110 地方特考三等 機械工程 流體力學 考古題詳解

110 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

傾斜管式壓力表如下圖所示，D=76 mmD=76\text{ mm}、d=8 mmd=8\text{ mm}，圓形槽中之液體密度 ρl=827 kg/m3\rho_l=827\text{ kg/m}^3。待測壓力 P1P_1 接於槽之上方開口 A 處，由於空氣密度相較於槽中液體密度甚小，P1P_1 可視為點 ① 之液面壓力，點 ② 之壓力 P2P_2 則為大氣壓力，請問：

(一) 推導 Δp=P1−P2\Delta p=P_1-P_2 之通式，並以 ρl\rho_l、gg、LL、θ\theta、dd、DD 等參數表示。（10 分） (二) 求出傾斜管角度 θ\theta，當 P1−P2=25 mmP_1-P_2=25\text{ mm} 水柱高的壓力下，恰好會使液體沿斜管產生 L=15 cmL=15\text{ cm}。（註：水之密度為 1000 kg/m31000\text{ kg/m}^3）（10 分）

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核心觀念

本題考查傾斜管式壓力表的靜水壓平衡與體積守恆：

  1. 靜止液體中，同一連通液體兩點的壓力差為 Δp=ρlg Δz\Delta p=\rho_l g\,\Delta z
  2. 槽內液面下降體積等於斜管內液柱上升體積。
  3. 斜管液面沿管長上升 LL 時，其垂直高度差為 Lsin⁡θL\sin\theta。

解題方法與推導

設圓形槽液面下降高度為 h1h_1，斜管內液面上升長度為 LL，其垂直上升高度為 h2h_2。

由圖形幾何關係：

h2=Lsin⁡θh_2=L\sin\theta

1. 利用體積守恆求 h1h_1

圓形槽截面積為 πD24\dfrac{\pi D^2}{4}，斜管截面積為 πd24\dfrac{\pi d^2}{4}。

因此：

πD24h1=πd24L\frac{\pi D^2}{4}h_1 = \frac{\pi d^2}{4}L

整理得：

h1=(dD)2Lh_1=\left(\frac{d}{D}\right)^2L

2. 建立靜水壓平衡

點①液面比點②液面低，其垂直高度差為：

h1+h2=L[(dD)2+sin⁡θ]h_1+h_2 = L\left[\left(\frac{d}{D}\right)^2+\sin\theta\right]

因為點①壓力為 P1P_1，點②壓力為 P2P_2，故：

P1−P2=ρlg(h1+h2)P_1-P_2 = \rho_l g(h_1+h_2)

代入上式：

Δp=P1−P2=ρlgL[sin⁡θ+(dD)2]\boxed{ \Delta p=P_1-P_2 = \rho_l gL \left[ \sin\theta+\left(\frac{d}{D}\right)^2 \right] }

（二）求傾斜管角度 θ\theta

已知：

D=76 mm,d=8 mm,ρl=827 kg/m3D=76\text{ mm},\qquad d=8\text{ mm},\qquad \rho_l=827\text{ kg/m}^3 L=15 cm=0.15 mL=15\text{ cm}=0.15\text{ m}
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第 二 題20 分

有一裝置可將兩股水流混合形成均勻射流，如下圖所示，入口 ① 處之管徑為 0.1 m0.1\text{ m}、流體速度為 4 m/s4\text{ m/s}；入口 ② 處之管徑為 0.12 m0.12\text{ m}、流體速度為 6 m/s6\text{ m/s}，假設作用在裝置上之外力合為 00，即 ΣFx=0\Sigma F_x=0、ΣFy=0\Sigma F_y=0，試求解下列問題：

(一) 圖中傾斜角度 θ\theta。（10 分） (二) 射流出口處 ③ 之流體速度。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式：穩定且不可壓縮的水流滿足 Q3=Q1+Q2Q_3=Q_1+Q_2
  2. 線動量方程式：裝置外力合為零，且各出口可視為自由射流，故壓力項以表壓表示為零。
  3. 速度為向量，須分別對 xx、yy 方向列動量方程式。

取 xx 軸向右、yy 軸向上。

解題方法

1. 計算兩股入口流量

入口①：

A1=π4(0.1)2A_1=\frac{\pi}{4}(0.1)^2 Q1=A1V1=π4(0.1)2(4)=0.01π m3/sQ_1=A_1V_1 =\frac{\pi}{4}(0.1)^2(4) =0.01\pi\ \text{m}^3/\text{s}

入口②：

A2=π4(0.12)2A_2=\frac{\pi}{4}(0.12)^2 Q2=A2V2=π4(0.12)2(6)=0.0216π m3/sQ_2=A_2V_2 =\frac{\pi}{4}(0.12)^2(6) =0.0216\pi\ \text{m}^3/\text{s}

