109 地方特考三等 機械工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量二維理想流場（二維、不可壓縮、無旋流場）之基本數學描述與運動學特性，核心觀念涵蓋以下三項：

1. 速度勢能函數（Velocity Potential Function, $\phi$）之定義： 依流體力學之符號慣例（$\vec{V} = \nabla\phi$），流場之速度分量與速度勢能函數之關係為： $u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$ （此定義滿足流場為無旋流 $\nabla \times \vec{V} = 0$ 之必要條件）。

2. 不可壓縮流之質量守恆定律（連續方程式, Continuity Equation）： 二維不可壓縮流之連續方程式為： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ 若以速度勢能表示，即為拉普拉斯方程式（Laplace's equation）： $\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$

3. 流線函數（Stream Function, $\psi$）之定義與柯西－黎曼條件（Cauchy-Riemann Equations）： 對於二維不可壓縮流，流線函數 $\psi(x,y)$ 滿足： $u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$ 此關係亦即複變函數中解析函數（Analytic function）之柯西－黎曼條件： $\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$

解題方法

（一）求速度分量 $u(x,y)$ 與 $v(x,y)$

根據速度勢能之定義 $\vec{V} = \nabla\phi$：

1. 求 $x$ 方向速度 $u(x,y)$： 對 $\phi$ 偏微分 $x$： $u = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{5}{3}x^3 - 5xy^2 \right) = \frac{5}{3}(3x^2) - 5(1)y^2 = 5x^2 - 5y^2$

2. 求 $y$ 方向速度 $v(x,y)$： 對 $\phi$ 偏微分 $y$： $v = \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{5}{3}x^3 - 5xy^2 \right) = 0 - 5x(2y) = -10xy$

（二）檢驗此流場是否符合質量守恆定律

對於二維不可壓縮流，流場符合質量守恆之充要條件為連續方程式成立，即 $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。

1. 計算各偏導數： $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x^2 - 5y^2) = 10x$ $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-10xy) = -10x$

2. 代入連續方程式： $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 10x + (-10x) = 0$

核心觀念

本題考水平圓管內的能量方程。汽油可視為定常、不可壓縮流體；進出口位於同一高度，且管徑相同。多孔壁的吸出使管內軸向速度由 $12\ \mathrm{m/s}$ 降至 $10\ \mathrm{m/s}$，因此兩截面的速度不同。

無摩擦時，沿流線使用伯努力方程：

有摩擦時，則將單位重量損失換成壓力損失，從出口壓力中扣除。

解題方法

（一）無摩擦

水平管的位能項相消，整理伯努力方程可得：

代入 $p_1=120\ \mathrm{kPa}$、$\rho=680\ \mathrm{kg/m^3}$、$V_1=12\ \mathrm{m/s}$、$V_2=10\ \mathrm{m/s}$：

核心觀念

1. 紊流之閉合問題（Turbulence Closure Problem）： 在紊流力學中，利用雷諾分解（Reynolds decomposition）將瞬時物理量拆解為「平均量」與「脈動量」，代入納維-斯托克斯方程式（Navier-Stokes equations）並取時間平均後，會導出雷諾平均納維-斯托克斯方程式（RANS）。非線性對流項的時間平均產生了未知的雷諾應力（Reynolds stresses, $-\rho \overline{u_i' u_j'}$），使得系統中未知數的個數大於獨立控制方程式的個數，數學系統無法封閉求解，此即紊流閉合問題。
2. 柏金漢 $\pi$ 定理（Buckingham $\pi$ Theorem）與因次分析： 若一物理過程涉及 $n$ 個物理變數，且由 $m$ 個基本因次（如 $M, L, T$）構成，則該過程可化簡為 $(n - m)$ 個獨立的無因次參數（$\Pi$ 群）之間的函數關係。解題時選取不構成無因次群的重複變數（Repeating variables），透過因次齊次性（Dimensional homogeneity）逐一解出各 $\Pi$ 群。

