111 地方特考三等 機械工程 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查螺旋齒輪（斜齒輪）之幾何關係、傳動動力學受力分析與軸承軸向負荷校核。關鍵物理量與公式如下：

1. 軸輸入扭矩與功率關係： $T_1 = \frac{P}{\omega_1} = \frac{60 P}{2\pi n_1}$ 其中 $P$ 為傳遞功率（$\mathrm{W}$）、$n_1$ 為小齒輪轉速（$\mathrm{rpm}$）、$T_1$ 為扭矩（$\mathrm{N\cdot m}$）。

2. 螺旋齒輪節圓直徑與模數關係： 螺旋齒輪之端面模數 $m_t$ 與法向模數 $m_n$、節圓螺旋角 $\beta$ 之關係為 $m_t = \frac{m_n}{\cos\beta}$。小齒輪節圓直徑 $d_1$ 為： $d_1 = m_t z_1 = \frac{m_n z_1}{\cos\beta}$

3. 齒面切向力（旋轉力）$F_t$ 與軸向力（推力）$F_a$：

• 切向力： $F_t = \frac{2 T_1}{d_1} = \frac{2 T_1 \cos\beta}{m_n z_1}$
• 軸向力： $F_a = F_t \tan\beta = \left(\frac{2 T_1 \cos\beta}{m_n z_1}\right) \left(\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\right) = \frac{2 T_1}{m_n z_1} \sin\beta$

4. 作用力與反作用力定律： 齒輪嚙合時，主動齒輪（小齒輪）與被動齒輪（大齒輪）所受之軸向力大小相等、方向相反，即 $F_{a2} = F_{a1} = F_a$。

5. 軸承承載容量判據： 軸承承受之實際軸向力 $F_a$ 必須小於或等於其容許軸向力 $F_A$（即 $F_a \le F_A$），選用方為適當。

解題方法

步驟一：計算小齒輪軸之輸入扭矩 $T_1$

已知功率 $P = 15\ \mathrm{kW} = 15000\ \mathrm{W}$，轉速 $n_1 = 1000\ \mathrm{rpm}$： $T_1 = \frac{60 \times 15000}{2\pi \times 1000} = \frac{450}{\pi} \approx 143.24\ \mathrm{N\cdot m} = 1.4324 \times 10^5\ \mathrm{N\cdot mm}$

步驟二：計算螺旋角 $\beta = 20^\circ$ 時小齒輪的節圓直徑與切向力

• 小齒輪齒數 $z_1 = 17$、法向模數 $m_n = 3.0\ \mathrm{mm}$、螺旋角 $\beta = 20^\circ$： $d_1 = \frac{m_n z_1}{\cos\beta} = \frac{3.0 \times 17}{\cos 20^\circ} = \frac{51}{0.93969} \approx 54.273\ \mathrm{mm} = 0.054273\ \mathrm{m}$

• 節圓切向力 $F_t$： $F_t = \frac{2 T_1}{d_1} = \frac{2 \times 143.24}{0.054273} \approx 5278.3\ \mathrm{N}$

步驟三：計算實際軸向力並判定軸承適當性

• 齒輪嚙合產生之軸向力 $F_a$： $F_a = F_t \tan\beta = 5278.3 \times \tan 20^\circ \approx 5278.3 \times 0.36397 \approx 1921.2\ \mathrm{N}$

核心觀念

斜角接觸滾珠軸承承受徑向負載時，會產生內部軸向力：

$F_s=0.68F_r$

一對相對配置的軸承，外加軸向力會改變兩端軸承的軸向負載分配。計算軸承壽命時，先求出各軸承軸向負載，再以等效動負載代入 $L_{10}$ 壽命公式。可靠度 $90\%$ 時，使用基本額定壽命，不需額外乘可靠度修正係數。