因此出口③流量為

Q3=Q1+Q2=0.0316π m3/sQ_3=Q_1+Q_2 =0.0316\pi\ \text{m}^3/\text{s}

2. 對 xx、yy 方向列動量方程式

由於入口①速度向上，入口②速度向右，出口③速度為 V3V_3，方向與水平夾角為 θ\theta。

xx 方向：

ρQ2V2=ρQ3V3cos⁡θ\rho Q_2V_2=\rho Q_3V_3\cos\theta

約去 ρ\rho：

Q2V2=Q3V3cos⁡θQ_2V_2=Q_3V_3\cos\theta

代入數值：

Q2V2=(0.0216π)(6)=0.1296πQ_2V_2=(0.0216\pi)(6)=0.1296\pi

yy 方向：

ρQ1V1=ρQ3V3sin⁡θ\rho Q_1V_1=\rho Q_3V_3\sin\theta

約去 ρ\rho：

Q1V1=Q3V3sin⁡θQ_1V_1=Q_3V_3\sin\theta

代入數值：

Q1V1=(0.01π)(4)=0.04πQ_1V_1=(0.01\pi)(4)=0.04\pi

（一）求傾斜角度 θ\theta

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第 三 題20 分

虹吸（siphon）是一種流體力學現象，可以不借助泵而抽吸液體。有一製程利用虹吸管抽取製備槽中的水（ρl=1000 kg/m3\rho_l=1000\text{ kg/m}^3），如下圖所示，水以 5 L/s5\text{ L/s} 的體積流率流出管徑為 25 mm25\text{ mm} 之虹吸管出口，假設流動為無摩擦，大氣壓力 Patm=101 kPaP_{\text{atm}}=101\text{ kPa}，請問：

(一) 虹吸管出口處之水流速（m/s\text{m/s}）？（10 分） (二) 已知槽中水體之溫度為 21∘C21^\circ\text{C}，對應的飽和壓力為 2.358 kPa2.358\text{ kPa}，為了防止閃發（flash）現象在虹吸管中產生，試求點 A 處到製備槽水面高度 hh 的最大容許值？（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式：由體積流率求管內流速。
  2. 伯努力方程式：分析儲槽自由液面至虹吸管最高點 AA 的能量關係。
  3. 閃發條件：管內最低壓力不得低於水在 21∘C21^\circ\text{C} 時的飽和壓力。

因儲槽截面積很大，儲槽自由液面速度可視為零；流動無摩擦，且點 AA 位於管內，因此管內各處速度相同。

解題方法

（一）虹吸管出口水流速

體積流率與平均流速的關係為

Q=VAQ=VA

其中

Q=5 L/s=5×10−3 m3/sQ=5\text{ L/s}=5\times10^{-3}\text{ m}^3/\text{s}

虹吸管截面積為

A=πD24=π(0.025)24=4.9087×10−4 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.025)^2}{4} =4.9087\times10^{-4}\text{ m}^2

因此出口水流速

V=QA=5×10−34.9087×10−4≈10.19 m/sV=\frac{Q}{A} =\frac{5\times10^{-3}}{4.9087\times10^{-4}} \approx 10.19\text{ m/s}

（二）點 AA 到水面高度 hh 的最大值

取儲槽自由液面為點 11，虹吸管最高點 AA 為點 22。

由伯努力方程式：

Patmρg+z1+V122g=PAρg+zA+VA22g\frac{P_{\text{atm}}}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_A}{\rho g}+z_A+\frac{V_A^2}{2g}

由於

V1≈0,VA=V,zA−z1=hV_1\approx 0,\qquad V_A=V,\qquad z_A-z_1=h

可得

Patmρg=PAρg+h+V22g\frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} = \frac{P_A}{\rho g}+h+\frac{V^2}{2g}

整理為

PA=Patm−ρgh−12ρV2P_A=P_{\text{atm}}-\rho gh-\frac{1}{2}\rho V^2
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第 四 題20 分

不可壓縮之黏性流體在無窮且水平放置之平板間，上半板以 U1U_1 的速度朝正 xx 方向等速移動，下平板以 U2U_2 的速度朝負 xx 方向等速移動，如下圖所示。假設流動為穩定（steady）、完全發展（fully developed）、不考慮重力影響，且沿流動方向之壓力梯度可忽略。

(一) 推導兩平板間之流體速度分布。（8 分） (二) 單位深度之體積流率（QQ）為何？（8 分） (三) 當 U1U_1 與 U2U_2 之比值為何時，兩平板間之體積流率為零？（4 分）

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核心觀念

本題考查兩平板間的「平面 Couette 流（plane Couette flow）」：

  • 流體不可壓縮、黏性流體。
  • 穩定流、完全發展流。
  • 速度僅隨垂直於平板方向的 yy 變化，即 u=u(y)u=u(y)。
  • 沿 xx 方向壓力梯度可忽略，即 dpdx=0\dfrac{dp}{dx}=0。
  • 下平板位於 y=0y=0，上平板位於 y=by=b。
  • 下平板速度為 −U2-U_2，上平板速度為 +U1+U_1。

