108 地方特考三等 電力工程 電機機械 考古題詳解

108 年・地方特考・三等・電力工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

由兩塊鐵心及兩個線圈組合之磁路示意如下圖。線圈 #1\#1 的匝數 N1=200N_1=200 匝，線圈 #2\#2 的匝數 N2=300N_2=300 匝。每塊鐵心的磁路平均長度為 ℓc=20 cm\ell_c=20\ \mathrm{cm}，鐵心的截面積 AcA_c 與氣隙的截面積 AgA_g 相等，且

Ac=Ag=4 cm2A_c=A_g=4\ \mathrm{cm}^2

鐵心的導磁係數為 μc=100μ0\mu_c=100\mu_0，氣隙的導磁係數為 μ0=4π×10−7 H/m\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}，每個氣隙的間距為 g=2 mmg=2\ \mathrm{mm}。若忽略線圈的漏磁及氣隙的邊緣效應，試求：

(一) 此兩線圈的自感及互感。（10 分）

(二) 若線圈的電流 i1=10 Ai_1=10\ \mathrm{A}、i2=5 Ai_2=5\ \mathrm{A}，計算鐵心的磁通密度及此系統總儲存能量。（10 分）

（原卷含磁路示意圖，標示線圈 #1\#1、線圈 #2\#2、鐵心、兩個氣隙 gg、電流 i1i_1 與 i2i_2。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

此題考磁路的磁阻、線圈自感與互感，以及線性磁路的儲能。

磁路磁阻為

R=ℓμA\mathcal R=\frac{\ell}{\mu A}

磁通量 Φ\Phi、磁動勢 NiNi 與磁阻的關係為

Φ=NiR\Phi=\frac{Ni}{\mathcal R}

兩線圈繞在同一串聯磁路上，忽略漏磁時，耦合係數 k=1k=1，因此

L1=N12R,L2=N22R,M=N1N2RL_1=\frac{N_1^2}{\mathcal R},\qquad L_2=\frac{N_2^2}{\mathcal R},\qquad M=\frac{N_1N_2}{\mathcal R}

依圖示電流方向，兩線圈產生的磁動勢相助，總磁動勢為 N1i1+N2i2N_1i_1+N_2i_2。

解題方法與計算

先將兩塊鐵心與兩個氣隙視為串聯磁路。已知

Ac=Ag=4×10−4 m2,ℓc=0.2 m,g=0.002 mA_c=A_g=4\times10^{-4}\ \mathrm{m^2},\qquad \ell_c=0.2\ \mathrm{m},\qquad g=0.002\ \mathrm{m}

兩塊鐵心的總磁阻為

Rc=2ℓcμcAc=0.4100μ0(4×10−4)=7.958×106 A/Wb\mathcal R_c =\frac{2\ell_c}{\mu_c A_c} =\frac{0.4}{100\mu_0(4\times10^{-4})} =7.958\times10^6\ \mathrm{A/Wb}

兩個氣隙的總磁阻為

Rg=2gμ0Ag=0.004μ0(4×10−4)=7.958×106 A/Wb\mathcal R_g =\frac{2g}{\mu_0 A_g} =\frac{0.004}{\mu_0(4\times10^{-4})} =7.958\times10^6\ \mathrm{A/Wb}

因此總磁阻為

R=Rc+Rg=1.592×107 A/Wb\mathcal R=\mathcal R_c+\mathcal R_g =1.592\times10^7\ \mathrm{A/Wb}

（一）自感與互感

L1=20021.592×107=2.513×10−3 HL_1=\frac{200^2}{1.592\times10^7} =2.513\times10^{-3}\ \mathrm{H}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

某一台三相變壓器的線電壓額定為 13.8 kV:380 V13.8\ \mathrm{kV}:380\ \mathrm{V}，額定容量為 500 kVA500\ \mathrm{kVA}，額定頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz}，在額定電壓及頻率操作的鐵心損失為 4 kW4\ \mathrm{kW}。

當低壓側繞組接三相短路、高壓側繞組接三相電源時，在高壓側量測數據如下：

  • 線電壓為 315 V315\ \mathrm{V}；
  • 線電流為 20.9 A20.9\ \mathrm{A}；
  • 總實功率為 6 kW6\ \mathrm{kW}。