解題方法

先求兩軸承由徑向負載引起的內部軸向力：

$F_{sI}=0.68(1200)=816\ \mathrm{N}$

$F_{sII}=0.68(2000)=1360\ \mathrm{N}$

依圖示配置，向右的外加軸向力使軸承 I 承受增加的軸向負載。比較 $F_{sI}$ 與 $F_{sII}+F_A$：

$F_{sII}+F_A=1360+850=2210\ \mathrm{N}>F_{sI}$

因此軸承 I 的軸向負載為 $F_{sII}+F_A$，軸承 II 的軸向負載為 $F_{sII}$：

$F_{aI}=2210\ \mathrm{N},\qquad F_{aII}=1360\ \mathrm{N}$

接著計算軸承 I 的等效動負載：

$P=XF_r+YF_a$

核心觀念

本題考核軸件在「複合負載」（Combined Loading）下的應力分析，以及延性材料之「靜態破壞理論」（Static Failure Theory）。涉及之核心概念與公式如下：

1. 實心圓軸的應力狀態： 在承受最大彎矩 $M$ 與扭矩 $T$ 的外表面危險點上，應力元件處於平面應力（Plane Stress）狀態：

• 彎曲正應力： $\sigma = \frac{M y}{I} = \frac{32M}{\pi d^3}$
• 扭轉剪應力： $\tau = \frac{T r}{J} = \frac{16T}{\pi d^3}$

2. 最大剪應力（莫爾圓分析）： 對於單軸正應力與純剪應力組合之平面應力狀態（$\sigma_x = \sigma, \sigma_y = 0, \tau_{xy} = \tau$），依據莫爾圓（Mohr's Circle），桿件承受之最大剪應力為： $\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} = \frac{16}{\pi d^3}\sqrt{M^2 + T^2}$
3. 最大剪應力破壞理論（MSS Theory / Tresca 準則）： 針對延性材料，該理論主張：當零件內部的最大剪應力達到單軸拉伸降伏時之最大剪應力（即剪切降伏強度 $S_{sy} = \frac{S_y}{2}$）時，材料發生降伏損壞。

• 安全因子（Factor of Safety, $N$）定義為： $N = \frac{S_{sy}}{\tau_{\max}} = \frac{S_y}{2 \tau_{\max}}$

解題方法

步驟一：統一單位並彙整已知條件

• 圓桿直徑：$d = 30\ \mathrm{mm} = 0.03\ \mathrm{m}$
• 材料降伏強度：$S_y = 580\ \mathrm{MPa} = 580 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$
• 最大彎矩：$M = 320\ \mathrm{N\cdot m}$
• 最大扭矩：$T = 500\ \mathrm{N\cdot m}$

步驟二：計算桿件所承受之「最大剪應力」 $\tau_{\max}$

利用等效扭矩法求解： 外表面危險點之正應力與剪應力分別為： $\frac{\sigma}{2} = \frac{16M}{\pi d^3}$ $\tau = \frac{16T}{\pi d^3}$

代入最大剪應力公式： $\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2 + \tau^2} = \frac{16}{\pi d^3}\sqrt{M^2 + T^2}$

計算根號項（等效扭矩 $T_e$）： $\sqrt{M^2 + T^2} = \sqrt{320^2 + 500^2} = \sqrt{102400 + 250000} = \sqrt{352400} \approx 593.63\ \mathrm{N\cdot m}$

計算斷面幾何係數項： $\pi d^3 = \pi \times (0.03)^3 = 2.7\pi \times 10^{-5} \approx 8.4823 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$

核心觀念

本題屬於機械設計中極為經典的「平皮帶（開口皮帶）傳動」計算題，涵蓋幾何尺寸計算與動力傳遞力學分析兩大範疇，核心公式如下：

1. 開口皮帶長度與中心距離幾何關係： 工程實務與國家考試標準近似公式為： $L \approx 2C + \frac{\pi}{2}(D + d) + \frac{(D - d)^2}{4C}$ 其中 $L$ 為皮帶長度、$C$ 為軸中心距離、$D$ 為大帶輪直徑、$d$ 為小帶輪直徑。
2. 小帶輪接觸角（包角 $\theta$）： 皮帶在小帶輪上的接觸角小於 $180^\circ$，為傳動滑動的瓶頸所在： $\theta = \pi - 2\sin^{-1}\left(\frac{D - d}{2C}\right)\quad (\text{rad}) \quad \text{或} \quad \theta \approx \pi - \frac{D - d}{C}\quad (\text{rad})$
3. 皮帶線速度與離心拉力：