採用無滑動邊界條件：

u(0)=−U2,u(b)=U1u(0)=-U_2,\qquad u(b)=U_1

解題方法

對穩定、完全發展、不可壓縮之流動，xx 方向 Navier–Stokes 方程式為

0=−dpdx+μd2udy20=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}

由題意 dpdx=0\dfrac{dp}{dx}=0，因此

μd2udy2=0\mu\frac{d^2u}{dy^2}=0

由於 μ≠0\mu\neq 0，可得

d2udy2=0\frac{d^2u}{dy^2}=0

積分兩次：

dudy=C1\frac{du}{dy}=C_1 u=C1y+C2u=C_1y+C_2

（一）兩平板間之速度分布

由下平板的無滑動條件：

u(0)=C2=−U2u(0)=C_2=-U_2

由上平板的無滑動條件：

u(b)=C1b−U2=U1u(b)=C_1b-U_2=U_1

所以

C1=U1+U2bC_1=\frac{U_1+U_2}{b}

因此流體速度分布為

u(y)=−U2+U1+U2by\boxed{ u(y)=-U_2+\frac{U_1+U_2}{b}y }

亦可寫成

u(y)=U1+U2by−U2,0≤y≤b\boxed{ u(y)=\frac{U_1+U_2}{b}y-U_2,\qquad 0\le y\le b }

此速度分布為直線，因為本題沒有壓力梯度，流動完全由兩平板的相對運動所造成。

（二）單位深度之體積流率 QQ

單位深度的體積流率為速度沿間隙方向積分：

Q=∫0bu(y) dyQ=\int_0^b u(y)\,dy

代入速度分布：

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第 五 題20 分

有一截面為 20 cm×10 cm20\text{ cm}\times 10\text{ cm} 之光滑水平矩型風管，用以輸送流量為 0.1 m3/s0.1\text{ m}^3/\text{s} 之空氣（ν=1.6×10−5 m2/s\nu=1.6\times 10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}，ρ=1.23 kg/m3\rho=1.23\text{ kg/m}^3），若流體在管內流動之達西摩擦因子 ff（Darcy friction factor）可由下式估算，其中 Re\text{Re} 為雷諾數（Reynolds number）、DhD_h 為水力直徑（hydraulic diameter），請問：

[層流:f=64Re ; 紊流:f=0.316Re0.25 ; Re=VDhν]\left[\text{層流}: f=\frac{64}{\text{Re}}\ ;\ \text{紊流}: f=\frac{0.316}{\text{Re}^{0.25}}\ ;\ \text{Re}=\frac{V D_h}{\nu}\right]

(一) 矩型風管之水力直徑（m\text{m}）？（5 分） (二) 已知風管長度為 100 m100\text{ m}，則管內之壓力降為多少 Pa\text{Pa}？（15 分）

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核心觀念

本題考查矩型風管的水力直徑、平均流速、雷諾數、流態判斷，以及達西—魏斯巴赫公式計算沿程壓力降。

矩型管的水力直徑定義為

Dh=4APD_h=\frac{4A}{P}

其中 AA 為流道截面積，PP 為濕周。滿管流動時，矩型風管的濕周即為截面周長。

壓力降採用達西—魏斯巴赫公式：

Δp=fLDhρV22\Delta p=f\frac{L}{D_h}\frac{\rho V^2}{2}

解題方法

（一）求矩型風管之水力直徑

矩型風管尺寸為

a=20 cm=0.20 m,b=10 cm=0.10 ma=20\text{ cm}=0.20\text{ m},\qquad b=10\text{ cm}=0.10\text{ m}

截面積：

A=ab=(0.20)(0.10)=0.020 m2A=ab=(0.20)(0.10)=0.020\text{ m}^2

濕周：

P=2(a+b)=2(0.20+0.10)=0.60 mP=2(a+b)=2(0.20+0.10)=0.60\text{ m}

因此水力直徑為

Dh=4AP=4(0.020)0.60=0.1333 mD_h=\frac{4A}{P} =\frac{4(0.020)}{0.60} =0.1333\text{ m}

所以

Dh=0.133 m\boxed{D_h=0.133\text{ m}}

（二）求管內壓力降

1. 求平均流速

由流量關係式

Q=VAQ=VA

可得平均流速

V=QA=0.10.020=5.0 m/sV=\frac{Q}{A} =\frac{0.1}{0.020} =5.0\text{ m/s}

2. 求雷諾數並判斷流態

雷諾數為

Re=VDhν\text{Re}=\frac{VD_h}{\nu}

代入數值：

Re=(5.0)(0.1333)1.6×10−5≈4.17×104\text{Re} =\frac{(5.0)(0.1333)}{1.6\times10^{-5}} \approx4.17\times10^4

因為 Re\text{Re} 遠大於紊流判斷所需的臨界範圍，故為紊流。

3. 求達西摩擦因子

紊流時使用題目所給公式：

f=0.316Re0.25f=\frac{0.316}{\text{Re}^{0.25}}

代入 Re=4.17×104\text{Re}=4.17\times10^4：

f=0.316(4.17×104)0.25≈0.0221f=\frac{0.316}{(4.17\times10^4)^{0.25}} \approx0.0221

4. 代入達西—魏斯巴赫公式

已知

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