107 地方特考三等 環境工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量**流體剛體等加速度運動（Rigid-Body Motion of Fluids / Relative Equilibrium）**之靜力平衡分析，主要涵蓋以下核心原理與公式：

1. 等加速度流體之壓力梯度方程式（Euler 方程式）： 當液體盛裝於容器內進行整體等加速度運動時，液體內部各流體質點間無相對滑移（剪應力為零），流體處於相對平衡狀態。其動量方程式簡化為： $\nabla P = \rho (\mathbf{g} - \mathbf{a})$ 式中，$P$ 為流體壓力，$\rho$ 為流體密度，$\mathbf{g}$ 為重力加速度向量，$\mathbf{a}$ 為容器之線性加速度向量。
2. 等壓面與自由水面方程式： 等壓面上任一點滿足 $dP = 0$。自由液面（Free Surface）與大氣相接，為一大氣壓之等壓面，其法線方向恆平行於流體所受之有效重力向量（$\mathbf{g}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{g} - \mathbf{a}$）。
3. 連續方程式與體積守恆（無溢流判定）： 在等加速度運動過程中，若水未溢出容器外（$h_{\max} \le H$）且容器底部未裸露（$h_{\min} \ge 0$），因水為不可壓縮流體，液體總體積保持不變，水面將繞著容器中心軸線旋轉，容器中心處之水深恆等於初始靜止水深。

解題方法

座標系統建立與基本參數

• 取容器底部左下角為座標原點 $(0, 0)$。
• 水平向右為 $+x$ 軸方向，垂直向上為 $+z$ 軸方向。
• 容器尺寸：長 $L = 60\ \mathrm{cm} = 0.6\ \mathrm{m}$，寬 $W = 50\ \mathrm{cm} = 0.5\ \mathrm{m}$，高 $H = 100\ \mathrm{cm} = 1.0\ \mathrm{m}$。
• 初始水深：$h_0 = 40\ \mathrm{cm} = 0.4\ \mathrm{m}$。
• 加速度：水平向右 $a_x = 5\ \mathrm{m/s^2}$，垂直方向無加速度 $a_z = 0$。
• 重力加速度：取國家考試標準值 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$（文末亦附 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 之結果）。

(一) 求容器中自由水面之斜率（Slope of the Free Surface）

1. 壓力梯度分量推導： 依據流體等加速度運動動量方程式： $\frac{\partial P}{\partial x} = -\rho a_x$ $\frac{\partial P}{\partial z} = -\rho (g + a_z) = -\rho g$
2. 全微分方程式： $dP = \frac{\partial P}{\partial x} dx + \frac{\partial P}{\partial z} dz = -\rho a_x dx - \rho g dz$
3. 自由水面斜率公式： 自由水面上之壓力恆為大氣壓（$P = P_{\mathrm{atm}}$），故 $dP = 0$： $-\rho a_x dx - \rho g dz = 0 \implies \frac{dz}{dx} = -\frac{a_x}{g}$
4. 數值代入： $\frac{dz}{dx} = -\frac{5}{9.8} = -\frac{25}{49} \approx -0.5102$ （若取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$，則 $\frac{dz}{dx} = -\frac{5}{9.81} \approx -0.5097$）

物理意義：斜率為負值，代表自由液面呈現「左高右低」的傾斜狀態，相對於水平面之傾角大小為

核心觀念

本題屬於「非慣性控制體積／移動控制體積之動量方程式」與「變加速度運動學」的經典題型，評量重點如下：

1. 控制體積動量方程式（Momentum Equation for Moving Control Volume）：當控制體積隨受力物體加速移動時，需考慮相對速度與相對於控制面的質量通量。
2. 相對速度（Relative Velocity）與相對質量流率（Relative Mass Flow Rate）：噴流與長方體呈反向運動（迎面撞擊），流體進入控制面的相對速率為兩者絕對速率相加，即 $V_{\text{rel}} = V + U$；其相對質量流率為 $\dot{m}_{\text{rel}} = \rho A (V + U)$。
3. 牛頓第二運動定律與變數分離積分：由於長方體所受反向衝力隨長方體速度 $U(t)$ 連續改變，加速度非定值，須建立一階常微分方程式（ODE），並利用變數分離法定積分求得減速至靜止所需時間。

