110 地方特考三等 環境工程 流體力學 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・環境工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

物體在流體中運動時： (一) 所承受之總阻力（total drag）可以再分解成那幾種阻力？（10分） (二) 說明造成這些阻力之原因及減少這些阻力之方法。（10分）

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核心觀念

本題考查物體在流體中運動時所受阻力的來源。對一般不可壓縮流體中的外部流動，物體所受總阻力可分為：

  1. 摩擦阻力（skin-friction drag）
  2. 形狀阻力或壓力阻力（form drag／pressure drag）

總阻力可表示為

D=Df+DpD=D_f+D_p

其中：

  • DD：總阻力
  • DfD_f：摩擦阻力
  • DpD_p：形狀阻力或壓力阻力

阻力本質上來自物體表面沿運動方向的流體剪應力與壓力合力。

解題方法

解答時先寫出總阻力的分解，再分別說明每種阻力的：

  1. 產生原因；
  2. 流場特徵；
  3. 降低方法。

一、摩擦阻力

1. 產生原因

流體具有黏滯性，且固體表面滿足無滑移條件，亦即物體表面上的流體速度等於物體表面速度。當流體相對物體流動時，靠近物面的流體速度由物面附近的零速度逐漸增加至外部流速，形成速度梯度。

因此，物面上產生剪應力

τw=μ(∂u∂y)w\tau_w=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w

其中：

  • τw\tau_w：物面壁面剪應力；
  • μ\mu：流體動力黏度；
  • (∂u∂y)w\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_w：物面法向速度梯度。

這些沿著流動方向的剪應力，對物體形成阻礙運動的合力，即為摩擦阻力。

摩擦阻力主要與下列因素有關：

  • 流體黏度；
  • 物體濕潤表面積；
  • 表面粗糙度；
  • 邊界層型態；
  • 雷諾數。

可用摩擦阻力係數表示為

Df=Cf12ρV2AD_f=C_f\frac{1}{2}\rho V^2 A

其中 CfC_f 為摩擦阻力係數，ρ\rho 為流體密度，VV 為相對流速，AA 為參考面積。

2. 減少方法

降低摩擦阻力的方法包括：

  • 使物體表面光滑：減少表面粗糙度及粗糙元件所造成的剪力。
  • 減少濕潤表面積：在功能允許的情況下，減少流體與物體接觸的面積。
  • 維持較大範圍的層流邊界層：層流的壁面剪應力通常低於紊流，可降低摩擦阻力。
  • 採用適當的表面處理：例如塗層、拋光或減阻表面。
  • 降低相對速度：因阻力通常與 V2V^2 成正比，降低速度可顯著減少阻力。

但須注意，紊流邊界層雖然摩擦阻力較大，卻較不易分離。因此不能單純將邊界層由紊流改為層流，而必須同時考慮壓力阻力的變化。

二、形狀阻力或壓力阻力

1. 產生原因

流體流經物體時，物體前後表面的壓力分布通常不對稱。物體前方為高壓區，後方可能形成低壓尾流區，前後壓力差所造成的流向合力，即為壓力阻力。

形狀阻力主要由邊界層分離造成。流體沿物體表面流動時，若遇到逆壓力梯度，即沿流向壓力逐漸增加，靠近壁面的低速流體動能不足，無法繼續貼附於物面，便會發生分離。

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第 二 題20 分

假設分別有一水滴與氣泡，氣泡有內、外膜兩表面（厚度極薄），而水滴只有外膜一個表面，且兩者皆可視為半徑（RR）相同的球體。試問： (一) 兩者的內部壓力（PiP_i）與表面張力（σ\sigma）之關係為何？（10分） (二) 計算氣泡的內部壓力為水滴的內部壓力之幾倍？（10分）