若低壓側繞組接三相負載，負載為額定電壓及頻率，且總實功率為 300 kW300\ \mathrm{kW}，功率因數為 0.80.8 滯後，試求此三相變壓器的效率及電壓調整率。（答案的數值寫至小數點後第三位）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查三相變壓器的短路試驗，以及利用短路試驗求得的等效串聯阻抗，計算負載損失、效率與電壓調整率。

短路試驗時，低壓側短路，高壓側施加較低電壓，使電流達到指定值。由於施加電壓遠低於額定電壓，鐵心損失相對很小，量得的實功率可視為繞組銅損。三相等效串聯阻抗以每相值表示：

Zeq=Vϕ,scIϕ,sc,Req=Psc3Iϕ,sc2,Xeq=Zeq2−Req2Z_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{\phi,\mathrm{sc}}}{I_{\phi,\mathrm{sc}}},\qquad R_{\mathrm{eq}}=\frac{P_{\mathrm{sc}}}{3I_{\phi,\mathrm{sc}}^2},\qquad X_{\mathrm{eq}}=\sqrt{Z_{\mathrm{eq}}^2-R_{\mathrm{eq}}^2}

效率為輸出實功率除以輸入實功率；電壓調整率則以額定負載時的電壓變化量除以額定電壓表示。

解題方法

以高壓側為基準計算。額定線電流為

IH,rated=500 kVA3(13.8 kV)=20.918 AI_{\mathrm{H,rated}} =\frac{500\ \mathrm{kVA}}{\sqrt{3}(13.8\ \mathrm{kV})} =20.918\ \mathrm{A}

短路試驗電流 20.9 A20.9\ \mathrm{A} 幾乎等於額定電流，因此 6 kW6\ \mathrm{kW} 可直接視為額定電流下的銅損：

Pcu,rated≈6 kWP_{\mathrm{cu,rated}}\approx 6\ \mathrm{kW}

負載輸出為 300 kW300\ \mathrm{kW}，功率因數 0.80.8，故輸出視在功率及負載電流占額定電流的比例為

Sout=3000.8=375 kVAS_{\mathrm{out}}=\frac{300}{0.8}=375\ \mathrm{kVA} IloadIrated=375500=0.75\frac{I_{\mathrm{load}}}{I_{\mathrm{rated}}} =\frac{375}{500}=0.75

銅損與電流平方成正比，故該負載下銅損為

Pcu,load=6(0.75)2=3.375 kWP_{\mathrm{cu,load}}=6(0.75)^2=3.375\ \mathrm{kW}

總損失為鐵心損失加銅損：

Ploss=4+3.375=7.375 kWP_{\mathrm{loss}}=4+3.375=7.375\ \mathrm{kW}

因此效率為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題20 分

某一台三相、44 極、Y 接的永磁式同步電動機，每相的等效同步電感為 10 mH10\ \mathrm{mH}，在轉速為 24002400 轉／分時的感應電勢為 320 V320\ \mathrm{V}（線電壓），忽略電樞電阻及旋轉損失。

若三相電源的線電壓為 380 V380\ \mathrm{V}，輸出總功率為 10 kW10\ \mathrm{kW}，且轉速為 24002400 轉／分，試求：

(一) 三相電源的頻率。

(二) 電動機輸入電流。

(三) 輸入的功率因數。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查永磁式同步電動機的同步頻率、每相等效電路與功率因數。題目給定轉速與極數，可由同步轉速關係求頻率；再以相量式和電磁功率式求負載角及電流。

忽略電樞電阻時，電動機每相相量方程式為

V‾=E‾+jXsI‾\underline V=\underline E+jX_s\underline I

其中 V‾\underline V 為端電壓，E‾\underline E 為永磁轉子產生的感應電勢，Xs=ωLsX_s=\omega L_s 為同步電抗。電動機運轉時，E‾\underline E 落後 V‾\underline V 一個負載角 δ\delta。

解題方法與計算

(一) 三相電源頻率

同步轉速關係為

ns=120fPn_s=\frac{120f}{P}

其中 nsn_s 為轉速（轉／分），PP 為極數。代入 ns=2400n_s=2400 轉／分、P=4P=4：

f=nsP120=2400×4120=80 Hzf=\frac{n_sP}{120} =\frac{2400\times4}{120} =80\ \mathrm{Hz}