解題方法

符號定義與基本假設

• 取水平向右為正 $x$ 方向（單位向量為 $\hat{i}$）。
• 長方體質量為 $M$，於 $t=0$ 之初速為 $U(0) = U_0$；在任意時間 $t>0$ 時，長方體速度為 $\vec{U} = U(t)\hat{i}$。
• 來自右側的水平反向噴流，其相對於地面之絕對流速為 $\vec{V} = -V\hat{i}$（速率為 $V$），噴流截面積為 $A$，流體密度為 $\rho$。
• 水平表面為無摩擦（frictionless），忽略空氣阻力及長方體垂直面上附著滯留之微量流體質量（即 $m_{\text{fluid}} \ll M$）。
• 噴流撞擊長方體垂直面後，對稱沿著垂直面上、下偏折 $90^\circ$ 離開，流出時相對於長方體無水平向速度分量（$u_{\text{rel, out}} = 0$）。

(一) 推導在 $t>0$ 後，長方體之加速度代數表示式

選取一附著於長方體垂直撞擊面且隨長方體以速度 $U(t)\hat{i}$ 移動的控制體積（Control Volume, CV）。

1. 計算進出控制面之相對速度：

• 噴流進入控制面之相對速度向量： $\vec{V}_{\text{rel, in}} = \vec{V} - \vec{U} = (-V\hat{i}) - (U\hat{i}) = -(V + U)\hat{i}$
• 其水平分量為： $u_{\text{rel, in}} = -(V + U)$
• 流體對稱偏折 $90^\circ$ 流出控制體積，離開控制面之相對速度水平分量為： $u_{\text{rel, out}} = 0$

2. 計算進入控制體積之相對質量流率 $\dot{m}_{\text{rel}}$： $\dot{m}_{\text{rel}} = \rho A |\vec{V}_{\text{rel, in}}| = \rho A (V + U)$

3. 求長方體對流體的作用力 $R_x$： 對沿 $x$ 方向移動之控制體積內的流體應用動量方程式： $\sum F_{x, \text{ fluid}} = \dot{m}_{\text{rel}} (u_{\text{rel, out}} - u_{\text{rel, in}})$ 設長方體施加於流體之水平反作用力為 $R_x$： $R_x = \rho A (V + U) \big[ 0 - (-(V + U)) \big] = \rho A (V + U)^2$ 此力方向向右（$+x$ 方向）。

4. 求噴流施加於長方體的外力與長方體之加速度： 依牛頓第三運動定律（作用力與反作用力），噴流施加於長方體的衝力 $F_x$ 為： $F_x = -R_x = -\rho A (V + U)^2$ 依牛頓第二運動定律，長方體的水平運動方程式為： $M a = M \frac{dU}{dt} = F_x = -\rho A (V + U)^2$

核心觀念

本題主要測驗管流（Pipe Flow）中流量量測儀器的基本原理與流體力學分析，涵蓋以下核心理論與觀念：

1. 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：描述理想流體沿流線流動時，壓力能、動能與重力位能的轉換守恆。
2. 連續方程式（Continuity Equation）：質量守恆原理在不可壓縮流體斷面上的流率守恆應用（$Q = A_1 V_1 = A_2 V_2$）。
3. 差壓式流量計機制（Differential Pressure Flowmeters）：噴嘴利用截面積縮小使動能增加、靜壓下降產生壓差；皮托管利用駐點（Stagnation Point）將動能完全轉化為壓力能產生滯止壓與靜壓之差（動壓）。
4. 哈根-泊肅葉流動（Hagen-Poiseuille Flow）：圓管完全發展層流之速度分佈為拋物線分佈，斷面平均流速與中心最大流速具固定比例關係（$V_{\text{avg}} = \frac{1}{2} u_{\max}$）。