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核心觀念

本題考查曲面液體的拉普拉斯壓力（Laplace pressure）：

ΔP=Pi−Po=2σR\Delta P=P_i-P_o=\frac{2\sigma}{R}

其中：

  • PiP_i：曲面內部壓力
  • PoP_o：曲面外部壓力
  • σ\sigma：表面張力
  • RR：球面半徑

球形界面的壓力差取決於表面數目：

  • 水滴只有一個液體—氣體界面。
  • 肥皂泡具有內膜與外膜兩個界面，每一個界面均產生壓力差。

解題方法

取球體半部作受力平衡分析。

表面張力沿切線方向作用，對半球切割圓周的合力為：

Fσ=2πRσF_\sigma=2\pi R\sigma

壓力差作用於半球投影面積 πR2\pi R^2，其合力為：

FP=(Pi−Po)πR2F_P=(P_i-P_o)\pi R^2

令兩者平衡：

(Pi−Po)πR2=2πRσ(P_i-P_o)\pi R^2=2\pi R\sigma

因此，單一球形界面的壓力差為：

Pi−Po=2σRP_i-P_o=\frac{2\sigma}{R}

（一）內部壓力與表面張力之關係

1. 水滴

水滴只有一個表面，因此：

Pi,水滴−Po=2σRP_{i,\text{水滴}}-P_o=\frac{2\sigma}{R}

即：

Pi,水滴=Po+2σR\boxed{P_{i,\text{水滴}}=P_o+\frac{2\sigma}{R}}

2. 氣泡

氣泡有內、外兩個表面，每一個表面各產生 2σR\frac{2\sigma}{R} 的壓力差，因此：

Pi,氣泡−Po=2σR+2σR=4σRP_{i,\text{氣泡}}-P_o = \frac{2\sigma}{R}+\frac{2\sigma}{R} = \frac{4\sigma}{R}

即：

Pi,氣泡=Po+4σR\boxed{P_{i,\text{氣泡}}=P_o+\frac{4\sigma}{R}}

（二）氣泡內部壓力為水滴內部壓力之幾倍

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第 三 題20 分

流場中有一流線函數 ψ=4x2+2y3+3\psi = 4x^2 + 2y^3 + 3： (一) 請分別計算 xx 和 yy 方向上之速度分量 uu 和 vv。（10分） (二) 推求此流況為可壓縮流或不可壓縮流？（10分）

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核心觀念

本題考查二維流場中「流線函數」ψ\psi 與速度分量的關係，以及由連續方程式判斷流體是否可壓縮。

對於二維、直角座標流場，速度分量定義為

u=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂xu=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}

其中：

  • uu：xx 方向速度分量
  • vv：yy 方向速度分量
  • ψ\psi：流線函數

二維流場的連續方程式為

∂u∂x+∂v∂y=0\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =0

若此式成立，表示流場的散度為零，屬於不可壓縮流。

題給流線函數為

ψ=4x2+2y3+3\psi=4x^2+2y^3+3

其中常數 33 微分後為零，不影響速度分量。

解題方法

（一）計算速度分量 uu 與 vv

由流線函數與速度分量的關係：

u=∂ψ∂yu=\frac{\partial \psi}{\partial y}

對 ψ\psi 對 yy 偏微分：

u=∂∂y(4x2+2y3+3)u=\frac{\partial}{\partial y}(4x^2+2y^3+3)

因為 xx 對 yy 而言為常數，因此

u=0+6y2+0u=0+6y^2+0

所以

u=6y2\boxed{u=6y^2}

再由

v=−∂ψ∂xv=-\frac{\partial \psi}{\partial x}

對 ψ\psi 對 xx 偏微分：

v=−∂∂x(4x2+2y3+3)v=-\frac{\partial}{\partial x}(4x^2+2y^3+3)

其中 2y32y^3 與 33 對 xx 偏微分皆為零，因此

v=−(8x)v=-(8x)

所以

v=−8x\boxed{v=-8x}

（二）判斷流況為可壓縮流或不可壓縮流

二維流場的連續方程式為

∂u∂x+∂v∂y=0\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} =0

將

u=6y2,v=−8xu=6y^2,\qquad v=-8x

代入：

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第 四 題20 分

已知某二維流場之速度分量為 u(x,y,t)=x2y+t2+6u(x,y,t) = x^2y + t^2 + 6，v(x,y,t)=−(xy2+10t)v(x,y,t) = -(xy^2 + 10t)。 (一) 求流體質點之加速度為何？（10分） (二) 如果可行，求出速度勢能函數（potential function）。（10分）

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核心觀念

本題考查二維非定常流場中的：

  1. 流體質點加速度，即速度場沿流線的物質導數：
a=DVDt=∂V∂t+u∂V∂x+v∂V∂y\mathbf a=\frac{D\mathbf V}{Dt} =\frac{\partial \mathbf V}{\partial t} +u\frac{\partial \mathbf V}{\partial x} +v\frac{\partial \mathbf V}{\partial y}
  1. 速度勢函數（velocity potential）存在的條件。若存在速度勢函數 ϕ(x,y,t)\phi(x,y,t)，則必須滿足：
u=∂ϕ∂x,v=∂ϕ∂yu=\frac{\partial \phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \phi}{\partial y}

