109 地方特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題評量經典控制理論中「根軌跡法（Root Locus Method）」與「羅斯穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）」之綜合分析能力，核心觀念如下：

1. 閉迴路特徵方程式與開迴路轉移函數： 系統之閉迴路特徵方程式為 $1 + KG(s)H(s) = 0$。開迴路極點數 $n=3$（$s = 0, \pm j4$），開迴路零點數 $m=3$（$s = -4, \pm j\sqrt{48} = \pm j4\sqrt{3}$）。由於 $n = m$，系統無趨向無窮遠之漸近線，三條根軌跡分支皆由有限極點出發並終止於有限零點。
2. 實軸根軌跡判別法則：

• 正根軌跡（$K > 0$）：實軸上一點若其右方實數極點與零點之總數為奇數，則該點位於根軌跡上。
• 負根軌跡（$K < 0$）：實軸上一點若其右方實數極點與零點之總數為偶數（含 0），則該點位於根軌跡上。

3. 離開角與到達角公式：

• 極點 $p_k$ 之離開角 $\theta_d$： $K > 0:\quad \theta_d = 180^\circ + \sum \angle(p_k - z_i) - \sum_{j \neq k} \angle(p_k - p_j)$ $K < 0:\quad \theta_d = 0^\circ + \sum \angle(p_k - z_i) - \sum_{j \neq k} \angle(p_k - p_j)$
• 零點 $z_k$ 之到達角 $\theta_a$： $K > 0:\quad \theta_a = 180^\circ - \sum_{i \neq k} \angle(z_k - z_i) + \sum \angle(z_k - p_j)$ $K < 0:\quad \theta_a = 0^\circ - \sum_{i \neq k} \angle(z_k - z_i) + \sum \angle(z_k - p_j)$

4. 羅斯穩定準則（BIBO 穩定度）： 特徵方程式所有根皆具負實部之充要條件為羅斯表第一行（First Column）元素全同號（即無符號變換）。

解題方法

系統開迴路轉移函數為： $KG(s)H(s) = \frac{K(s+4)(s^2+48)}{s(s^2+16)}$

• 開迴路極點：$p_1 = 0,\; p_2 = +j4,\; p_3 = -j4$
• 開迴路零點：$z_1 = -4,\; z_2 = +j4\sqrt{3},\; z_3 = -j4\sqrt{3}$（其中 $4\sqrt{3} \approx 6.93$）

(一) 閉迴路極點於實軸之根軌跡

1. 正根軌跡（$K > 0$）：

• 位於實軸上的極點與零點僅有 $p_1 = 0$ 與 $z_1 = -4$（共軛虛軸極零點對實軸測試點之相角和為 $0^\circ$ 或 $360^\circ$，不影響奇偶性判斷）。
• 當 $s \in (-4, 0)$ 時，其右側之實軸極零點總數為 $1$（奇數），符合相角條件 $\angle KG(s)H(s) = \pm 180^\circ$。
• 當 $s > 0$ 時，右側總數為 $0$（偶數）；當 $s < -4$ 時，右側總數為 $2$（偶數），皆不屬於 $K > 0$ 軌跡。
• 軌跡方向：隨 $K$ 由 $0$ 增至 $+\infty$，閉迴路極點由極點 $s = 0$ 沿實軸向左移動至零點 $s = -4$。
• 實軸根軌跡範圍：$[-4, 0]$。

2. 實軸軌跡示意圖：

 K -> oo K = 0
 ───────────o═════════════════════════x───────────> Real (sigma)
 z1 = -4 p1 = 0

(二) 離開角（Departure Angle）與到達角（Arrival Angle）

選定上半平面之一條根軌跡分支進行計算：

• 極點位置：$p_2 = +j4$
• 零點位置：$z_2 = +j4\sqrt{3}$

1. 計算極點 $p_2 = +j4$ 之離開角 $\theta_d$

由其他極點與所有零點連向量至 $p_2 = j4$ 之角度：

• 來自極點之向量夾角：
• $\angle(p_2 - p_1) = \angle(j4 - 0) = 90^\circ$
• $\angle(p_2 - p_3) = \angle(j4 - (-j4)) = \angle(j8) = 90^\circ$
• 極點角度和：$\sum_{j \neq 2} \angle(p_2 - p_j) = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
• 來自零點之向量夾角：
• $\angle(p_2 - z_1) = \angle(j4 - (-4)) = \angle(4 + j4) = 45^\circ$
• $\angle(p_2 - z_2) = \angle(j4 - j4\sqrt{3}) = \angle(j4(1-\sqrt{3})) = -90^\circ$（因 $1-\sqrt{3} < 0$）
• $\angle(p_2 - z_3) = \angle(j4 - (-j4\sqrt{3})) = \angle(j4(1+\sqrt{3})) = +90^\circ$
• 零點角度和：$\sum \angle(p_2 - z_i) = 45^\circ + (-90^\circ) + 90^\circ = 45^\circ$

