109 地方特考三等 電子工程 電路學 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・電子工程
試題代碼 電路學

第 一 題20 分

如下圖所示的交流電橋電路，已知

vs(t)=220cos⁡(377t+10∘) V,Ra=40 kΩ,Rb=1.2 kΩ,C=0.05 μF。v_s(t)=220\cos(377t+10^\circ)\ \mathrm{V},\quad R_a=40\ \mathrm{k\Omega},\quad R_b=1.2\ \mathrm{k\Omega},\quad C=0.05\ \mu\mathrm{F}。

當該交流電橋電路調整至 Rc=1 kΩR_c=1\ \mathrm{k\Omega} 時，恰好使經該電橋中間交流電流錶的電流為零，試求此時 RxR_x 及 LxL_x 之值。

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核心觀念

交流電橋在中間電流錶電流為零時，兩個中點電位相同，稱為電橋平衡。設左側上、下臂阻抗分別為 Z1、Z2Z_1、Z_2，右側上、下臂分別為 Z3、Z4Z_3、Z_4，平衡條件為

Z1Z4=Z2Z3.Z_1Z_4=Z_2Z_3.

本題左上臂是 RaR_a 與電容 CC 並聯，右下臂是 RxR_x 與電感 LxL_x 串聯。

解題方法

角頻率為 ω=377 rad/s\omega=377\ \mathrm{rad/s}。電容與 RaR_a 並聯的阻抗為

Z1=Ra∥1jωC=11Ra+jωC.Z_1=R_a\parallel\frac{1}{j\omega C} =\frac{1}{\frac{1}{R_a}+j\omega C}.

由平衡條件 Z1(Rx+jωLx)=RbRcZ_1(R_x+j\omega L_x)=R_bR_c，可得

Rx+jωLx=RbRcZ1=RbRc(1Ra+jωC).R_x+j\omega L_x =\frac{R_bR_c}{Z_1} =R_bR_c\left(\frac{1}{R_a}+j\omega C\right).
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第 二 題20 分

如下圖所示，為一個平衡三相正相序電源經由理想的三相變壓器組（three-phase transformer bank）連接至一個三相平衡之 RCRC 串聯負載。

已知該電路之參數為：

n=5,R=8 Ω,−jXC=−j6 Ω。n=5,\quad R=8\ \Omega,\quad -jX_C=-j6\ \Omega。

試求該三相變壓器組兩側的線電壓有效值與相電壓有效值、線電流有效值與相電流有效值，以及三相負載端吸收的三相總實功、三相總虛功。

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核心觀念

圖中一次側三個變壓器繞組接成三角形（Δ\Delta），二次側繞組接成星形（Y）；三相 RCRC 串聯負載也接成星形。每個變壓器的匝數比為 n:1=5:1n:1=5:1。

三角形與星形的線、相關係為：

  • Δ\Delta 側：VL=VϕV_L=V_\phi，IL=3IϕI_L=\sqrt{3}I_\phi。
  • Y 側：VL=3VϕV_L=\sqrt{3}V_\phi，IL=IϕI_L=I_\phi。

其中相電壓、相電流是指各相繞組或負載支路的電壓、電流。

解題方法

一次側線電壓為 4500 V4500\ \text{V}。一次側接成 Δ\Delta，所以每個一次繞組的相電壓為

Vϕ1=VL1=4500 VV_{\phi 1}=V_{L1}=4500\ \text{V}

依變壓器匝數比，二次側每相繞組電壓為

Vϕ2=Vϕ1n=45005=900 VV_{\phi 2}=\frac{V_{\phi 1}}{n} =\frac{4500}{5}=900\ \text{V}

二次側接成 Y，因此二次側線電壓為

VL2=3Vϕ2=9003≈1558.8 VV_{L2}=\sqrt{3}V_{\phi 2} =900\sqrt{3}\approx1558.8\ \text{V}

每相負載阻抗為

Zϕ=R−jXC=8−j6=10∠−36.87∘ ΩZ_\phi=R-jX_C=8-j6 =10\angle -36.87^\circ\ \Omega

所以二次側每相負載電流為

Iϕ2=Vϕ2Zϕ=90010=90 AI_{\phi 2}=\frac{V_{\phi 2}}{Z_\phi} =\frac{900}{10}=90\ \text{A}

二次側為 Y 接，線電流等於相電流：

IL2=Iϕ2=90 AI_{L2}=I_{\phi 2}=90\ \text{A}

理想變壓器每相電流與匝數比成反比，故一次側每相繞組電流為

Iϕ1=Iϕ2n=905=18 AI_{\phi 1}=\frac{I_{\phi 2}}{n} =\frac{90}{5}=18\ \text{A}

一次側為 Δ\Delta 接，線電流為

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第 三 題20 分

如下圖所示，為利用一個理想的單刀三擲開關（ideal single-pole three-throw switch）做切換之電路。該開關在位置 aa 已經很長一段時間了，並在 t=0 st=0\ \mathrm{s} 瞬間切換至位置 bb，之後又在 t=1 st=1\ \mathrm{s} 瞬間切換至位置 cc。

若

Vs=80 V,C=0.25 F,R0=1 Ω,R1=3 Ω,R2=10 Ω,L=4 H,V_s=80\ \mathrm{V},\quad C=0.25\ \mathrm{F},\quad R_0=1\ \Omega,\quad R_1=3\ \Omega,\quad R_2=10\ \Omega,\quad L=4\ \mathrm{H},

試求圖中 v(t)v(t) 在所有時間範圍的響應。

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核心觀念

本題考查分段切換電路的暫態響應，以及電容電壓、電感電流的連續性：

  • 電容電壓不能瞬間跳變：vC(0+)=vC(0−)v_C(0^+)=v_C(0^-)。
  • 電感電流不能瞬間跳變：iL(1+)=iL(1−)i_L(1^+)=i_L(1^-)。
  • 每次切換後，依當下的電路拓樸建立微分方程，並使用切換瞬間的初始條件求解。

解題方法

開關在 aa 已維持很久，電容經 R0R_0 放電至穩態，因此

v(0−)=0,iL(0−)=0.v(0^-)=0,\qquad i_L(0^-)=0.