因此在連通且具適當光滑性的區域內，必須有：

∂u∂y=∂v∂x\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial v}{\partial x}

題目給定速度分量為：

u=x2y+t2+6u=x^2y+t^2+6

v=−xy2−10tv=-xy^2-10t

（一）流體質點之加速度

二維速度向量為：

V=ui+vj\mathbf V=u\mathbf i+v\mathbf j

因此加速度分量為：

ax=DuDt=∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂ya_x=\frac{Du}{Dt} =\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} ay=DvDt=∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂ya_y=\frac{Dv}{Dt} =\frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y}

1. 計算各偏導數

對 uu 而言：

∂u∂t=2t\frac{\partial u}{\partial t}=2t

∂u∂x=2xy\frac{\partial u}{\partial x}=2xy

∂u∂y=x2\frac{\partial u}{\partial y}=x^2

對 vv 而言：

∂v∂t=−10\frac{\partial v}{\partial t}=-10

∂v∂x=−y2\frac{\partial v}{\partial x}=-y^2

∂v∂y=−2xy\frac{\partial v}{\partial y}=-2xy

2. xx 方向加速度

代入物質導數公式：

ax=2t+(x2y+t2+6)(2xy)+(−xy2−10t)(x2)=2t+2x3y2+2xyt2+12xy−x3y2−10x2t=x3y2+2xyt2+12xy+2t−10x2t\begin{aligned} a_x &=2t+(x^2y+t^2+6)(2xy)+(-xy^2-10t)(x^2)\\ &=2t+2x^3y^2+2xyt^2+12xy-x^3y^2-10x^2t\\ &=x^3y^2+2xyt^2+12xy+2t-10x^2t \end{aligned}

因此：

ax=x3y2+2xyt2+12xy+2t−10x2t\boxed{a_x=x^3y^2+2xyt^2+12xy+2t-10x^2t}

3. yy 方向加速度

ay=−10+(x2y+t2+6)(−y2)+(−xy2−10t)(−2xy)=−10−x2y3−y2t2−6y2+2x2y3+20xyt=x2y3−y2t2−6y2+20xyt−10\begin{aligned} a_y &=-10+(x^2y+t^2+6)(-y^2)+(-xy^2-10t)(-2xy)\\ &=-10-x^2y^3-y^2t^2-6y^2+2x^2y^3+20xyt\\ &=x^2y^3-y^2t^2-6y^2+20xyt-10 \end{aligned}

因此：

ay=x2y3−y2t2−6y2+20xyt−10\boxed{a_y=x^2y^3-y^2t^2-6y^2+20xyt-10}

4. 加速度向量

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第 五 題20 分

假設當水龍頭關小時，流水會形成一通水斷面逐漸縮小之圓柱狀，如圖一所示。利用圖二推求圓柱之截面積 A2A_2 與 xx 的關係為何？其中，點 2 為任一 xx 位置，水龍頭出水處之直徑為 DD，流量為 QQ，xx 及 rr 為坐標。假設流場為穩態，流體為不可壓縮且無黏滯性。（20分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查自由射流的：

  1. 連續方程：穩態且不可壓縮，因此流量 QQ 沿水流方向保持不變。
  2. 伯努力方程：流體無黏滯性，且水流表面各處皆受大氣壓，可將壓力項消去。
  3. 圓形通水斷面積： A=πD24A=\frac{\pi D^2}{4}

設水龍頭出口為點 1，出口直徑為 DD；圖二中下游任一位置為點 2，且點 2 比點 1 低 xx。

解題方法

1. 利用連續方程表示流速

水龍頭出口斷面積為

A1=πD24A_1=\frac{\pi D^2}{4}

由流量定義，

Q=A1V1=A2V2Q=A_1V_1=A_2V_2

因此兩點流速分別為

V1=QA1,V2=QA2V_1=\frac{Q}{A_1},\qquad V_2=\frac{Q}{A_2}

2. 對點 1 與點 2 使用伯努力方程

伯努力方程為

p1γ+z1+V122g=p2γ+z2+V222g\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}

由於水流為自由射流，點 1、點 2 的壓力均為大氣壓：

p1=p2p_1=p_2

且點 2 比點 1 低 xx，所以

z1−z2=xz_1-z_2=x

代入後得

V22−V122g=x\frac{V_2^2-V_1^2}{2g}=x

故

V22=V12+2gxV_2^2=V_1^2+2gx
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