離開角計算：

• 當 $K > 0$ 時： $\theta_d = 180^\circ + \sum \angle(p_2 - z_i) - \sum_{j \neq 2} \angle(p_2 - p_j) = 180^\circ + 45^\circ - 180^\circ = 45^\circ$
• 當 $K < 0$ 時： $\theta_d = 0^\circ + \sum \angle(p_2 - z_i) - \sum_{j \neq 2} \angle(p_2 - p_j) = 0^\circ + 45^\circ - 180^\circ = -135^\circ \quad (\text{或 } 225^\circ)$

2. 計算零點 $z_2 = +j4\sqrt{3}$ 之到達角 $\theta_a$

由所有極點與其他零點連向量至 $z_2 = j4\sqrt{3}$ 之角度：

• 來自極點之向量夾角：
• $\angle(z_2 - p_1) = \angle(j4\sqrt{3} - 0) = 90^\circ$
• $\angle(z_2 - p_2) = \angle(j4\sqrt{3} - j4) = \angle(j4(\sqrt{3}-1)) = 90^\circ$（因 $\sqrt{3}-1 > 0$）
• $\angle(z_2 - p_3) = \angle(j4\sqrt{3} - (-j4)) = \angle(j4(\sqrt{3}+1)) = 90^\circ$
• 極點角度和：$\sum \angle(z_2 - p_j) = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$
• 來自其他零點之向量夾角：
• $\angle(z_2 - z_1) = \angle(j4\sqrt{3} - (-4)) = \angle(4 + j4\sqrt{3}) = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{3}}{4}\right) = 60^\circ$
• $\angle(z_2 - z_3) = \angle(j4\sqrt{3} - (-j4\sqrt{3})) = \angle(j8\sqrt{3}) = 90^\circ$
• 零點角度和：$\sum_{i \neq 2} \angle(z_2 - z_i) = 60^\circ + 90^\circ = 150^\circ$

到達角計算：

• 當 $K > 0$ 時： $\theta_a = 180^\circ - \sum_{i \neq 2} \angle(z_2 - z_i) + \sum \angle(z_2 - p_j) = 180^\circ - 150^\circ + 270^\circ = 300^\circ \quad (\text{或 } -60^\circ)$
• 當 $K < 0$ 時： $\theta_a = 0^\circ - \sum_{i \neq 2} \angle(z_2 - z_i) + \sum \angle(z_2 - p_j) = 0^\circ - 150^\circ + 270^\circ = 120^\circ$

(三) 包含 $K$ 可為正負值之完整根軌跡

1. 軌跡幾何特性分析

• 分離點／匯合點（Breakaway / Break-in Points）： 由特徵方程式解 $K = -\frac{s(s^2+16)}{(s+4)(s^2+48)} = -\frac{s^3+16s}{s^3+4s^2+48s+192}$。 令 $\frac{dK}{ds} = 0$，整理得：

核心觀念

不具有零點的標準二階系統，其閉迴路轉移函數可寫為

其中 $K$ 是直流增益，$\zeta$ 是阻尼比，$\omega_n$ 是自然頻率。欠阻尼系統的單位步階響應會振盪，且可由穩態值、超越量及峰值時間估計這些參數。

解題方法

由圖讀得穩態值約為 $3$，故直流增益為

第一個峰值約為 $4.6$，因此最大超越量比為

欠阻尼二階系統的最大超越量與阻尼比關係為

代入圖上的讀值可得 $\zeta\approx 0.20$。圖中相鄰兩個正峰值的時間間隔約為 $3.2$ 秒，因此阻尼振盪頻率約為

又 $\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$，故 $\omega_n\approx 2\ \text{rad/s}$。依圖形讀值取命題預期的近似參數 $\zeta=0.2$、$\omega_n=2$，系統轉移函數為

