113 地方特考三等 電子工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 戴維寧等效電路：$V_{\mathrm{th}}$ 與 $R_{\mathrm{th}}$
• 諾頓等效電路：$I_{\mathrm{N}}$ 與 $R_{\mathrm{N}}$
• 含受控源電路的等效電阻求法
• 最大功率傳輸定理

受控電流源與受控電壓源不可任意關閉；求 $R_{\mathrm{th}}$ 時，只能將獨立電壓源 $12\text{ V}$ 短路。

一、建立控制變數關係

左側 $2\Omega$ 電阻電流為 $i_1$，受控電壓源上端電壓為 $v_1/5$，因此：

右側節點電壓 $v_1$ 接有 $20\Omega$ 電阻及受控電流源 $5i_1$，方向均由上往下。

二、戴維寧等效電路

1. 求開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$

移除負載電阻 $R$。由於 $4\Omega$ 電阻沒有電流流過，因此其兩端電壓為零，故負載端開路電壓就是：

對 $v_1$ 節點套用 KCL：

代入 $i_1=6-\dfrac{v_1}{10}$：

因此：

2. 求等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$

將 $12\text{ V}$ 獨立電壓源短路，並在負載端加測試電壓 $V_t$。

此時左側電流為：

設測試源流入電路的電流為 $I_t$，則：

對 $v_1$ 節點套用 KCL：

代入 $i_1=-\dfrac{v_1}{10}$：

整理得：

因此：

所以：

故戴維寧等效電路為：

核心觀念

本題考查串聯電阻、電感與並聯電容電路的二階暫態響應，使用：

• 電容電壓連續性：$v_C(0^+)=v_C(0^-)=0$
• 電感電流連續性：$i_L(0^+)=i_L(0^-)=0$
• 電容關係式： $i_C=C\frac{dv_C}{dt}$
• 電感關係式： $v_L=L\frac{di_L}{dt}$

圖中元件值為：

$R_s=1\ \Omega,\qquad R_L=1\ \Omega,\qquad C=1\ \mathrm{F},\qquad L=1\ \mathrm{H}$

電源為 $1\ \mathrm{V}$。

解題方法

設電容上端電壓為 $v_C(t)$，電感電流方向如圖所示為 $i_L(t)$。

1. 建立節點方程式

左側 $1\ \Omega$ 電阻流入節點的電流為：

$\frac{1-v_C}{1}=1-v_C$

由 KCL：

$1-v_C=i_C+i_L$

又因為 $C=1\ \mathrm{F}$，

$i_C=\frac{dv_C}{dt}$

因此：

2. 建立右側支路方程式

電容上端節點電壓等於電感與右側 $1\ \Omega$ 電阻的總電壓：

$v_C=v_L+R_Li_L$

代入 $v_L=L\dfrac{di_L}{dt}$、$L=1\ \mathrm{H}$、$R_L=1\ \Omega$：

$v_C=\frac{di_L}{dt}+i_L$

所以：

初始條件為：

$v_C(0)=0,\qquad i_L(0)=0$

3. 求穩態值

在穩態時，電容開路、電感短路，因此右側為 $1\ \Omega$ 負載，與左側 $1\ \Omega$ 電阻形成分壓：

$v_C(\infty)=\frac{1}{1+1}=\frac12\ \mathrm{V}$

穩態電流為：

$i_L(\infty)=\frac{1}{1+1}=\frac12\ \mathrm{A}$

令偏移量為：

$x_1=v_C-\frac12,\qquad x_2=i_L-\frac12$

由式 $(1)$、$(2)$ 得：

核心觀念

本題考查平衡三相電路中 $Y$ 接電源與 $\Delta$ 接負載的相量換算：

• 平衡三相正相序： $\dot V_{ab}=\sqrt{3}\dot V_{an}\angle 30^\circ$
• $\Delta$ 負載中，負載相電壓等於電源線電壓： $V_{P}=V_{L}=220\ \mathrm{V(rms)}$
• $\Delta$ 負載的相電流為 $\dot I_{AB}=\frac{\dot V_{AB}}{\dot Z_P}$
• 線電流為兩個相電流的相量和： $\dot I_a=\dot I_{AB}+\dot I_{AC}$
• 負載功率因數由阻抗角決定： $\cos\theta=\frac{R}{|Z|}$

已知 $\dot Z_P=4+j3=5\angle36.87^\circ\ \Omega$

因此負載功率因數為 $0.8$，且為落後功率因數。

解題方法

題目給定

$v_{ab}(t)=220\sqrt{2}\cos(120\pi t)\ \mathrm{V}$

故其有效值相量為

$\dot V_{ab}=220\angle0^\circ\ \mathrm{V}$

因負載為平衡 $\Delta$ 接，先求 $AB$ 支路相電流：

$\dot I_{AB}=44\angle-36.87^\circ\ \mathrm{A}$

對正相序三相系統，

$\dot V_{AC}=220\angle-60^\circ\ \mathrm{V}$

所以

$\dot I_{AC}=44\angle-96.87^\circ\ \mathrm{A}$

由圖中方向，線電流 $i_a$ 為

$\dot I_a=\dot I_{AB}+\dot I_{AC}$

也可利用平衡 $\Delta$ 負載的關係：

$I_L=\sqrt{3}I_P$

且線電流相對於 $V_{ab}$ 落後角度為

$30^\circ+\theta_Z=30^\circ+36.87^\circ=66.87^\circ$

因此

$\dot I_a=76.21\angle-66.87^\circ\ \mathrm{A(rms)}$

（一）線電流 $i_a(t)$

由有效值相量轉換為時域瞬時值：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的虛短路、虛接地，以及含電容電路的一階暫態響應。

兩個運算放大器的非反相端皆接地，因此在負回授正常工作下：

• 第一級反相端電位為 $0\ \mathrm{V}$
• 第二級反相端電位為 $0\ \mathrm{V}$
• 輸入端電流不流入運算放大器

圖中電容兩端電壓標示為左負右正，因此

其中 $v_1$ 為第一級運算放大器輸出電壓。

解題方法

1. 求第二級運算放大器關係式

第二級為反相放大器，輸入電阻為 $10\ \Omega$，回授電阻為 $5\ \Omega$。

由虛接地節點列 KCL：

因此

2. 對第一級反相端列 KCL

第一級反相端為虛接地，電位為 $0\ \mathrm{V}$。

流經各支路的電流總和為零：

其中

整理得

代入 $v_o=-v_1/2$：

所以

核心觀念

本題考查正弦穩態下的耦合電感電路，需使用：

• 相量法；
• 電感阻抗：$j\omega L$；
• 電容阻抗：$\dfrac{1}{j\omega C}$；
• 耦合電感互感阻抗：$j\omega M$；
• 點標記（dot convention）判斷互感項正負。

已知

且

電源有效值相量為

解題方法

依圖中電流方向，$i_1$ 流過左側電感時是離開點標記端；$i_2$ 流過右側電感時則是進入點標記端。因此兩迴路的互感項為負號。

左側電感的阻抗為

右側電感的阻抗為

電容阻抗為

互感阻抗為

建立迴路方程式

左側迴路：

右側迴路沒有獨立電源，且其總阻抗為

故右側迴路：

由第二式得