• 線速度：$v = \frac{\pi d N}{60}$
• 離心力引起的拉力：$F_c = m v^2$（其中 $m$ 為單位長度質量）

4. 極限摩擦傳動條件（歐拉-尤丁公式，Euler-Eytelwein Formula）： 考量離心拉力時，緊邊拉力 $T_1$ 與鬆邊拉力 $T_2$ 在臨界滑動時的關係式為： $\frac{T_1 - F_c}{T_2 - F_c} = e^{\mu \theta}$
5. 固定中心距下之初張力與傳動動力： 在固定中心距離安裝下，皮帶張力滿足 $T_1 + T_2 = 2T_0$（$T_0$ 為初始安裝拉力）。

• 有效有效拉力（圓周傳動力）： $F_e = T_1 - T_2 = 2(T_0 - F_c)\left(\frac{e^{\mu \theta} - 1}{e^{\mu \theta} + 1}\right)$
• 傳送動力：$P = F_e \cdot v$

解題方法

第一小題：求安裝完成後之理論中心距離 $C$

已知皮帶標稱長度 $L = 1350\ \mathrm{mm}$、小帶輪直徑 $d = 60\ \mathrm{mm}$、大帶輪直徑 $D = 250\ \mathrm{mm}$。

代入開口皮帶長度公式： $L = 2C + \frac{\pi}{2}(D + d) + \frac{(D - d)^2}{4C}$

將各幾何參數數值代入： $1350 = 2C + \frac{\pi}{2}(250 + 60) + \frac{(250 - 60)^2}{4C}$ $1350 = 2C + 155\pi + \frac{190^2}{4C}$

計算常數項（取 $\pi \approx 3.1416$）： $155\pi \approx 486.95\ \mathrm{mm}$ $\frac{190^2}{4} = \frac{36100}{4} = 9025\ \mathrm{mm}^2$

整理方程式： $1350 = 2C + 486.95 + \frac{9025}{C}$ $2C - 863.05 + \frac{9025}{C} = 0$

同乘以 $C$，形成 $C$ 的一元二次方程式： $2C^2 - 863.05C + 9025 = 0$

利用二次方程式公式解求 $C$： $C = \frac{-(-863.05) \pm \sqrt{(-863.05)^2 - 4(2)(9025)}}{2(2)}$ $C = \frac{863.05 \pm \sqrt{744855.3 - 72200}}{4} = \frac{863.05 \pm \sqrt{672655.3}}{4} = \frac{863.05 \pm 820.16}{4}$

合理之中心距離必須滿足 $C > \frac{D+d}{2} = 155\ \mathrm{mm}$，故取正號： $C = \frac{863.05 + 820.16}{4} = \frac{1683.21}{4} \approx 420.80\ \mathrm{mm}$

第二小題：求皮帶在小帶輪上之接觸角 $\theta$

開口皮帶在小帶輪之接觸半角 $\phi$ 滿足： $\sin\phi = \frac{D - d}{2C} = \frac{250 - 60}{2 \times 420.80} = \frac{190}{841.60} \approx 0.22576$

反三角函數求解： $\phi = \sin^{-1}(0.22576) \approx 0.22774\ \mathrm{rad} \approx 13.05^\circ$

小帶輪之接觸角 $\theta$： $\theta = \pi - 2\phi = \pi - 2(0.22774) \approx 2.6861\ \mathrm{rad}$ 換算為角度： $\theta = 180^\circ - 2(13.05^\circ) = 153.90^\circ$

(註：若採用工程近似式 $\theta \approx \pi - \frac{D-d}{C}$，則 $\theta \approx 3.1416 - \frac{190}{420.80} = 2.690\ \mathrm{rad} \approx 154.13^\circ$)

第三小題：考量離心力下，求主動輪可傳送之最大動力 $P_{\max}$

1. 計算皮帶線速度 $v$： 小帶輪直徑 $d = 60\ \mathrm{mm} = 0.06\ \mathrm{m}$，轉速