac{H}{\pi f_0}\right)\frac{d^2\delta}{dt^2}=P_m-P_e Pe=Pmax⁡sin⁡δ+PKsin⁡(2δ)P_e=P_{\max}\sin\delta+P_K\sin(2\delta)

穩態工作點下轉子角加速度為零，因此：

Pm=Pe0=Pmax⁡sin⁡δ0+PKsin⁡(2δ0)P_m=P_{e0} =P_{\max}\sin\delta_0+P_K\sin(2\delta_0)

令 δ=δ0+Δδ\delta=\delta_0+\Delta\delta，並假設 Δδ\Delta\delta 很小。一階線性化電磁功率為：

Pe(δ0+Δδ)≈Pe(δ0)+dPedδ∣δ0ΔδP_e(\delta_0+\Delta\delta) \approx P_e(\delta_0) +\left.\frac{dP_e}{d\delta}\right|_{\delta_0}\Delta\delta

先求功角斜率：

dPedδ=Pmax⁡cos⁡δ+2PKcos⁡(2δ)\frac{dP_e}{d\delta} =P_{\max}\cos\delta+2P_K\cos(2\delta)

因此，在工作點 δ0\delta_0：

Ks=Pmax⁡cos⁡δ0+2PKcos⁡(2δ0)K_s=P_{\max}\cos\delta_0+2P_K\cos(2\delta_0)
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第 四 題20 分

一個大型發電廠內的四部同步發電機（SG1、SG2、SG3、SG4），其額定均為三相、24 kV、100 MVA、3600 rpm、60 Hz、Y 連接。四部同步發電機之定子繞組端，分別經由 5 Ω5\ \Omega 的串聯電抗器（series reactor）（SR1、SR2、SR3、SR4）連接至廠內的共同匯流排，如原卷圖示。

原卷圖示之設備排列如下：

SG1SG2SG3SG4\mathrm{SG1}\quad \mathrm{SG2}\quad \mathrm{SG3}\quad \mathrm{SG4}

各發電機分別經由串聯電抗器連接至共同匯流排：

SR1SR2SR3SR4\mathrm{SR1}\quad \mathrm{SR2}\quad \mathrm{SR3}\quad \mathrm{SR4}

已知 SG1、SG2 定子繞組之中性點直接接地；SG3、SG4 定子繞組之中性點分別經由 2 Ω2\ \Omega 之電抗器接地。

SG1、SG2 之正序、負序、零序電抗分別為 0.25 pu0.25\ \mathrm{pu}、0.16 pu0.16\ \mathrm{pu}、0.06 pu0.06\ \mathrm{pu}；SG3、SG4 之正序、負序、零序電抗分別為 0.20 pu0.20\ \mathrm{pu}、0.15 pu0.15\ \mathrm{pu}、0.05 pu0.05\ \mathrm{pu}。

忽略故障前的電流，並假設四部發電機在故障前均工作在額定電壓。當該共同匯流排之 a 相發生單線接地故障時，試求 a 相之故障電流標么值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

這題考同步發電機並聯供電時，單線接地故障的對稱分量分析。故障點的正序、負序、零序網路串聯；每一部發電機的序電抗，還要加上它與匯流排之間的 5 Ω5\ \Omega 串聯電抗器。

中性點經電抗器接地時，零序網路須加入 3Xn3X_n。題目假設故障前電流可忽略、發電機端電壓為額定值，因此故障前正序電壓取 1 pu1\ \mathrm{pu}。

解題方法與計算

以發電機額定值作為共同基準：

Zbase=(24 kV)2100 MVA=5.76 ΩZ_{\text{base}}=\frac{(24\ \mathrm{kV})^2}{100\ \mathrm{MVA}} =5.76\ \Omega

因此每部發電機與匯流排間的串聯電抗器標麼值為：

XSR=55.76=0.86806 puX_{SR}=\frac{5}{5.76}=0.86806\ \mathrm{pu}

SG3、SG4 的中性點接地電抗在零序網路中各增加 3Xn3X_n：

3Xn=3(2)5.76=1.04167 pu3X_n=\frac{3(2)}{5.76}=1.04167\ \mathrm{pu}

各機組的序網路支路電抗如下：

機組正序支路 X1X_1負序支路 X2X_2零序支路 X0X_0
SG1、SG20.25+0.86806=1.118060.25+0.86806=1.118060.16+0.86806=1.028060.16+0.86806=1.028060.06+0.86806=0.928060.06+0.86806=0.92806
SG3、SG40.20+0.86806=1.068060.20+0.86806=1.068060.15+0.86806=1.018060.15+0.86806=1.018060.05+0.86806+1.04167=1.959720.05+0.86806+1.04167=1.95972
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第 五 題20 分

