109 地方特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一、 題20 分

如圖一所示，桿 ABAB（桿長 8 m8\ \mathrm{m}），其兩端點 AA 及 BB 均只能沿著傾斜面上下移動。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

已知當桿為水平時，端點 AA 沿著傾斜面向下的速度 vAv_A 及加速度 aAa_A 分別為 2 m/s2\ \mathrm{m/s} 及 4 m/s24\ \mathrm{m/s^2}。試求在此一瞬間：

（一）BB 端點之速度。

（二）桿 ABAB 之角速度。

（三）BB 端點之加速度。

（四）桿 ABAB 之角加速度。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考剛體平面運動的相對速度與相對加速度。桿長固定，因此端點間滿足：

vB=vA+ωAB×rB/A\mathbf v_B=\mathbf v_A+\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A} aB=aA+αAB×rB/A+ωAB×(ωAB×rB/A)\mathbf a_B=\mathbf a_A+\boldsymbol\alpha_{AB}\times\mathbf r_{B/A} +\boldsymbol\omega_{AB}\times \left(\boldsymbol\omega_{AB}\times\mathbf r_{B/A}\right)

兩端點受斜面約束，速度與加速度都沿各自斜面的方向。依圖取 xx 軸向右、yy 軸向上；A 斜面向右下傾 30∘30^\circ，B 斜面向右上傾 60∘60^\circ。

解題方法

桿在此瞬間水平，故

rB/A=8i\mathbf r_{B/A}=8\mathbf i

A 沿斜面向下的速度與加速度分量為

vA=2(cos⁡30∘ i−sin⁡30∘ j)=3 i−j\mathbf v_A =2(\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j) =\sqrt3\,\mathbf i-\mathbf j aA=4(cos⁡30∘ i−sin⁡30∘ j)=23 i−2j\mathbf a_A =4(\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j) =2\sqrt3\,\mathbf i-2\mathbf j

（一）B 端點之速度

B 的速度沿 60∘60^\circ 斜面，設其大小為 vBv_B，方向先取右上：

vB=vB(cos⁡60∘ i+sin⁡60∘ j)\mathbf v_B=v_B(\cos60^\circ\,\mathbf i+\sin60^\circ\,\mathbf j)

由相對速度式，桿的角速度項只有 yy 分量，所以兩端點的 xx 分量相同：

vBcos⁡60∘=3v_B\cos60^\circ=\sqrt3

因此

vB=23 m/s\boxed{v_B=2\sqrt3\ \mathrm{m/s}}

方向為沿 B 斜面向右上。

（二）桿 AB 之角速度

B 的 yy 分量為 vBsin⁡60∘=3 m/sv_B\sin60^\circ=3\ \mathrm{m/s}。由相對速度式的 yy 分量：

3=−1+8ωAB3=-1+8\omega_{AB} ωAB=0.5 rad/s\boxed{\omega_{AB}=0.5\ \mathrm{rad/s}}

角速度為正，故桿逆時針轉動。

（三）B 端點之加速度

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二、 題20 分

如圖二所示，均勻長桿 ABAB（桿長 0.6 m0.6\ \mathrm{m}，質量 10 kg10\ \mathrm{kg}）在垂直面上移動，其兩端 AA 及 BB 鉸接於滑塊上，分別被限制只能於水平及垂直的滑軌內移動。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

假設摩擦力以及滑塊之質量均可忽略不計。已知長桿一開始於 θ=30∘\theta=30^\circ 時保持靜止。若於 AA 點之滑塊施以 50 N50\ \mathrm{N} 的水平力，試求此瞬間：

（一）桿 ABAB 的角加速度。

（二）AA 及 BB 端之滑塊所受之反作用力。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平面剛體的運動學與牛頓－尤拉方程。桿端受滑軌限制：AA 點只能水平移動，BB 點只能垂直移動，因此兩端加速度方向分別為水平與垂直。

令 xx 軸向右、yy 軸向上，並以逆時針為角加速度 α\alpha 的正方向。圖中的 θ\theta 是桿與鉛直線的夾角，桿長 L=0.6 mL=0.6\ \mathrm{m}。桿開始時靜止，因此此瞬間 ω=0\omega=0，剛體相對加速度中沒有向心項。

解題方法與推導

取 AA 相對 BB 的位置向量：

rA/B=Lsin⁡θ i+Lcos⁡θ j\mathbf r_{A/B}=L\sin\theta\,\mathbf i+L\cos\theta\,\mathbf j

