113 地方特考三等 電子工程 電磁學 考古題詳解

核心觀念

此題考有損介質中的均勻平面波，以及低損耗介電材料的近似條件。採用時間因子 $e^{j\omega t}$，波沿 $+z$ 方向傳播，傳播常數寫成 $\gamma=\alpha+j\beta$，其中 $\alpha$ 為衰減常數，$\beta$ 為相位常數。

由麥克斯威方程式可得有損介質的傳播常數與本質阻抗：

$$\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)},\qquad \eta_c=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}.$$

（一）低損耗條件

低損耗介電材料中，傳導電流遠小於位移電流，因此需滿足：

$$\sigma\ll\omega\varepsilon \qquad\text{或等價地}\qquad \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll 1.$$

其中 $\sigma/(\omega\varepsilon)$ 稱為損耗正切 $\tan\delta$。低損耗條件表示 $\tan\delta\ll1$。

（二）傳播常數、衰減常數與相位常數

從傳播常數公式開始：

$$\gamma =\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} =\sqrt{-\omega^2\mu\varepsilon+j\omega\mu\sigma}.$$

令 $p=\sigma/(\omega\varepsilon)$，則

$$\gamma=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\sqrt{1-jp}.$$

低損耗時 $p\ll1$，利用二項式近似：

$$\sqrt{1-jp}\approx 1-\frac{jp}{2}.$$

因此

$$\begin{aligned} \gamma &\approx j\omega\sqrt{\mu\varepsilon} \left(1-j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon}\right)\\ &=\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} +j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}. \end{aligned}$$

與 $\gamma=\alpha+j\beta$ 比較，可得

$$\boxed{\alpha\approx\frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}}$$

以及

$$\boxed{\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon}}.$$

此處 $\alpha$ 的單位為 Np/m，$\beta$ 的單位為 rad/m。

（三）相速度與本質阻抗

核心觀念

此題考查均勻平面波的相位常數、角頻率、相速度與傳播方向，以及無耗介質中的平面波阻抗關係。

若波的相位寫成 $\omega t-\beta z$，則波沿 $+z$ 方向傳播；相速度為 $v_p=\omega/\beta$。在無耗介質中，$v_p=1/\sqrt{\mu\varepsilon}$，而電場與磁場的振幅關係為 $E_0/H_0=\eta=\sqrt{\mu/\varepsilon}$。

解題方法

由題目磁場

$$\mathbf{H}=H_0\hat{\mathbf{a}}_y\cos(3\pi\times10^9t-10\pi z)\ \text{A/m}$$

與標準相位形式 $\cos(\omega t-\beta z)$ 比較，可得

$$\omega=3\pi\times10^9\ \text{rad/s},\qquad \beta=10\pi\ \text{rad/m}.$$

(一) 相速度

$$v_p=\frac{\omega}{\beta} =\frac{3\pi\times10^9}{10\pi} =3\times10^8\ \text{m/s}.$$

(二) 傳播方向

相位為 $\omega t-\beta z$，固定相位點滿足 $\omega t-\beta z=\text{常數}$。隨時間增加，$z$ 也增加，因此傳播方向為 $+z$：

$$\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{a}}_z.$$

(三) 介質常數 $\varepsilon_r$

已知 $\mu=\mu_0$，且 $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$。由相速度公式

$$v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r}} =\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}},$$

其中 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=3\times10^8\ \text{m/s}$。代入 $v_p=c$：

核心觀念

本題考查同心球形電容器的電場、電位差與電容定義。電容定義為

$$C=\frac{Q}{V_{ab}-V_b}.$$

外金屬球接地，故 $V_b=0$，因此 $C=Q/V_{ab}$。兩球間為介電係數 $\varepsilon$ 的均勻介電質，球對稱使電場只沿徑向，且大小僅與半徑 $r$ 有關。

解題方法

取半徑 $r$、滿足 $a<r<b$ 的球形高斯面。由球對稱及高斯定律，

$$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q, \qquad D_r(4\pi r^2)=Q.$$

因此

$$\mathbf{D}=\frac{Q}{4\pi r^2}\,\hat{\mathbf r}, \qquad \mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\,\hat{\mathbf r}.$$

內球電位相對外球電位為

核心觀念

本題考有損雙導線傳輸線的分布式等效電路、電報方程式、波動方程式與行進波解。單位長度參數為串聯電阻 $R$、串聯電感 $L$、並聯電導 $G$、並聯電容 $C$；在時間諧波下，微分算子 $\frac{\partial}{\partial t}$ 以 $j\omega$ 取代。

以下採用相量時間慣例 $e^{j\omega t}$，並令 $+z$ 為傳播方向。若採用 $e^{-j\omega t}$，式中的 $j\omega$ 符號須相應改變。

解題方法

（一）長度 $\Delta z$ 的等效電路

線段 $\Delta z$ 的串聯阻抗為 $(R+j\omega L)\Delta z$，並聯導納為 $(G+j\omega C)\Delta z$。等效電路可表示為：

 串聯阻抗 (R + jωL)Δz
 I(z) → ────────[ ]──────── → I(z+Δz)
 │ │
 V(z) V(z+Δz)
 │ │
 └──────[ (G+jωC)Δz ]──────┘
 │
 回流導線

此圖中，並聯導納支路接在兩導線之間；串聯元件表示兩導線迴路的總串聯參數。

（二）由 KVL、KCL 推導時間諧波傳輸線方程式

取長度 $\Delta z$ 的微小線段。沿 $+z$ 方向套用 KVL：

$$V(z,t)-V(z+\Delta z,t) =R\Delta z\,I(z,t)+L\Delta z\,\frac{\partial I(z,t)}{\partial t}.$$

兩側除以 $\Delta z$，令 $\Delta z\to0$：

$$\frac{\partial V}{\partial z} =-RI-L\frac{\partial I}{\partial t}.$$

套用 KCL，流入線段的電流減去流出電流，等於並聯支路電流：

$$I(z,t)-I(z+\Delta z,t) =G\Delta z\,V(z,t)+C\Delta z\,\frac{\partial V(z,t)}{\partial t},$$

因此

$$\frac{\partial I}{\partial z} =-GV-C\frac{\partial V}{\partial t}.$$

令 $V(z,t)=\operatorname{Re}\{V(z)e^{j\omega t}\}$、$I(z,t)=\operatorname{Re}\{I(z)e^{j\omega t}\}$，則時間微分對應乘上 $j\omega$，得到時間諧波電報方程式：

$$\boxed{\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I}$$ $$\boxed{\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V}.$$

（三）電壓與電流相量的波動方程式

對電壓方程式再對 $z$ 微分：

$$\frac{d^2V}{dz^2} =-(R+j\omega L)\frac{dI}{dz} =(R+j\omega L)(G+j\omega C)V.$$