111 地方特考三等 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

斜面上的滑塊受重力、拉力、正向力與靜摩擦力作用。靜摩擦力會依滑動趨勢調整，其大小滿足

只有在滑塊即將滑動時，靜摩擦力才達到極限值 $f_{s,\max}=\mu_sN$。圖中拉力與斜面夾角為 $30^\circ$，斜面與水平夾角為 $45^\circ$。

解題方法

重量為 $W=mg$。取沿斜面向上為正方向，並以題目通常採用的臨界狀態解讀：滑塊原本有沿斜面向下滑的趨勢，因此極限靜摩擦力沿斜面向上。

垂直斜面方向平衡：

因此

沿斜面方向平衡，向上的拉力分量與摩擦力抵抗重力沿斜面的分量：

代入 $N$ 並整理：

核心觀念

本題使用：

• 功與能原理：斜面光滑，重力位能轉為動能；水平面上的摩擦力則消耗機械能。
• 彈簧位能：最大壓縮時，滑塊瞬時速度為零，入射動能用來克服摩擦並壓縮彈簧。
• 完全非彈性碰撞：$e=0$ 表示滑塊壓縮彈簧後不反彈。

解題方法

圖二斜面長 $10\,\mathrm{m}$，旁邊的直角三角形為 $3$、$4$、$5$，所以滑塊由 $A$ 到 $B$ 的高度下降為

斜面光滑，滑塊從靜止下滑至 $B$ 時，重力位能轉為動能：

從 $B$ 到彈簧所在的 $C$ 點，滑塊在水平面滑行 $15\,\mathrm{m}$。取題給摩擦係數 $0.2$ 作為滑動時的摩擦係數，摩擦力作功為

因此滑塊到達彈簧前的動能為

$K_C>0$，所以滑塊會撞上彈簧。其撞擊前速度約為

核心觀念

本題先由樑的平衡求支承反力與 $D$ 截面的內力，再用彎曲正應力與橫向剪應力求出 $D$ 點的平面應力狀態，最後轉換到斜面並求主應力。

由圖判讀，樑長 $6\,\mathrm m$，$C$ 在 $x=1\,\mathrm m$、$D$ 在 $x=2\,\mathrm m$、$E$ 在 $x=3\,\mathrm m$；$BE$ 段承受 $w=4\,\mathrm{kN/m}$。截面為 $300\,\mathrm{mm}\times500\,\mathrm{mm}$ 矩形，$D$ 點距上緣 $100\,\mathrm{mm}$。圖示 $C$ 點外加彎矩為逆時針。

解題方法

均佈載重合力為 $12\,\mathrm{kN}$，作用於距 $A$ 點 $4.5\,\mathrm m$ 處。以逆時針為正，整樑平衡得

在 $D$ 截面取左段，左段沒有分布載重。剪力大小為 $V=4\,\mathrm{kN}$；截面彎矩由左段對切面取矩：

此處正彎矩使上緣受壓。截面二次矩為

$D$ 點位於中性軸上方 $y=250-100=150\,\mathrm{mm}$，故彎曲正應力為

矩形截面在距上緣 $z=100\,\mathrm{mm}$ 處的剪應力，以 $\tau=VQ/(Ib)$ 計算：

核心觀念

此題考平面運動的直角座標與極座標轉換。以 $O$ 為極點，位置、速度與加速度可寫成

其中 $\mathbf e_r$ 沿 $OP$ 方向，$\mathbf e_\theta$ 為 $\theta$ 增加的方向。

解題方法

由圖可知，軌道向右下方與水平線夾角 $15^\circ$。滑車速度沿軌道向右下，加速度箭頭沿軌道向左上。因此：

• 速度方向角為 $-15^\circ$。
• 加速度方向角為 $165^\circ$。
• $OP$ 的方向角為 $\theta=135^\circ$。

將速度分解至極座標方向，速度與 $\mathbf e_r$ 的夾角為 $-150^\circ$，所以

代入 $r=30\ \mathrm m$：

核心觀念

本題考平面受力下的三維彈性應變，以及固定剛體平板造成的側向變形拘束。長方體受 $y$ 方向壓縮；圖中平板限制 $z$ 方向變形，因此 $\varepsilon_z=0$。$x$ 方向沒有拘束，故 $\sigma_x=0$。

採用廣義虎克定律：

解題方法

垂直於 $y$ 方向的受力面積為

以拉應力為正，向下的集中力造成壓應力：

平板限制 $z$ 方向變形，代入 $\varepsilon_z=0$，並使用 $\sigma_x=0$：