(二) 電動機輸入電流

Y 接時，相電壓與線電壓的關係為

Vϕ=VL3=3803=219.39 VV_\phi=\frac{V_L}{\sqrt3} =\frac{380}{\sqrt3} =219.39\ \mathrm{V}

感應電勢亦為線電壓，故其相電勢為

Eϕ=3203=184.75 VE_\phi=\frac{320}{\sqrt3} =184.75\ \mathrm{V}

同步電抗為

Xs=2πfLs=2π(80)(0.01)=5.027 ΩX_s=2\pi fL_s =2\pi(80)(0.01) =5.027\ \Omega

忽略電樞電阻與旋轉損失時，輸出功率等於輸入有功功率，也等於電磁功率。同步電動機的三相功率式為

Pout=3VϕEϕXssin⁡δP_{\mathrm{out}}=\frac{3V_\phi E_\phi}{X_s}\sin\delta

因此

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題20 分

某一台三相、Y 接、460 V460\ \mathrm{V}（線電壓）、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、66 極的感應電動機，每相定子的等效電路如下圖所示。若

R1=1.25 Ω,X1=X2=1.60 Ω,Xm=60.0 ΩR_1=1.25\ \Omega,\qquad X_1=X_2=1.60\ \Omega,\qquad X_m=60.0\ \Omega

忽略鐵心損失及旋轉損失，試求在額定電壓及頻率操作，電磁功率為 12 kW12\ \mathrm{kW}、滑差率為 0.0420.042 時，計算電動機的電磁轉矩，以及下圖中轉子側的等效電阻 R2R_2。

（原卷含每相定子等效電路圖，標示 R1R_1、jX1jX_1、jX2jX_2、jXmjX_m、R2/sR_2/s、V^1\hat V_1 與 I^1\hat I_1。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

感應電動機的同步轉速、轉子轉速與滑差關係為

ns=120fP,nr=(1−s)nsn_s=\frac{120f}{P},\qquad n_r=(1-s)n_s

氣隙功率 PagP_{\mathrm{ag}} 中，比例 1−s1-s 轉換為電磁轉換功率 PemP_{\mathrm{em}}：

Pem=(1−s)PagP_{\mathrm{em}}=(1-s)P_{\mathrm{ag}}

因此電磁轉矩可用下列兩種等價方式計算：

Tem=Pagωs=PemωrT_{\mathrm{em}}=\frac{P_{\mathrm{ag}}}{\omega_s} =\frac{P_{\mathrm{em}}}{\omega_r}

每相轉子支路的功率關係為

Pem=3∣I2∣2R21−ssP_{\mathrm{em}} =3|I_2|^2R_2\frac{1-s}{s}

其中 I2I_2 是每相轉子支路電流。

解題方法

本題為 Y 接，先將線電壓換算成每相電壓，並求同步轉速及轉子轉速：

Vϕ=4603=265.58 VV_\phi=\frac{460}{\sqrt{3}}=265.58\ \mathrm{V} ns=120(60)6=1200 rpmn_s=\frac{120(60)}{6}=1200\ \mathrm{rpm} nr=(1−0.042)(1200)=1149.6 rpmn_r=(1-0.042)(1200)=1149.6\ \mathrm{rpm}

轉子角速度為

ωr=2πnr60=120.39 rad/s\omega_r=\frac{2\pi n_r}{60}=120.39\ \mathrm{rad/s}

題目給定電磁轉換功率 Pem=12 kWP_{\mathrm{em}}=12\ \mathrm{kW}，故電磁轉矩為

Tem=12000120.39=99.68 N⋅mT_{\mathrm{em}}=\frac{12000}{120.39} =99.68\ \mathrm{N\cdot m}

接著以戴維寧等效電路求 R2R_2。由每相等效電路，定子端看入磁化支路的戴維寧阻抗為

Zth=(R1+jX1)∥jXm≈1.185+j1.582 ΩZ_{\mathrm{th}} =(R_1+jX_1)\parallel jX_m \approx 1.185+j1.582\ \Omega