一個額定為三相、三線、345(Y)/34.5(Δ) kV345(Y)/34.5(\Delta)\ \mathrm{kV}、60 MVA、60 Hz 之電力變壓器，採用電力變壓器繞組兩側比流器二次側與差動電驛之適當接線，以達成保護該變壓器之功能。

已知該電力變壓器在 34.5 kV 側所採用之比流器具有 1000/5 A1000/5\ \mathrm{A} 之標準變流比。

試求：

（一）電力變壓器運轉在滿載條件下，345/34.5 kV 兩側之繞組電流大小與線電流大小。

（二）電力變壓器 345/34.5 kV 兩側比流器二次側之接線方式。

（三）電力變壓器 345 kV 側採用比流器之變流比。

（四）電力變壓器運轉在半載條件下，345/34.5 kV 兩側比流器二次側之輸出電流大小。

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核心觀念

本題考查三相變壓器滿載電流、Y／Δ接線的相電流與線電流關係，以及變壓器差動保護的比流器（CT）接線與變流比配合。

三相視在功率為 SS、線電壓為 VLV_L 時，線電流為

IL=S3VLI_L=\frac{S}{\sqrt{3}V_L}

Y 接時，繞組相電流等於線電流；Δ 接時，線電流為繞組相電流的 3\sqrt{3} 倍：

Y 接： Iϕ=ILΔ 接： IL=3Iϕ\text{Y 接： } I_{\phi}=I_L \qquad \text{Δ 接： } I_L=\sqrt{3}I_{\phi}

差動保護的基本原則是：正常負載時，經 CT 變換並接線後，送入差動電驛的兩側電流大小相等、相位相反，使電驛不動作。為補償變壓器 Y／Δ 接線造成的相位位移，CT 二次側須採相反接法：變壓器 Y 側的 CT 接成 Δ，變壓器 Δ 側的 CT 接成 Y。

解題方法與計算

（一）滿載時兩側繞組電流與線電流

額定容量 S=60 MVAS=60\ \mathrm{MVA}。先由三相功率公式計算兩側線電流。

345 kV 側：

IL,345=60×1063×345×103=100.4 AI_{L,345} =\frac{60\times10^6}{\sqrt{3}\times345\times10^3} =100.4\ \mathrm{A}

此側為 Y 接，因此繞組電流等於線電流：

Iϕ,345=IL,345=100.4 AI_{\phi,345}=I_{L,345}=100.4\ \mathrm{A}

34.5 kV 側：

IL,34.5=60×1063×34.5×103=1004.1 AI_{L,34.5} =\frac{60\times10^6}{\sqrt{3}\times34.5\times10^3} =1004.1\ \mathrm{A}

此側為 Δ 接，因此繞組電流為

Iϕ,34.5=IL,34.53=579.7 AI_{\phi,34.5} =\frac{I_{L,34.5}}{\sqrt{3}} =579.7\ \mathrm{A}

（二）兩側 CT 二次側接線方式

變壓器 345 kV 側為 Y 接，該側 CT 二次側採 Δ 接；變壓器 34.5 kV 側為 Δ 接，該側 CT 二次側採 Y 接。

這樣接線可補償變壓器兩側因 Y／Δ 接線產生的相位差，使正常負載電流在差動電驛處相互平衡。

（三）345 kV 側 CT 變流比

34.5 kV 側 CT 的變流比為 1000/51000/5，因此滿載時其二次電流為

Is,34.5=1004.11000/5=5.020 AI_{s,34.5} =\frac{1004.1}{1000/5} =5.020\ \mathrm{A}

34.5 kV 側 CT 二次側採 Y 接，每相送入電驛的電流為 5.020 A5.020\ \mathrm{A}。

345 kV 側 CT 二次側採 Δ 接。Δ 接 CT 的每一支路 CT 二次電流大小為 Is,345I_{s,345}，而送入差動電驛的線電流為 3Is,345\sqrt{3}I_{s,345}。

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