剛體加速度關係為 aA=aB+α×rA/B\mathbf a_A=\mathbf a_B+\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{A/B}。由端點滑動方向限制，可得

aAx=−αLcos⁡θ,aBy=−αLsin⁡θa_{Ax}=-\alpha L\cos\theta,\qquad a_{By}=-\alpha L\sin\theta

因此桿質心 GG 的加速度為

aGx=−αLcos⁡θ2,aGy=−αLsin⁡θ2a_{Gx}=-\frac{\alpha L\cos\theta}{2},\qquad a_{Gy}=-\frac{\alpha L\sin\theta}{2}

令 NAN_A 為滑軌對桿在 AA 點的垂直反力，令 NBN_B 為滑軌對桿在 BB 點的水平反力；右方、上方均取正。桿受重力 mgmg，且在 AA 點受水平力 50 N50\ \mathrm N。由質心平動方程：

50+NB=maGx⟹NB=−50−mαLcos⁡θ250+N_B=m a_{Gx} \quad\Longrightarrow\quad N_B=-50-\frac{m\alpha L\cos\theta}{2} NA−mg=maGy⟹NA=mg−mαLsin⁡θ2N_A-mg=m a_{Gy} \quad\Longrightarrow\quad N_A=mg-\frac{m\alpha L\sin\theta}{2}

桿的質心轉動慣量為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三、 題20 分

如圖三所示，斷面為正方形的複合實心桿 ABCABC，AA 端為固定端。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

ABAB 段由內、外兩種材料緊密套合而成，分別為：

  • 內材料截面積 Ai=2,000 mm2A_i=2{,}000\ \mathrm{mm^2}，楊氏模數 Ei=150 GPaE_i=150\ \mathrm{GPa}。
  • 外材料截面積 Ao=4,000 mm2A_o=4{,}000\ \mathrm{mm^2}，楊氏模數 Eo=100 GPaE_o=100\ \mathrm{GPa}。

BCBC 段截面積 As=6,000 mm2A_s=6{,}000\ \mathrm{mm^2}，楊氏模數 Es=150 GPaE_s=150\ \mathrm{GPa}。

若 BB 及 CC 兩點分別承受集中軸力 PP 及 QQ 作用，同時 BCBC 段承受均布軸力 qq。設 L=0.3 mL=0.3\ \mathrm{m}，Q=210 kNQ=210\ \mathrm{kN}，q=500 kN/mq=500\ \mathrm{kN/m} 時，CC 點的位移正好為零。（不考慮挫曲（buckling）。）

試求此時：

（一）作用力 PP。（10分）

（二）BB 點的位移。（10分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查軸向變形與複合材料桿件的等效軸向剛度：

  • AB 段內、外材料緊密套合，軸向應變相同，因此軸向剛度為 EiAi+EoAoE_iA_i+E_oA_o。
  • BC 段受均布軸力，內力沿桿長改變，須先由截面平衡求 N(x)N(x)，再積分求變形。
  • 全桿位移由各段變形累加；已知 CC 點位移為零，可用相容條件求 PP。

取向右為正，拉力及伸長為正。圖示的 qq 向左，QQ 向右，PP 向左。

解題步驟

令 xx 自 BB 點起向右量至 CC 點，0≤x≤L0\le x\le L。在距 BB 點 xx 處切開，取右側桿段平衡：

N(x)=Q−q(L−x)N(x)=Q-q(L-x)

因此 BC 段的軸向變形為

δBC=∫0LN(x)EsAs dx=QL−12qL2EsAs\delta_{BC} =\int_0^L\frac{N(x)}{E_sA_s}\,dx =\frac{QL-\frac12qL^2}{E_sA_s}

使用一致單位：L=300 mmL=300\ \mathrm{mm}、q=0.5 kN/mmq=0.5\ \mathrm{kN/mm}、Es=150 kN/mm2E_s=150\ \mathrm{kN/mm^2}，則

δBC=210(300)−12(0.5)(300)2150(6000)=40,500900,000=0.045 mm\delta_{BC} =\frac{210(300)-\frac12(0.5)(300)^2} {150(6000)} =\frac{40{,}500}{900{,}000} =0.045\ \mathrm{mm}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四、 題40 分

如圖四（i）所示，組合梁 ABCABC，AA 為滾支撐，BB 為鉸接，CC 為固定端，楊氏模數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}。斷面為倒 TT 形，其尺寸如圖四（ii）所示，單位為 mm\mathrm{mm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試求：

（一）AA 及 CC 端之反力及反力矩。（5分）

（二）BB 處之撓度。（5分）

（三）梁之剪力及彎矩分布圖。（10分）

（四）斷面形心位置以及對中性軸之慣性矩 II。（10分）

（五）若 L=1 mL=1\ \mathrm{m}，q=10 kN/mq=10\ \mathrm{kN/m}，試求在固定端斷面處之最大彎曲壓應力及最大彎曲拉應力。（10分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查含內鉸的組合梁分析、梁的剪力與彎矩、懸臂梁撓度，以及複合斷面的形心、慣性矩與彎曲應力。