在 t=0t=0 切到 bb 後，電容透過 R1R_1 接至 VsV_s，形成一階 RC 充電電路。此時 R0R_0 與電容斷開，故

v(t)=Vs+[v(0+)−Vs]e−t/(R1C).v(t)=V_s+\bigl[v(0^+)-V_s\bigr]e^{-t/(R_1C)}.

代入 Vs=80 VV_s=80\ \mathrm V、R1C=3(0.25)=0.75 sR_1C=3(0.25)=0.75\ \mathrm s、v(0+)=0v(0^+)=0：

v(t)=80(1−e−4t/3) V,0≤t<1.v(t)=80\left(1-e^{-4t/3}\right)\ \mathrm V,\qquad 0\le t<1.

在 t=1t=1 切到 cc 時，電容接上串聯的 LL、R2R_2 支路，電源與電容斷開。電容電壓連續，因此

v(1+)=v(1−)=80(1−e−4/3).v(1^+)=v(1^-)=80\left(1-e^{-4/3}\right).

切換前電感支路未接通，故 iL(1−)=0i_L(1^-)=0；依電感電流連續性，iL(1+)=0i_L(1^+)=0。由切換後節點的 KCL，Cdvdt+iL=0C\frac{dv}{dt}+i_L=0，因此

dvdt∣1+=0.\left.\frac{dv}{dt}\right|_{1^+}=0.

令 τ=t−1\tau=t-1。切換後支路電壓為 v=LdiLdt+R2iLv=L\frac{di_L}{dt}+R_2i_L，配合 KCL 可得

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第 四 題20 分

如下圖所示之 RLCRLC 電路做為帶通濾波器（bandpass filter）使用，其轉移函數（transfer function）如下所列：

H(s)=Vo(s)Vi(s)=2ss2+2s+106。H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{2s}{s^2+2s+10^6}。

若選用電阻器 R=10 kΩR=10\ \mathrm{k\Omega}，試求電感器 LL 與電容器 CC 之數值。

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核心觀念

此電路是電阻 RR 串聯理想並聯 LCLC 支路，輸出電壓取在並聯 LCLC 兩端。先求並聯支路阻抗，再用分壓公式建立轉移函數，並與題目給定的形式比較係數。

解題方法

電感與電容的阻抗分別為 sLsL 與 1sC\frac{1}{sC}，因此並聯阻抗為

ZLC=(sL)∥1sC=sLs2LC+1.Z_{LC}=(sL)\parallel\frac{1}{sC} =\frac{sL}{s^2LC+1}.

由分壓公式，

H(s)=Vo(s)Vi(s)=ZLCR+ZLC=sLR(s2LC+1)+sL.H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)} =\frac{Z_{LC}}{R+Z_{LC}} =\frac{sL}{R(s^2LC+1)+sL}.

將分子、分母同除以 RLCRLC，整理成標準形式：

H(s)=sRCs2+sRC+1LC.H(s)=\frac{\dfrac{s}{RC}} {s^2+\dfrac{s}{RC}+\dfrac{1}{LC}}.

與題目給定的

H(s)=2ss2+2s+106H(s)=\frac{2s}{s^2+2s+10^6}

比較係數，可得

1RC=2,1LC=106.\frac{1}{RC}=2,\qquad \frac{1}{LC}=10^6.
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第 五 題20 分

如下圖所示，為具有一個線性變壓器（linear transformer）之雙埠網路（two-port network）。試求該電路的 ZZ 參數（zz parameters）或阻抗參數（impedance parameters）。

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核心觀念

ZZ 參數的定義為

[V1V2]=[z11z12z21z22][I1I2],\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix},

其中 I1、I2I_1、I_2 均以流入雙埠網路為正。

線性變壓器的互感阻抗符號由點標記決定。兩個線圈的電流都流入有點端，因此互感項為 +j4 Ω+j4\,\Omega。兩線圈下端相接，並經 10 Ω10\,\Omega 電阻接至共同參考端；該電阻電流為 I1+I2I_1+I_2。

解題方法

令兩線圈下端的共同節點電壓為 VxV_x。由 10 Ω10\,\Omega 電阻可得

Vx=10(I1+I2).V_x=10(I_1+I_2).

以各線圈的點端對無點端電壓表示線圈電壓：

VL1=j6I1+j4I2,VL2=j4I1+j8I2.V_{L1}=j6I_1+j4I_2, \qquad V_{L2}=j4I_1+j8I_2.

左側端口另有串聯阻抗 −j2 Ω-j2\,\Omega，右側端口另有串聯電阻 5 Ω5\,\Omega，故

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