111 地方特考三等 機械工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考虹吸管的伯努利方程式與體積流率。取水槽自由液面為點 1、管口出口為點 2；兩處皆為大氣壓，水槽截面遠大於管截面，因此自由液面速度可視為 $V_1\approx 0$。題目假設可使用伯努利方程式，故忽略能量損失。

解題方法

在自由液面與出口間套用伯努利方程式：

因 $p_1=p_2$、$V_1\approx 0$，整理得：

代入 $Z_1=0.80\ \mathrm{m}$、$Z_2=-0.30\ \mathrm{m}$ 及 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

核心觀念

本題考查穩態線動量方程式。水柱撞上平板後沿平板分流，出口速度都平行於平板，因此出口速度在平板法線方向的分量為零。只需沿平板法線方向列動量方程式，即可求支撐力；不必先求兩股出口流量各是多少。

解題方法

取平板法線方向為正方向，指向圖中左上方。入流水平向右，與平板夾角為 $30^\circ$，所以入流速度在法線方向的分量為

兩股出口水流都沿平板流動，故其法線速度分量皆為零。穩態線動量方程式在法線方向為

核心觀念

1. 福祿得相似律（Froude Similarity Law）： 水面船舶在航行時會激起表面波浪，此波阻力（wave drag）是由重力所主導的自由液面（free surface）現象。當忽略黏性效應時，流場的動力相似（dynamic similarity）取決於**福祿得數（Froude number, $Fr$）**的一致性： $Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$ 其中 $V$ 為特徵速度、$g$ 為重力加速度、$L$ 為特徵長度。要達到波阻力的動態相似，模型（model, 註標 $m$）與原型（prototype, 註標 $p$）之福祿得數必須相等： $Fr_m = Fr_p \implies \frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}$

2. 阻力係數與尺度比例律（Scaling Law）： 阻力係數定義為： $C_D = \frac{D}{\frac{1}{2}\rho A V^2}$ 其中 $D$ 為阻力、$\rho$ 為流體密度、$A$ 為特徵投影面積（$A \propto L^2$）。當幾何相似與動力相似成立時，模型與原型的波阻力係數相等（$C_{D,m} = C_{D,p}$），由此可推導出阻力與幾何尺寸的比例關係。

解題方法

題目給定條件：

• 幾何比例尺：$\lambda_L = \frac{L_m}{L_p} = \frac{1}{36} \implies \frac{L_p}{L_m} = 36$
• 模型速度：$V_m = 2.5\ \mathrm{m/s}$
• 模型波阻力：$D_m = 30\ \mathrm{N}$
• 模型與原型處於相同流體且同一重力場：$\rho_m = \rho_p = \rho$、$g_m = g_p = g$

（1）計算對應之原型船舶速度 $V_p$

根據福祿得相似律，令 $Fr_m = Fr_p$： $\frac{V_m}{\sqrt{g L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g L_p}}$

兩側同乘以 $\sqrt{g}$ 並整理得速度比： $\frac{V_p}{V_m} = \sqrt{\frac{L_p}{L_m}}$

代入已知數據： $\frac{V_p}{2.5} = \sqrt{36} = 6$ $V_p = 2.5 \times 6 = 15\ \mathrm{m/s}$

（2）預測原型船舶波阻力 $D_p$

在福祿得數相等的條件下，模型與原型之波阻力係數相等： $C_{D,p} = C_{D,m}$

核心觀念

本題考不可壓縮流的連續方程。不可壓縮代表密度不變，因此速度場的散度為零。

圖（a）為二維直角座標流動：

圖（b）為軸對稱流動，無周向速度：

（1）求圖（a）在 $(3,3)$ 的 $y$ 方向速度

已知

先對 $x$ 微分：

代入連續方程：

對 $y$ 積分：

圖（a）以 $x$ 軸為對稱中心，中心線上的速度沒有 $y$ 分量，故 $v(x,0)=0$，得到 $C(x)=0$。因此

在 $(x,y)=(3,3)$：

正號表示速度沿 $+y$ 方向。

（2）求圖（b）在 $(3,3)$ 的 $r$ 方向速度

已知

核心觀念

本題考查差壓式液柱計的靜水壓平衡。靜止流體中，沿同一連通液體向下移動，壓力增加 $\rho g\Delta h$；向上移動，壓力減少 $\rho g\Delta h$。兩水槽自由液面均受大氣壓，因此可由左側自由液面沿管路列壓力平衡至右側自由液面。

解題方法

設左、右水槽水面高度分別為 $z_L$、$z_R$；圖示連通管內較輕液體的比重為 $\mathrm{SG}=0.85$，左側界面比右側界面高 $0.6\ \mathrm{m}$。

由左水面向下至左界面，再沿較輕液體向下至右界面，最後向上至右水面。兩側水面壓力皆為大氣壓，故：

其中 $z_{Li}-z_{Ri}=0.6$，且 $\rho_o=0.85\rho_w$。整理得：