內鉸 BB 可以傳遞剪力，但不能傳遞彎矩，因此 MB=0M_B=0。將梁在 BB 處分成 ABAB、BCBC 兩段，先以靜力平衡求鉸接力，再分析右段的固定端反力及反力矩。

（一）AA、CC 端反力及反力矩

令向上反力為正、逆時針力矩為正。先看左段 ABAB：集中力 3qL3qL 作用於距 AA 為 L/3L/3 處，ABAB 長度為 LL。

對 AA 點取矩：

ByL−(3qL)L3=0⟹By=qLB_yL-(3qL)\frac{L}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad B_y=qL

其中 ByB_y 是左段受到的向上鉸接力。由豎直力平衡：

Ay+By−3qL=0⟹Ay=2qLA_y+B_y-3qL=0 \quad\Longrightarrow\quad A_y=2qL

因此右段 BCBC 受到向下鉸接力 qLqL，並承受全長 LL 的均布載重 qq。對右段作平衡：

Cy−qL−qL=0⟹Cy=2qLC_y-qL-qL=0 \quad\Longrightarrow\quad C_y=2qL

以 CC 點取矩，向下的鉸接力及均布載重合力均對 CC 產生逆時針力矩，所以固定端反力矩為順時針：

MC+(qL)L+(qL)L2=0⟹MC=−32qL2M_C+(qL)L+(qL)\frac{L}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad M_C=-\frac{3}{2}qL^2

故 CC 端反力矩大小為 32qL2\frac{3}{2}qL^2，方向順時針。

（二）BB 處撓度

以右段 BCBC 作懸臂梁分析：固定端在 CC，自由端在 BB。BB 端承受向下力 qLqL，梁上另有向下均布載重 qq。

懸臂梁自由端撓度為：

δB=(qL)L33EI+qL48EI=11qL424EI\delta_B = \frac{(qL)L^3}{3EI} + \frac{qL^4}{8EI} = \frac{11qL^4}{24EI}

因此 BB 點向下撓度為 11qL424EI\frac{11qL^4}{24EI}。

本題倒 T 形截面的慣性矩為 I=163×106 mm4I=\frac{16}{3}\times10^6\ \mathrm{mm^4}。若採用第五小題的 L=1 mL=1\ \mathrm{m}、q=10 kN/mq=10\ \mathrm{kN/m}，且 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，則：

δB=1124(10 N/mm)(1000 mm)4(200,000 N/mm2)(163×106 mm4)≈4.30 mm\delta_B = \frac{11}{24} \frac{(10\ \mathrm{N/mm})(1000\ \mathrm{mm})^4} {(200{,}000\ \mathrm{N/mm^2})(\frac{16}{3}\times10^6\ \mathrm{mm^4})} \approx 4.30\ \mathrm{mm}

（三）剪力及彎矩分布

令 xx 自 AA 向右量，採正剪力與正彎矩慣例。剪力圖在集中力處跳降 3qL3qL；彎矩圖的斜率等於剪力，且內鉸處彎矩為零。

剪力分布為：

V(x)={2qL,0<x<L3−qL,L3<x<L−qL−q(x−L),L<x<2LV(x)= \begin{cases} 2qL, & 0<x<\frac{L}{3}\\[4pt] -qL, & \frac{L}{3}<x<L\\[4pt] -qL-q(x-L), & L<x<2L \end{cases}

在 x=L/3x=L/3 處，剪力由 2qL2qL 跳降至 −qL-qL；在 CC 端，剪力由 −2qL-2qL 因 Cy=2qLC_y=2qL 跳回零。

彎矩分布為：

M(x)={2qLx,0≤x≤L3qL2−qLx,L3≤x≤L−qL(x−L)−q2(x−L)2,L≤x≤2LM(x)= \begin{cases} 2qLx, & 0\le x\le\frac{L}{3}\\[4pt] qL^2-qLx, & \frac{L}{3}\le x\le L\\[4pt] -qL(x-L)-\dfrac{q}{2}(x-L)^2, & L\le x\le2L \end{cases}

主要彎矩值如下：

MA=0,Mx=L/3=23qL2,MB=0,MC=−32qL2M_A=0,\qquad M_{x=L/3}=\frac{2}{3}qL^2,\qquad M_B=0,\qquad M_C=-\frac{3}{2}qL^2
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）》其他年度

111110108