選項分析

本題為申論與計算推導題，非選擇題，故不適用選項逐項分析。以下依序針對四個小題進行標準申論推導與深入說明。

解題方法

(一) 應用理論與理論假設

1. 應用理論：

• 伯努利方程式（Bernoulli's Equation）：連結兩截面間之靜壓與流速關係。
• 連續方程式（Continuity Equation）：建立兩截面因面積變化產生之流速關聯。
• 實務工程上，輔以**流出係數（Discharge Coefficient, $C_d$）**修正黏滯摩擦損失及非理想流動效應。

2. 理論假設：

• 穩態流動（Steady flow）：流場中各點之流體性質不隨時間改變（$\frac{\partial}{\partial t} = 0$）。
• 不可壓縮流（Incompressible flow）：流體密度為常數（$\rho = \text{常數}$，通常馬赫數 $\text{Ma} < 0.3$）。
• 無黏性流／沿流線無摩擦損失（Inviscid / Frictionless along a streamline）：忽視流體黏滯剪應力造成的機械能損耗。
• 沿同一流線（Along a streamline）：方程式建立在同一條流線的兩點之間。
• 無軸功與熱傳（No shaft work and adiabatic）：流經兩截面間無外加機械功（如泵、渦輪）亦無熱量進出。

(二) 噴嘴量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 管徑 D 噴嘴喉部直徑 d
 ─────────────────┐ ┌─────────────────
 流向 → │ │ →
 ─────────────────┘ └─────────────────
 ● 測壓孔 1 ● 測壓孔 2
 │ │
 └───[ 差壓計 ΔP ]──┘

2. 執行步驟與推導：

• 量測步驟：

1. 在圓管直管段中夾裝標準噴嘴，於上游處取截面 1（管徑 $D$、面積 $A_1 = \frac{\pi D^2}{4}$），於噴嘴喉部取截面 2（喉徑 $d$、面積 $A_2 = \frac{\pi d^2}{4}$）。
2. 於兩截面管壁開設測壓孔，外接 U 型管壓差計或差壓傳感器，量測兩截面之靜壓差 $\Delta P = P_1 - P_2$。

• 理論計算： 由連續方程式： $V_1 A_1 = V_2 A_2 \implies V_1 = V_2 \left(\frac{A_2}{A_1}\right) = V_2 \left(\frac{d}{D}\right)^2 = V_2 \beta^2$ 其中直徑比 $\beta = \frac{d}{D}$。 取水平中心流線應用伯努利方程式（$z_1 = z_2$）： $\frac{P_1}{\rho} + \frac{V_1^2}{2} = \frac{P_2}{\rho} + \frac{V_2^2}{2}$ 代入 $V_1$ 解得喉部理論流速 $V_{2,\text{ideal}}$： $V_{2,\text{ideal}} = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho (1 - \beta^4)}}$
• 體積流率計算： 引入流出係數 $C_d$ 修正黏滯損耗，實際體積流率 $Q$ 為： $Q = C_d A_2 V_{2,\text{ideal}} = C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho\left[1 - \left(\frac{d}{D}\right)^4\right]}}$

(三) 皮托管量測圓管體積流率之架構與執行方法

1. 架構圖：

 圓管管壁 ───────────────────────────
 ┌─┐
 │ │ 靜壓導引孔 (P)
 滯止孔 │ │ │
 流向 ●══════════╪═╪═════╪═══════> 至差壓計 (靜壓 P)
 ───> (P_0) │ └─────┘
 └──────────────> 至差壓計 (滯止壓 P_0)
 圓管管壁 ───────────────────────────