戴維寧電壓為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 五 題20 分

某一台分激式直流電動機（DC shunt motor）的激磁場繞組電阻為 Rf=100 ΩR_f=100\ \Omega，電樞電阻為 Ra=0.25 ΩR_a=0.25\ \Omega，等效電路如下圖所示。圖中 EaE_a 為感應電動勢或反電動勢，RxR_x 為串聯於激磁場繞組的電阻，RxR_x 可調整範圍為 0 Ω0\ \Omega 至 100 Ω100\ \Omega。

當電動機端電壓 VtV_t 為 120 V120\ \mathrm{V}、電樞電流為 8 A8\ \mathrm{A} 時，轉速為 12001200 轉／分。忽略電樞反應及鐵心的磁飽和，試求：

(一) 若電動機端電壓 VtV_t 為 120 V120\ \mathrm{V}、Rx=0 ΩR_x=0\ \Omega、電磁轉矩為 50 N⋅m50\ \mathrm{N\cdot m}，計算電動機的電樞電流及轉速。（10 分）

(二) 若電動機端電壓 VtV_t 為 100 V100\ \mathrm{V}，調整串聯電阻 RxR_x，使轉速為 15001500 轉／分、電磁功率為 5 kW5\ \mathrm{kW}，計算此串聯電阻 RxR_x 的值。（10 分）

（原卷含直流電動機等效電路圖，標示 RxR_x、RaR_a、VtV_t、RfR_f 與 EaE_a。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

分激式直流電動機的電樞電壓方程式、感應電勢與電磁轉矩關係為

Ea=Vt−IaRa,Ea=kϕω,Te=kϕIaE_a=V_t-I_aR_a,\qquad E_a=k\phi\omega,\qquad T_e=k\phi I_a

忽略電樞反應及磁飽和時，磁通 ϕ\phi 與激磁電流 IfI_f 成正比；激磁電流則為

If=VtRf+RxI_f=\frac{V_t}{R_f+R_x}

題目未標明初始運轉資料的 RxR_x 設定，以下依本題分激馬達的基準條件，採 Rx=0 ΩR_x=0\ \Omega 計算基準磁通。

解題方法

先用題目給定的 Vt=120 VV_t=120\ \mathrm{V}、Ia=8 AI_a=8\ \mathrm{A} 求出基準反電動勢，再由 Ea=kϕωE_a=k\phi\omega 求基準的 kϕk\phi。第（一）題磁通不變，可用 Te=kϕIaT_e=k\phi I_a 求電樞電流；第（二）題由電磁功率 Pconv=EaIaP_{\mathrm{conv}}=E_aI_a 求電樞電流，再用轉速求所需磁通，最後換算 RxR_x。

（一）求電樞電流與轉速

基準反電動勢為

Ea0=120−(8)(0.25)=118 VE_{a0}=120-(8)(0.25)=118\ \mathrm{V}

基準角速度為

ω0=12002π60=125.664 rad/s\omega_0=1200\frac{2\pi}{60}=125.664\ \mathrm{rad/s}

因此基準的電磁轉矩常數為

kϕ0=Ea0ω0=118125.664=0.9399 N⋅m/Ak\phi_0=\frac{E_{a0}}{\omega_0} =\frac{118}{125.664} =0.9399\ \mathrm{N\cdot m/A}

第（一）題 Rx=0 ΩR_x=0\ \Omega，與基準條件磁通相同。由 Te=kϕIaT_e=k\phi I_a：

Ia=500.9399=53.20 AI_a=\frac{50}{0.9399}=53.20\ \mathrm{A}

電樞反電動勢為

Ea=120−(53.20)(0.25)=106.70 VE_a=120-(53.20)(0.25)=106.70\ \mathrm{V}

磁通不變，故

ω=Eakϕ0=106.700.9399=113.53 rad/s\omega=\frac{E_a}{k\phi_0} =\frac{106.70}{0.9399} =113.53\ \mathrm{rad/s} n=ω602π=1084 轉／分n=\omega\frac{60}{2\pi}=1084\ \mathrm{轉／分}

（二）求串聯電阻 RxR_x

電磁功率為 Pconv=EaIa=5000 WP_{\mathrm{conv}}=E_aI_a=5000\ \mathrm{W}，而

Ea=100−0.25IaE_a=100-0.25I_a

因此

(100−0.25Ia)Ia=5000(100-0.25I_a)I_a=5000

解得

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

電力工程《電機機械》其他年度

113111110109107