解題方法

（一）紊流閉合問題之說明

1. 雷諾分解與時間平均： 設不可壓縮紊流的瞬時速度為 $u_i = \bar{u}_i + u_i'$、瞬時壓力為 $P = \bar{P} + p'$，其中頂線符號代表時間平均值，撇號代表擾動（脈動）值。
2. 導出 RANS 方程式： 將上述分解代入連續方程式與動量方程式（Navier-Stokes 方程式）並取時間平均，得到雷諾平均動量方程式： $\rho \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} \right) = -\frac{\partial \bar{P}}{\partial x_i} + \mu \nabla^2 \bar{u}_i - \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \rho \overline{u_i' u_j'} \right)$ 式中出現非線性速度脈動乘積之平均項 $-\rho \overline{u_i' u_j'}$，稱為雷諾應力張量（Reynolds stress tensor）。
3. 方程式與未知數數量失衡： 對於三維不可壓縮流動：

• 方程式數量：共 4 條（1 條連續方程式 + 3 條動量方程式）。
• 未知數數量：共 10 個，包含 3 個平均速度分量（$\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}$）、1 個平均壓力（$\bar{P}$），以及對稱的 6 個獨立雷諾應力分量（$-\rho\overline{u'^2}, -\rho\overline{v'^2}, -\rho\overline{w'^2}, -\rho\overline{u'v'}, -\rho\overline{u'w'}, -\rho\overline{v'w'}$）。

4. 結論與閉合機制： 因為未知數數量（10 個）遠多於可用方程式數量（4 條），方程式組無法直接求解。若欲聯立求解，必須引入額外的假設或經驗模型（如渦黏滯模式 Eddy Viscosity Models、$k$-$\epsilon$ 模式、$k$-$\omega$ 模式或雷諾應力傳輸模式 RSM）將雷諾應力與平均流場建立連結，這種因時間平均導致方程式不閉合的本質缺陷與困境，即稱為「紊流閉合問題」。

（二）柏金漢 $\pi$ 定理推導無因次關係式

步驟一：列出所有物理量與因次矩陣（採用 $M-L-T$ 系統）

依題意，物理變數共有 $n = 6$ 個：

• 壁面剪應力 $\tau_w$：$[\tau_w] = M L^{-1} T^{-2}$
• 流體密度 $\rho$：$[\rho] = M L^{-3}$
• 自由流速度 $U$：$[U] = L T^{-1}$
• 邊界層厚度 $\delta$：$[\delta] = L$
• 紊流擾動速度 $u'$：$[u'] = L T^{-1}$
• 壓力梯度 $\dfrac{dP}{dx}$：$\left[ \dfrac{dP}{dx} \right] = \dfrac{M L^{-1} T^{-2}}{L} = M L^{-2} T^{-2}$

基本因次數 $m = 3$（質量 $M$、長度 $L$、時間 $T$）。

步驟二：確定 $\Pi$ 群數目與重複變數

• 獨立的無因次 $\Pi$ 群個數：$k = n - m = 6 - 3 = 3$ 個。
• 題目指定重複變數（Repeating variables）為 $\rho$、$U$、$\delta$。
• 檢驗重複變數之因次獨立性：

行列式值不為零，確認 $\rho$、$U$、$\delta$ 彼此因次獨立，無法組合成無因次量，選取合理。

步驟三：逐一求解各 $\Pi$ 項

1. 推導 $\Pi_1$（結合應變數 $\tau_w$）： 設 $\Pi_1 = \tau_w \rho^a U^b \delta^c$ 代入因次式： $(M L^{-1} T^{-2}) (M L^{-3})^a (L T^{-1})^b (L)^c = M^0 L^0 T^0$ 展開各因次次方並建立方程組：

• $M$ 之次方：$1 + a = 0 \implies a = -1$
• $T$ 之次方：$-2 - b = 0 \implies b = -2$

核心觀念

本題使用一維能量方程式，把大容器自由液面與圓管出口作為兩個位置。自由液面與出口皆受大氣壓，且容器截面遠大於管截面，因此自由液面流速可視為零。兩位置的高程差用來克服出口速度水頭與管內達西摩擦損失。

解題方法

由圖可知，容器液深為 $12\ \mathrm{cm}$，圓管長度為 $30\ \mathrm{cm}$，故自由液面至管出口的高程差為

圓管直徑 $D=0.002\ \mathrm{m}$，體積流率 $Q=1.9\times10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}$。管內平均流速為

由自由液面至出口套用能量方程式，並依題目所給資料忽略未提供的局部損失：

其中 $L/D=0.30/0.002=150$。因此