2. 執行步驟與推導：

• 單點局部速度原理： 皮托-靜壓管探針前端迎流開孔感受「滯止壓（Stagnation Pressure, $P_0$）」，此處流速降為零；側面小孔感受未受干擾的「靜壓（Static Pressure, $P$）」。依伯努利方程式： $P + \frac{1}{2}\rho u(r)^2 = P_0 \implies u(r) = \sqrt{\frac{2(P_0 - P)}{\rho}}$
• 體積流率執行方法（截面遍歷積分法）： 由於皮托管量測的是「單一點」之局部流速 $u(r)$，而管內流體速度分佈沿徑向不均勻，無法由單一點直接決定任意流況下的全斷面總流率。執行方法如下：

1. 將圓管斷面劃分為數個等面積的同心環（等環面積法，Equal-Area Method）。
2. 沿管徑方向移動皮托管探針，在不同徑向位置 $r_i$ 分別量測其動壓差 $\Delta P_i = (P_0 - P)_i$，計算各點局部流速 $u_i = \sqrt{\frac{2\Delta P_i}{\rho}}$。
3. 對斷面進行數值積分，計算全管體積流率：

核心觀念

本題評量黏性流體力學中「二維平行平板間完全發展層流（平面泊肅葉流，Plane Poiseuille Flow）」之控制方程式推導與簡化，核心觀念包含：

1. 連續方程式（Continuity Equation）：在直角坐標系下不可壓縮流體之質量守恆式： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
2. 納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes Equations, N-S 方程式）：牛頓流體在常密度與常黏滯度假設下的動量守恆方程式： $\rho \left( \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)\vec{V} \right) = -\nabla p + \rho \vec{g} + \mu \nabla^2 \vec{V}$
3. 完全發展流動（Fully-Developed Flow）之物理特性：流動方向（$x$ 方向）的速度剖面不再隨流向改變，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$。
4. 無滑移邊界條件（No-Slip Boundary Condition）：黏性流體緊貼固體邊界處，流體流速與固體表面速度相等。在靜止邊界上，流體速度為零。

解題方法

題目給定各項物理假設：

• 穩態（steady state）：$\frac{\partial}{\partial t} = 0$
• 不可壓縮流體（incompressible fluid）：密度 $\rho = \text{常數}$
• 忽略重力（neglect gravitational force）：$g_x = g_y = g_z = 0$
• 流體性質為常數（constant fluid properties）：黏滯度 $\mu = \text{常數}$
• 速度分量：$v = 0$、$w = 0$，且 $u = u(y)$ only

(一) 展開並簡化連續方程式

不可壓縮流體在三維直角坐標下的連續方程式展開為： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

將 $v = 0$ 與 $w = 0$ 代入： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (0)}{\partial y} + \frac{\partial (0)}{\partial z} = 0$

化簡得： $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

物理意義：此結果證明流速 $u$ 不隨流向位置 $x$ 改變，與完全發展流及題目假設 $u = u(y)$ 一致。

(二) 展開並簡化動量方程式

常物性、不可壓縮牛頓流體在直角坐標系下的各方向動量方程式（Navier-Stokes Equations）展開如下：

1. $x$ 方向動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$ 逐項代入簡化條件：

• 穩態：$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$
• 速度條件：$v = 0$、$w = 0$、$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$（由連續方程式得）
• 對稱與無限寬度：$\frac{\partial u}{\partial z} = 0 \implies \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$
• 完全發展：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$
• 忽略重力：$g_x = 0$

左側慣性項全部為零： $\rho (0 + 0 + 0 + 0) = 0$ 右側化簡為： $0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ 整理得： $\frac{\partial p}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

2. $y$ 方向動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} + w \frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right)$ 因 $v = 0$、$\vec{g} = 0$，除壓力項外所有速度項皆為零： $0 = -\frac{\partial p}{\partial y} \implies \frac{\partial p}{\partial y} = 0$