若題目所稱「拉普拉斯轉換」指單位步階輸出，因 $R(s)=1/s$，則

核心觀念

本題考查兩個部分：先把兩質量塊與彈簧組成的機械系統化為「力 $F$ 到位移 $x_1$」的傳遞函數，再接上比例控制器 $K$ 與單位負回授。計算穩態誤差時，須區分靜態平衡誤差與實際時間響應的極限誤差；由於題目未給阻尼，兩者不一定相同。

解題方法

令向右為正方向。兩質量塊的運動方程為

取拉氏轉換，並令初始位移與速度為零：

解出力至第一質量塊位移的傳遞函數：

（一）方塊圖

比例控制器輸入為位置命令與實際位移的誤差，故 $F(s)=K[X_{1,\mathrm{cmd}}(s)-X_1(s)]$。方塊圖如下：

其中 $X_1(s)$ 由輸出端以單位增益負回授至加總點的負端。

（二）單位步階命令的穩態誤差

單位負回授下，誤差傳遞函數為

先求系統的直流增益：

核心觀念

本題評量頻域分析的兩大核心繪圖工具：波德圖（Bode Plot）與奈氏圖（Nyquist Plot），並隱含非最小相位系統（Non-minimum Phase System）與開迴路不穩定系統的判別：

1. 頻率響應因式分解與極零點判別： 利用 $s = j\omega \implies s^2 = -\omega^2$，將頻率響應函數還原至拉氏領域 $G(s)H(s)$，確認極點（Poles）與零點（Zeros）於複數平面之分佈。
2. 波德圖繪製法則：

• 幅值漸近線（Magnitude Asymptote）：由低頻增益（DC Gain）出發，各轉折頻率（Corner Frequency）依極點（$-20\text{ dB/dec}$）與零點（$+20\text{ dB/dec}$）改變斜率。
• 相位曲線（Phase Curve）：嚴格計算各一階項（特別注意負號、右半平面極零點產生的相位落後與超前）之合成角度： $\angle G(j\omega)H(j\omega) = \angle \text{分子} - \angle \text{分母}$

3. 奈氏圖繪製與奈氏穩定度準則（Nyquist Stability Criterion）：

• 將 $G(j\omega)H(j\omega)$ 分離為實部 $\text{Re}(\omega)$ 與虛部 $\text{Im}(\omega)$。
• 掌握 $\omega = 0^+$、$\omega \to +\infty$ 之端點值與軌跡所在象限。
• 封閉路徑包圍關鍵點 $(-1, j0)$ 之次數 $N$（以順時針為正），配合開迴路右半平面極點數 $P$，由公式 $Z = P + N$ 判定閉迴路右半平面極點數 $Z$。

解題方法

步驟一：轉移函數因式分解與標準形式轉換

題目給定開迴路頻率響應： $G(j\omega)H(j\omega)=\frac{-20+j10\omega}{3+\omega^2+2j\omega}$

將分母的 $\omega^2$ 改寫為 $-(j\omega)^2$： $3 + \omega^2 + 2j\omega = 3 - (j\omega)^2 + 2(j\omega) = (3 - j\omega)(1 + j\omega)$

分子提出 $-20$： $-20 + j10\omega = -20\left(1 - j\frac{\omega}{2}\right)$

若還原至拉氏複數頻率 $s$ 域（$s = j\omega$）： $G(s)H(s) = \frac{10(s - 2)}{(3 - s)(s + 1)} = \frac{-10(s - 2)}{(s - 3)(s + 1)}$

由此可知系統的極零點配置：

• 零點（Zero）：$s = 2$（右半平面零點，$\omega_n = 2\text{ rad/s}$）。
• 極點（Poles）：$s = -1$（左半平面極點，$\omega_n = 1\text{ rad/s}$）與 $s = 3$（右半平面極點，$\omega_n = 3\text{ rad/s}$）。開迴路右半平面極點數 $P = 1$。
• 低頻增益（DC Gain, $\omega \to 0$）： $G(0)H(0) = \frac{-20}{3} \approx -6.67$ 幅值為 $|G(0)H(0)| = \frac{20}{3}$，對應分貝值： $20\log_{10}\left(\frac{20}{3}\right) = 20\log_{10}(6.67) \approx 16.48\text{ dB}$

步驟二：繪製波德圖（Bode Plot）

將頻率響應整理成波德標準型式： $G(j\omega)H(j\omega) = -\frac{20}{3} \cdot \frac{1 - j\frac{\omega}{2}}{\left(1 - j\frac{\omega}{3}\right)(1 + j\omega)}$

