109 地方特考三等 機械工程 熱力學 考古題詳解

核心觀念

1. 焦耳－湯姆森係數（Joule-Thomson Coefficient, $\mu$）： 定義為流體在等焓狀態下，溫度隨壓力變化的變化率： $\mu = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_h$
2. 節流過程（Throttling Process）之特性： 流體流經節流閥、孔板或多孔塞等局部阻力元件時，因流動快速且管壁絕熱（$q \approx 0$）、無對外輸出軸功（$w = 0$），且忽略進出口動能與位能變化（$\Delta ke \approx 0, \Delta pe \approx 0$），由穩態流動能量方程式可得為一等焓過程（Isenthalpic process，$h_1 = h_2$）。 流動過程中流體必須克服阻力，故壓力必定下降，即 $dP < 0$。
3. 熱力學狀態方程式與偏微分關係： 焓的全微分關係式連結了 $T$、$P$、$v$ 與 $c_p$。藉由狀態方程式可求得定壓熱膨脹相關的偏導數 $\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P$，進而決定 $\mu$ 之數值。

解題方法

（一）$\mu > 0$、$\mu < 0$ 之物理意義與冷媒選用

節流過程為等焓降壓過程，其實際壓力變化滿足 $dP < 0$（或 $\Delta P < 0$）。

1. $\mu > 0$ 的物理意義： 依據定義式 $\mu = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_h \approx \frac{\Delta T}{\Delta P}$： 當 $\mu > 0$ 時，因為 $\Delta P < 0$，則溫度變化量必為： $\Delta T = \mu \Delta P < 0$ 這表示流體經節流降壓後溫度下降，此現象稱為節流冷卻效應（Cooling effect）。

2. $\mu < 0$ 的物理意義： 當 $\mu < 0$ 時，因為 $\Delta P < 0$，則溫度變化量必為： $\Delta T = \mu \Delta P > 0$ 這表示流體經節流降壓後溫度上升，此現象稱為節流增溫效應（Heating effect）。

3. 冷凍空調系統冷媒之選用： 冷凍空調系統（如蒸氣壓縮式冷凍循環）的核心目的，是藉由膨脹閥（節流裝置）將冷凝器流出的高壓中溫液體降壓為低壓低溫的氣液混合物，以便在蒸發器中自低溫熱源吸收熱量達到冷凍效果。 因此，冷媒在進入膨脹閥節流時，必須產生顯著的冷卻降溫效果，其工作狀態點之焦耳－湯姆森係數必須為： $\mu > 0$

（二）由焦耳－湯姆森係數證明理想氣體無法藉由節流冷卻

題目給定焓之熱力學關係式： $dh = c_p\,dT + \left[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P\right]dP$

1. 推導焦耳－湯姆森係數 $\mu$ 之通式： 在等焓節流過程中，$dh = 0$，上式改寫為： $0 = c_p\,dT + \left[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P\right]dP$ 移項並整理兩側對壓力的偏導數（維持 $h$ 固定）： $c_p \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_h = -\left[v - T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P\right] = T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P - v$ 兩邊同除以定壓比熱 $c_p$（其中 $c_p > 0$），得到 $\mu$ 的一般熱力學表示式：

核心觀念

本題考查剛性容器的非定常流動能量平衡。容器剛性，沒有邊界功；外壁絕熱，沒有熱量穿過容器壁；但內部電加熱器輸入電功，使空氣維持定溫。閥門打開後，空氣流出，流出氣體帶走的能量以焓 $h$ 計算。

已知 $52^\circ\mathrm{C}=325.15\ \mathrm{K}$，依題目所附空氣性質表，採用 $T=325\ \mathrm{K}$，並取 $h=325.31\ \mathrm{kJ/kg}$、$u=232.02\ \mathrm{kJ/kg}$。

解題方法

（一）流出氣體質量

理想氣體狀態方程為 $m=pV/(RT)$。初、末狀態的容積與溫度相同，因此質量比等於壓力比：

容器內減少的質量即為流出質量：

（二）電加熱器輸入能量

以容器內空氣為控制體，令電加熱器輸入功為正。非定常能量平衡為

核心觀念

本題考查節流閃發、分離桶的質量平衡，以及渦輪機的穩流能量方程。

• 節流閥視為等焓過程：$h_2=h_1$。
• 飽和液汽混合物的乾度為 $x=(h-h_f)/h_{fg}$，其中 $h_{fg}=h_g-h_f$。
• 分離桶分出的蒸汽流率等於進料流率乘以閃發後的乾度。
• 渦輪機輸出功率以蒸汽質量流率乘上進出口焓差計算；忽略熱交換及動能、位能變化。

解題方法

先由節流閥前後的焓不變，求閃發器出口混合物的乾度；再用分離桶的質量平衡求點 3 蒸汽流率。最後以渦輪機進出口焓差計算輸出功率。

（一）點 3 之水蒸汽質量流率

閃發器入口為 $230^\circ\mathrm{C}$ 飽和液體，因此

節流至 $1002.8\ \mathrm{kPa}$ 後，依表為 $180^\circ\mathrm{C}$ 飽和狀態，故

因為節流等焓，$h_2=h_1=990.14\ \mathrm{kJ/kg}$。閃發後混合物的乾度為

分離桶將蒸汽與液體分開，因此點 3 的蒸汽流率為

核心觀念

噴嘴內流為穩定流動，忽略位能變化，使用穩定流能量方程求出口焓與溫度。熵變則分成空氣的熵變，以及 $20^\circ\mathrm{C}$ 外界因吸收熱量而產生的熵變；兩者相加即為此過程的總熵變化量，也等於每公斤空氣的熵生成量。

熱量以「進入噴嘴為正」表示，因此 $q=-3.2\ \mathrm{kJ/kg}$。動能項換算成 $\mathrm{kJ/kg}$ 時，速度平方差須除以 $2000$。

解題方法

（一）出口空氣溫度

穩定流能量方程為

入口溫度為 $77^\circ\mathrm{C}=350\ \mathrm{K}$，由表得 $h_1=350.49\ \mathrm{kJ/kg}$。代入熱量與速度：

出口焓介於 $325\ \mathrm{K}$ 與 $330\ \mathrm{K}$ 的表列值之間，線性內插：

（二）此過程之總熵變化量

理想氣體的比熵差為

由 $T_2=328.47\ \mathrm{K}$ 在 $325\ \mathrm{K}$ 與 $330\ \mathrm{K}$ 間內插：

核心觀念

本題考查濕空氣的含濕量與能量平衡。以每公斤乾空氣為計算基準，含濕量為

濕空氣焓採用

其中 $h_a$ 的單位為 $\mathrm{kJ/kg_{da}}$。加熱盤管只加熱、不加濕，因此盤管出口與入口含濕量相同；加濕器則以飽和蒸汽的焓計算輸入能量。

解題方法

先由入口與出口的相對濕度求水蒸氣分壓及含濕量：

因此，加濕器每公斤乾空氣所需加入的水蒸氣為

加熱盤管不改變含濕量，所以 $\omega_2=\omega_1$。

先求加熱盤管出口溫度。 依表中 $10^\circ\mathrm C$ 與 $20^\circ\mathrm C$ 的水蒸氣焓線性內插：

狀態 3 的濕空氣焓為