3. $z$ 方向動量方程式：

核心觀念

本題的核心觀念為流體力學中的因次分析（Dimensional Analysis）與柏金漢 $\pi$ 定理（Buckingham Pi theorem），特別應用於旋轉流體機械（葉輪機械 Turbomachinery，如壓縮機、泵、風扇）的性能特徵無因次化。

1. 基本因次系統（$MLT$ 系統）： 在力學問題中，通常以質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 作為三個基本因次。
2. 柏金漢 $\pi$ 定理： 若一個物理現象涉及 $n$ 個物理參數，且這些參數涵蓋 $m$ 個基本因次，則該物理問題可簡化為由 $k = n - m$ 個獨立的無因次參數組合（稱為 $\pi$ 群）所描述的關係式。
3. 重複參數法（Repeating Variable Method）： 選取 $m$ 個涵蓋所有基本因次且彼此之間無法組合成無因次群的物理量作為重複參數，分別與其餘 $(n - m)$ 個非重複參數搭配，求解各無因次組合。

解題方法

步驟一：列出各物理參數之因次

選用質量 $[M]$、長度 $[L]$、時間 $[T]$ 為基本因次系統，題目給定之 6 個參數的因次式如下：

1. 體積流率 $Q$：$[Q] = [L^3 T^{-1}]$
2. 壓力 $p$：$[p] = \left[\dfrac{\text{力}}{\text{面積}}\right] = \left[\dfrac{M L T^{-2}}{L^2}\right] = [M L^{-1} T^{-2}]$
3. 功率 $P$：$[P] = \left[\dfrac{\text{功}}{\text{時間}}\right] = \left[\dfrac{M L^2 T^{-2}}{T}\right] = [M L^2 T^{-3}]$
4. 流體密度 $\rho$：$[\rho] = [M L^{-3}]$
5. 特徵長度 $D$：$[D] = [L]$
6. 轉速 $N$：$[N] = [T^{-1}]$（單位為 $\text{rad/s}$ 或 $\text{rev/s}$，因次為時間的倒數）

步驟二：確定無因次參數群（$\pi$ 項）數量

• 總參數個數：$n = 6$
• 基本因次個數：$m = 3$（包含 $M, L, T$）
• 獨立無因次群個數： $k = n - m = 6 - 3 = 3$ 因此共有 3 組無因次參數組合（$\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$）。

步驟三：選取重複參數並檢驗獨立性

依題目要求，選取轉速 $N$、流體密度 $\rho$、特徵長度 $D$ 作為 3 個重複參數：

• 因次矩陣分析：
• $\rho$ 包含質量 $[M]$
• $D$ 包含長度 $[L]$
• $N$ 包含時間 $[T]$
• 三者組合無法自行形成無因次群，能完整涵蓋 $M, L, T$，符合重複參數選取條件。
• 非重複參數分別為：$Q, p, P$。

步驟四：逐一推導 3 組無因次參數組合

1. 第一組無因次參數 $\Pi_1$（結合體積流率 $Q$）

設： $\Pi_1 = D^a N^b \rho^c Q$

代入各參數之因次： $[M^0 L^0 T^0] = [L]^a [T^{-1}]^b [M L^{-3}]^c [L^3 T^{-1}] = M^c L^{a - 3c + 3} T^{-b - 1}$

比對各基本因次的指數：

• $[M]$：$c = 0$
• $[T]$：$-b - 1 = 0 \implies b = -1$
• $[L]$：$a - 3c + 3 = 0 \implies a - 3(0) + 3 = 0 \implies a = -3$

代回得： $\Pi_1 = D^{-3} N^{-1} \rho^0 Q = \frac{Q}{N D^3}$ （此即流體機械之流量係數 $C_Q$）

2. 第二組無因次參數 $\Pi_2$（結合壓力 $p$）

設： $\Pi_2 = D^a N^b \rho^c p$

代入各參數之因次：