1. 幅值漸近線（Magnitude Plot）

轉折頻率由低至高依序為：$\omega = 1\text{ rad/s}$（極點）、$\omega = 2\text{ rad/s}$（零點）、$\omega = 3\text{ rad/s}$（極點）。各頻段斜率與關鍵點如下：

• $\omega < 1\text{ rad/s}$：斜率為 $0\text{ dB/dec}$，幅值維持 $16.48\text{ dB}$。
• $1 \le \omega \le 2\text{ rad/s}$：受極點 $\omega = 1$ 影響，斜率轉為 $-20\text{ dB/dec}$。 至 $\omega = 2\text{ rad/s}$ 時，幅值衰減為： $16.48 - 20\log_{10}\left(\frac{2}{1}\right) \approx 16.48 - 6.02 = 10.46\text{ dB}$
• $2 \le \omega \le 3\text{ rad/s}$：受零點 $\omega = 2$ 影響，斜率增加 $+20\text{ dB/dec}$，整體斜率變回 $0\text{ dB/dec}$。 幅值維持平坦於 $10.46\text{ dB}$。
• $\omega \ge 3\text{ rad/s}$：受極點 $\omega = 3$ 影響，斜率再次轉為 $-20\text{ dB/dec}$。
• 高頻漸近線交點：當 $\omega \to \infty$ 時，$|G(j\omega)H(j\omega)| \approx \frac{10\omega}{\omega^2} = \frac{10}{\omega}$。 當 $\frac{10}{\omega} = 1$ 時，漸近線穿越 $0\text{ dB}$ 軸之頻率為 $\omega = 10\text{ rad/s}$。

2. 相位曲線（Phase Plot）

分子為 $-20 + j10\omega$（實部為負、虛部為正，位於第二象限）；分母 $(3+\omega^2) + j2\omega$（實部、虛部皆為正，位於第一象限）。 相位函數表示為： $\angle G(j\omega)H(j\omega) = \left[180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{10\omega}{20}\right)\right] - \tan^{-1}\left(\frac{2\omega}{3+\omega^2}\right)$ 利用 $\tan^{-1}\left(\frac{2\omega}{3+\omega^2}\right) = \tan^{-1}(\omega) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{3}\right)$，展開得： $\angle G(j\omega)H(j\omega) = 180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{2}\right) - \tan^{-1}(\omega) + \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{3}\right)$

計算關鍵頻率點之確切相位：

• $\omega \to 0^+$：$\angle G(j0)H(j0) = 180^\circ - 0^\circ - 0^\circ + 0^\circ = 180^\circ$（或 $-180^\circ$）
• $\omega = 1\text{ rad/s}$：$180^\circ - 26.57^\circ - 45.00^\circ + 18.43^\circ = 126.86^\circ$
• $\omega = 2\text{ rad/s}$：$180^\circ - 45.00^\circ - 63.43^\circ + 33.69^\circ = 105.26^\circ$
• $\omega = 3\text{ rad/s}$：$180^\circ - 56.31^\circ - 71.57^\circ + 45.00^\circ = 97.12^\circ$
• $\omega \to \infty$：$180^\circ - 90^\circ - 90^\circ + 90^\circ = +90^\circ$

步驟三：繪製奈氏圖（Nyquist Plot）

1. 實部與虛部分離

將 $G(j\omega)H(j\omega)$ 分子分母同乘分母之共軛複數 $[(3+\omega^2) - j2\omega]$： 分母： $|(3+\omega^2) + j2\omega|^2 = (3+\omega^2)^2 + 4\omega^2 = \omega^4 + 10\omega^2 + 9 = (\omega^2 + 1)(\omega^2 + 9)$

分子： $(-20 + j10\omega)[(3+\omega^2) - j2\omega] = -20(3+\omega^2) + 20\omega^2 + j[40\omega + 10\omega(3+\omega^2)] = -60 + j10\omega(\omega^2 + 7)$

得到極其簡潔的實部與虛部公式： $\text{Re}[G(j\omega)H(j\omega)] = \frac{-60}{(\omega^2 + 1)(\omega^2 + 9)}$ $\text{Im}[G(j\omega)H(j\omega)] = \frac{10\omega(\omega^2 + 7)}{(\omega^2 + 1)(\omega^2 + 9)}$

2. 軌跡幾何特性分析

• 象限判別： 對所有 $\omega \in (0, \infty)$：